202X年高中数学第二章变化率与导数2.2.1导数的概念课件5北师大版选修2_2

1、2学习目标：学习目标：1 1、通过回忆，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变、通过回忆，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程化率的过程. .2 2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求函数函数f(x)f(x)在某一点在某一点x0 x0处的导数。处的导数。3 3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。学习重点：导数的概念及导数的实际意义。学习重点：导数的概念及导数的实际意义。学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵问题问题2：试求质点在第：试求质点在第3

2、秒时的瞬时速度秒时的瞬时速度 一质点按规律一质点按规律s2t22t做直线运动做直线运动(位移单位：米，时位移单位：米，时间单位：秒间单位：秒)问题问题1：试求质点在前：试求质点在前3秒内的平均速度秒内的平均速度 提示：提示：8米米/秒秒提出问题：提出问题： 问题问题3：对于函数：对于函数yf(x)，当，当x从从x0变到变到x1时，时，求函数值求函数值y关于关于x的平均变化率的平均变化率问题问题4：当：当x趋于趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？这时，平均变化率趋于一个常数吗？这个常数是什么？个常数是什么？提示：是提示：是固定的值固定的值新知学习：新知学习：0000(2)();()fxxxfxx

3、与 的值有关，不同的 其导数值一般也不相同与的具体取值无关。0000(4)lim.xfxxfxxxx 00瞬 时 变 化 率 与 导 数 是 同 一 概 念 的 两 个 名 称 。导 数 f (x )=是 函 数 y=f在 点 x处 的 瞬 时 变 化 率 ， 它 反 映 的 是 函 数 y=f在 点 x 处 变 化 的 快 慢 程 度注意：注意：1函数应在点x0 的附近有定义，否那么导数不存在 00(3)limxyxxx 0导数是研究在x处,及其附近函数值的改变量 y与自变量的改变量 x之比的极限，它是一个局部性的概念，若存在，函数y=f在 处就有导数，否则就没有导数。最早由法国数学家 Fe

4、rma 在研究极值问题中提出.费马对数学的奉献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分创造人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜测，指明了关于整数的理论数论的开展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。103mxxfy3)()(xfy )2(f 例：一条水管中流过的水量例：一条水管中流过的水量y单位：单位：是时是时。求函数。求函数在在x x=2=2处的导数处的导数，并解释它的，并解释它的实际意义。实际意义。间间x单位：单位：s的函数的函数解：当解：当x从从2变到变到2x时，函数值从时，函数值从32变到变到32+x，函数值函数值

5、y关于关于x的平均变化率为的平均变化率为3323)2(3)2()2(xxxxxfxf3/m s当当x趋于趋于2，即，即x趋于趋于0时，平均变化率趋于时，平均变化率趋于3，0(2 )(2) (2)lim3. xfxffx 即11所以所以3)2( f（ /s）.3m)2(f 导数导数3m 表示当表示当x x=2s=2s时水流的瞬时变化率，即水流的时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x x=2s=2s时的瞬时时的瞬时速度流动的话，每经过速度流动的话，每经过1s1s，水管中流过的水量为，水管中流过的水量为3 3(4)f 思考：的值，它的实际意

6、义是什么？12)(xfy )(xfy 4) 1 ( f5 . 3)3( f说一说说一说1：一名食品加工厂的工人上班后开场连续工作，：一名食品加工厂的工人上班后开场连续工作，生产的食品量生产的食品量y单位：单位：kg是其工作时间是其工作时间x单位：单位：h的函数的函数。假设函数。假设函数在在x=1x=1和和x=3x=3处的导数分别为处的导数分别为和和，试解释它们的实际意义。，试解释它们的实际意义。134) 1 ( f5 . 3)3( f解：解： 表示该工人工作表示该工人工作1h1h的时候，其生产速度的时候，其生产速度即工作效率为即工作效率为4kg/h4kg/h，也就是说，如果保持这一生，也就是说

