机械振动公式

1、弹簧串并联串联111kk=+,k=12kk1k2k1+k2 并联 k=k1+k2单自由度无阻尼自由振动xk +kx=0, +n2x=0,n2=,x=x0cosnt+0sinnt,m xxmn02x2-1x0nx=Asin(t+),A=x+(),=tg() n0 nx d(Ek+Ep) (1)求微分方程：定理法，能量法=0;dt k21 (2)求固有频率：定义法n2=，T=,f=,mnTg静变形法=;n st 0)(3)求响应：A,(x0,x单自由度有阻尼自由振动cc +cx +kx=0, +2nx +n2x=0,=m xx=,ccr=2mn,2mnccr0+nx0x2( 1)x=xcost+s

2、int,=-n,0ddd d +nx02xx0d2 x=Ae-ntsin(dt+),A=x0+(0),=tg-1() dx0+nx0A12 =lni=nTd=jAi+j -2单自由度有阻尼强迫振动简谐力直接激励+cx +kx=Fsint,x=Bsin(t-),m x F2 B=,=tg-1,=,22221-nk(1-)+(2)F 无阻尼时，B= k-2x1F=,x=,- st222xst(1-)+(2)k偏心激励单自由度有阻尼强迫振动支承运动激励m x +cx +kx=m20esint,x=Bsin(t-),B=m0e2k(1-2)2+(2)=m0em(1-2)2+(2),=mx2m=(1-)

3、+(2),-0e222单自由度有阻尼强迫振动m x+cx +kx=cx g+kx2g=Xgk+(c)2sin(t+),=tg-1(2),x=Bsin(t+-),=tg-1(21-)B=Xgk2+(c)2)2k(1-2)2+(2)=Xg+(2(1-2)2+(2),=B+(2)2X=g(1-2)2,+(2)2 2, 1,隔振要有适当阻尼单自由度有阻尼强迫振动周期激励叠加原理mx +cx +kx=f1(t)+f2(t)x=x1+x2傅立叶级数展开单自由度有阻尼强迫振动任意激励（1）时域求解：杜哈美积分x=1t-n(t-)mF()esind(t-d0)d（2）频域求解：傅立叶变换X()=1Z()F()

4、=H()F(),Z()=k-m2+jc,机械阻抗，H()=1Z(),机械导纳，频响函数，（3）拉氏域求解：拉普拉斯变换X(s)=G(s)F(s),G(s)=1ms2+cs+k,传递函数。两个自由度振动系统微分方程建立拉格郎日法EEEdEk()-k+d+u=Qi(i=1,2,.,n) i iqidtqqiq式中：EkEdEu分别为系统动能，能量散逸函数和系统势能； iqi分别为广义速度，广义q位移；Qi为广义激振力；n为自由度数；矩阵法 +Cx +Kx=f(t)M x1 1x xxf(t) =,x =,x=1,f(t)=1分别为x 2 2x xx2f2(t) 加速度、速度、位移和激振力向量； 一

5、般矩阵方程可以先用拉格朗日法导出微分方程组 再改写。两个自由度无阻尼自由振动m11,m12m1,0式中：M=0,m为质量矩阵；m,m22122c,cc1+c2,- c2为阻尼矩阵；C=1112=-c,c+cc,c2122223k11,k12k1+k2,-k2K=-k,k+k为刚度矩阵；k,k2122223+Kx =0M xA1设x=Asin(nt+),A=为振幅向量，A2代入得K-n2MA=0,状态方程（两元一次齐次代数方程），要A0,有K-n2M=0，特征方程（关于n2的一元两次方程），2-b b-4ac2n1，=,两个固有频率，n1,n2,22a2a=M=m1m2,c=K=k11k12-k

6、12,b=-(m11k22+m22k11);r1,2=k11-n21,2m11-k12,两个固有振型，r1,r2,画振型图，在第2阶振型中有一个节点。求响应，响应应为两个主振动的迭加，x1=x1(1)+x1(2)=A1(1)sin(n1t+1)+A1(2)sin(n2t+2),(1)(2)x2=x2+x2=r1A1(1)sin(n1t+1)+r2A1(2)sin(n2t+2),四个未知量A1(1)，1，A1(2)，2可由初始条件求出；10x10x 0=，初位移向量x0=,初速度向量x 20x20x一般用下式求D1D2D3D4比较方便，特别有较多零初始条件时：x1=D1cosn1t+D2sinn1t+D3cosn2t+D4sinn2t,x2=r1(D1cosn1t+D2sinn1t)+r2(D3cosn2t+D4sinn2t),10=0,x 20=v,则D1+D3=0,r1D1+r2D3=0,如x10=x20=xD2n1+D4n2=0,r1D2n1+r2D4n2=v,易求D1D2D3D4两个自由度无阻尼强迫振动F +Kx=Fsint,F=1为力幅向量；M xF2设x=Asint,代入得：22-1K-MA=F,两元一次非齐次代数方程，A=K-MF,即k22-2m22,-k122A1-k21,k11-m11F1,=2AK-M2F2当=n1或=n2时有两个共振点；多自由度