数列的综合应用

1、第 5 讲数列的综合应用考点一_等差数列与等比数列的综合问题_(2014高考北京卷)已知an是等差数列，满足 a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前 n 项和解(1)设等差数列an的公差为 d，由题意得da4a1312333，所以 ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列bnan的公比为 q，由题意得q3b4a4b1a12012438，解得 q2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.从而 bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知 bn3n2n1(n1，2，)数列3n的前 n 项和为32n(n1)，

2、数列2n1的前 n 项和为12n122n1.所以，数列bn的前 n 项和为32n(n1)2n1.规律方法解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列， 部分项成等比数列， 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解1.(2013高考课标全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125 ，且 a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求 a1a4a7a3n2.解：(1)设an的公差为 d，由题意得 a211a1a13，即(a110d)2

3、a1(a112d)于是 d(2a125d)0.又 a125，所以 d0(舍去)，d2.故 an2n27.(2)令 Sna1a4a7a3n2.由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列从而 Snn2(a1a3n2)n2(6n56)3n228n.考点二_数列的实际应用问题_某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%.(1)求第 n 年初 M 的价值 an的表达式；(2)设 Sn表示数列an的前

4、n 项和，求 Sn(n7)解(1)当 n6 时，数列an是首项为 120，公差为10 的等差数列，an12010(n1)13010n；当 n6 时，数列an是以 a6为首项，34为公比的等比数列又 a670，所以 an7034n6.因此，第 n 年初，M 的价值 an的表达式为an13010n，n6，7034n6，n7.(2)由等差及等比数列的求和公式得当 n7 时，由于 S6570，故 SnS6(a7a8an)57070344 134n678021034n6.规律方法解答数列实际应用问题的步骤：(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模

5、型基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少如年收入增长率为20%， 每年年底要拿出 a(常数)作为下年度的开销，即数列an满足 an11.2ana(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确；(3)给出问题的答案：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点2.现有流量均为 300 m3/s 的两条河 A，B 汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为 2 kg/m3和 0.2 kg

6、/m3，假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中， 其混合效果相当于两股水流在1 s内交换100 m3的水量，即从 A 股流入 B 股 100 m3水，经混合后，又从 B 股流入 A 股 100 m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg/m3(不考虑沙沉淀)解：设第 n 个观测点处 A 股水流含沙量为 ankg/m3，B 股水流含沙量为 bnkg/m3，则a12，b10.2，bn1400(300bn1100an1)14(3bn1an1)，an1400(300an1100bn1)14(3an1bn1)，anbn12(an1bn

7、1)，anbn是以(a1b1)为首项，12为公比的等比数列anbn9512n1.解不等式9512n1180，n9.因此，从第 9 个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于 0.01 kg/m3.考点三_数列与不等式的综合问题(高频考点)_数列与不等式的综合问题是每年高考的难点，多为解答题，难度偏大高考对数列与不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：(1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；(2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题等比数列an满足 an1an92n1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前 n 项和为 Sn，若不等式 Snkan2 对一切 nN*恒成立，求

8、实数 k 的取值范围解(1)设等比数列an的公比为 q，an1an92n1，nN*，a2a19，a3a218，qa3a2a2a11892.2a1a19，a13.an32n1，nN*.(2)由(1)知 Sna1（1qn）1q3（12n）123(2n1)，3(2n1)k32n12，k2132n1对一切 nN*恒成立令 f(n)2132n1，则 f(n)随 n 的增大而增大，f(n)minf(1)21353，k53.实数 k 的取值范围为，53 .规律方法数列与不等式的综合问题的解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题此类问题常构造函数，通过函数的单调性、最值等解决问题；(2)与数列有关的不等式证明问

9、题解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等3.(1)(2015高考安徽卷)设 nN*，xn是曲线 yx2n21 在点(1，2)处的切线与 x 轴交点的横坐标求数列xn的通项公式；记 Tnx21x23x22n1，证明：Tn14n.(2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn22n1an(nN*)求证：数列ann 是等比数列；设数列2nan的前 n 项和为 Tn，An1T11T21T31Tn，试比较 An与2nan的大小解：(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线 yx2n21 在点(1，2)处的切线斜率为 2n2，从而切线方程为 y2(2n2)(x1

10、)令 y0，解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn11n1nn1，所以数列xn的通项公式 xnnn1.证明：由题设和中的计算结果知，Tnx21x23x22n11223422n12n2.当 n1 时，T114.当 n2 时，因为 x22n12n12n2（2n1）2（2n）2（2n1）21（2n）22n22nn1n，所以 Tn1221223n1n14n.综上可得，对任意的 nN*，均有 Tn14n.(2)证明：由 a1S123a1，得 a112，当 n2 时，由 anSnSn1，得ann12an1n1，所以ann 是首项和公比均为12的等比数列由得ann12n，于是 2nann，所以 Tn123nn

11、（n1）2，则1Tn21n1n1 ，于是 An211n1 2nn1，而2nan2n1n2，所以问题转化为比较2nn2与nn1的大小设 f(n)2nn2，g(n)nn1，当 n4 时，f(n)f(4)1，而 g(n)g(n)经验证当 n1，2，3 时，仍有 f(n)g(n)因此对任意的正整数 n，都有 f(n)g(n)即 An2nan.交汇创新数列与函数的交汇(2014高考四川卷)设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图象上(nN*)(1)若 a12，点(a8，4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn；(2)若 a11， 函数 f(x)的图象在

12、点(a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为 21ln 2， 求数列anbn的前 n 项和 Tn.解(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有 2a842a72a72.解得 da8a72.所以 Snna1n（n1）2d2nn(n1)n23n.(2)函数 f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a21ln 2.由题意知，a21ln 221ln 2，解得 a22.所以 da2a11，从而 ann，bn2n.所以 Tn12222323n12n1n2n，2Tn1122322n2n1.因此，2TnTn11212212n1n2n212

13、n1n2n2n1n22n.所以 Tn2n1n22n.名师点评数列与函数的交汇创新主要有以下两类：(1)如本例，已知函数关系转化为数列问题，再利用数列的有关知识求解；(2)已知数列，在求解中利用函数的性质、思想方法解答提醒解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决，同时要注意 n 的范围(2015云南省统一检测)在数列an中，a135，an121an，设 bn1an1，数列bn的前 n 项和是 Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求 Sn；(2)比较 an与 Sn7 的大小解：(1)bn1a

14、n1，an121an，bn11an111an11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为 1 的等差数列由 a135，bn1an1得 b152，Sn5n2n（n1）2n223n.(2)由(1)知：bn52n1n72.由 bn1an1得 an11bn11n72.anSn7n223n61n72.当 n4 时，yn223n6 是减函数，y1n72也是减函数，当 n4 时，anSn7a4S470.又a1S1739100，a2S27830，a3S37720，nN*，anSn70，anSn7.1(2015山西省四校联考)设等差数列an和等比数列bn首项都是 1，公差与公比都是2，则 ab1ab2ab3ab4

15、ab5()A54B56C58D57解析：选 D.由题意，an12(n1)2n1，bn12n12n1，ab1ab5a1a2a4a8a16137153157.2已知数列an满足：a1m(m 为正整数)，an1an2，当 an为偶数时，3an1，当 an为奇数时.若 a61，则 m 所有可能的取值为()A4，5B4，32C4，5，32D5，32解析： 选 C.an1an2，当 an为偶数时，3an1，当 an为奇数时，注意递推的条件是 an(而不是 n)为偶数或奇数由 a61 一直往前面推导可得 a14 或 5 或 32.3(2014高考辽宁卷)设等差数列an的公差为 d.若数列2a1an为递减数列

16、，则()Ad0Ca1d0解析： 选 C.设 bn2a1an， 则 bn12a1an1， 由于2a1an是递减数列， 则 bnbn1， 即 2a1an2a1an1.y2x是单调增函数，a1ana1an1，a1ana1(and)0，a1(anand)0，即 a1(d)0，a1d0.4在数列an中，若 a12，an1ann2n，则 an()A(n2)2nB112nC.23114nD.23112n解析：选 A.因为 an1ann2n，所以 an1ann2n，所以 ana1(anan1)(an1an2)(a2a1)(n1)2n1(n2)2n2222121(n2)设 Tn(n1)2n1(n2)2n2222

17、121(n2)，则 2Tn(n1)2n(n2)2n1(n3)2n2223122，两式相减得 Tn(n2)2n2(n2)，所以 an(n2)2n2a1(n2)2n(n2)又 n1 时，上式成立，所以选 A.5(2015湖南澧县一中等三校联考)在等比数列an中，0a1a41，则能使不等式a11a1a21a2an1an0 成立的最大正整数 n 是()A5B6C7D8解析：选 C.设等比数列an的公比为 q，则1an为等比数列，其公比为1q，因为 0a11 且 a11q3.又因为a11a1a21a2an1an0，所以 a1a2an1a11a21an，即a1（1qn）1q1a111qn11q，把 a11

18、q3代入，整理得 qnq7，因为 q1，所以 n7，故选C.6(2013高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，其前 n 项和 Sna1（1qn）1q2（12n）122n12.由 2n12100，得 2n1102.由于 2664，27128.则n17，即 n6.答案：67 在等比数列an中， 若 an0， 且 a1 a2 a7 a816， 则 a4a5的最小值为_解析：由等比数列性质得，a1a2a7a8(a4a5)416，又 an

19、0，a4a52.再由基本不等式，得 a4a52 a4a52 2.a4a5的最小值为 2 2.答案：2 28设 Sn是数列an的前 n 项和，若S2nSn(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”若数列2bn是首项为 2，公比为 4 的等比数列，则数列bn_(填“是”或“不是”)“和等比数列”解析：数列2bn是首项为 2，公比为 4 的等比数列，所以 2bn24n122n1，bn2n1.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnn2，T2n4n2，所以T2nTn4，因此数列bn是“和等比数列”答案：是9在等比数列an(nN*)中，a11，公比 q0，设 bnlog2an，且 b1b3b5

20、6，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前 n 项和 Sn及an的通项公式 an.解：(1)证明：bnlog2an，bn1bnlog2an1anlog2q 为常数，数列bn为等差数列且公差 dlog2q.(2)设数列bn的公差为 d，b1b3b56，b32.a11，b1log2a10.b1b3b50，b50.b12d2，b14d0，解得b14，d1.Sn4nn（n1）2(1)9nn22.log2q1，log2a14，q12，a116.an25n(nN*)10(2014高考浙江卷)已知数列an和bn满足 a1a2a3an( 2)bn(nN*)若an为等比数列，且 a12，b36b2.(1)求 an与 bn；(2)设 cn1an1bn(nN*)记数列cn的前 n 项和为 Sn.求 Sn；求正整数 k，使得对任意 nN*，均有 SkSn.解：(1)由题意知 a1a2a3an( 2)bn，b3b26，知 a3( 2)b3b28.又由 a12，得公比 q2(q2 舍去)，所以数列an的通项公式为 an2n(nN*)，所以，a1a2a3an2n（n1）2( 2)n(n1)故数列bn的通项公式为 bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知 cn1an1bn12n1n1n