7、，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产产速度，那么他每时可以生产4kg4kg的食品。的食品。 表示该工人上班后工作表示该工人上班后工作3h3h的时候，其生产速的时候，其生产速度为，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每度为，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出的食品。时可以生产出的食品。14( )yf t，假设函数)(tfy 5 . 1)10( f6 . 0)100( f说一说说一说2:2:服药后，人体血液中药物的质量浓度服药后，人体血液中药物的质量浓度y y单位：单位：g/mLg/mL是时间是时间t t单位：单位：minmin的函数的函数在在t=10t=10和和t=10

8、0t=100处的处的和和导数分别为导数分别为，试解释它们的实际意义。，试解释它们的实际意义。155 . 1)10( f6 . 0)100( f解：解： 表示服药后表示服药后10min10min时，血液中药物的质时，血液中药物的质量浓度上升的速度为量浓度上升的速度为mLminmLmin。也就是说，如果保持这一速度，每经过也就是说，如果保持这一速度，每经过1min1min，血液，血液中药物的质量浓度将上升中药物的质量浓度将上升mLminmLmin。 表示服药后表示服药后100min100min时，血液中药物时，血液中药物的质量浓度下降的速度为的质量浓度下降的速度为mLminmLmin。也就是说，如

9、果保持这一速度，每经过也就是说，如果保持这一速度，每经过1min1min，血，血液中药物的质量浓度将下降液中药物的质量浓度将下降mLminmLmin。16练一练练一练:、想一想：函数想一想：函数f(x)ax22x在在x1处的导数为处的导数为6，求，求a的值的值18小结：小结：1、导数的概念及内涵；、导数的概念及内涵； 2、利用导数的定义求、利用导数的定义求函数在一点处的导数的方法步骤：函数在一点处的导数的方法步骤：0000000000()()()()()()limlimxxyf xxf xf xxf xyxxf xxf xyxx0（1）求函数的变化率（2）求函数的平均变化率（3）求极限f (x

10、 )= 3、思想方法：“以探求未知、逼近、类比、从特殊到一般。 作业：作业：1.教材习题教材习题2-2 A组第组第2，3题题(必做题必做题) 2.见学案选做题见学案选做题课后思考从函数的图象上看，平均变化率：表示曲线y=f(x)的一条割线的斜率。 00()()fxxfxx 那么导数即瞬时变化率 表示什么呢？请课后思考.0000()( )( )limxf xxf xf xx y=f(x)f(x0+ )-f(x0)x0 x0+xyf(x0+ )f(x0)oxxxx201求函数求函数y2x2 +1在在x1处的导数。处的导数。课堂练习课堂练习:函数函数yx2在在x1处的导数为处的导数为 ()A2x B

11、2xC2 D1答案：答案：C练一练练一练:课后练习课后练习:1.某质点沿直线运动某质点沿直线运动,运动规律是运动规律是s=5t2+6,求求: (1)2t2+t这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度,这里这里t取值为取值为1; (2)t=2时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.520,)(520)625(6)2(5)1(:222ttsttts 故平均速度为：故平均速度为：解解.25,1 tst时时当当.20)520(limlim:2)2(00 ttsttt时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度为为导数的概念导数的概念在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,平均速度不一定能反映平均速度不一定能反映运发动在某一时刻的

12、运动状态，需要用瞬运发动在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度时刻的速度称为瞬时速度. .25又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?26 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何准确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何准确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度tthththv9 . 41 .13)2()2(27t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内

13、间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv051.13v当t = 时,149.13v当t = 时,0951.13v当t = 时,1049.13v当时,09951.13v当t = 时,10049.13v当时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,0999951.13vt = 0.000001,1000049.13vt =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何准确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何准确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 .

14、4)(2ttth28 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋

15、近于确定值 13.1”.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度tthv9 . 41 .1329探探 究究:1.运发动在某一时刻运发动在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt30定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy;)().1 (000其导数值一般也不相同的值有关，不同的与xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2(31定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )(