机械波与光波的半波损失研究

1、本科毕业论文（设计）图5 万寿菊花瓣的傅里叶变换红外光谱Fig.5 FTIR spectra of Tagetes ercta 论文题目：机械波与光波的半波损失研究作 者： 王治祥 学号：2010121142学 院： 物理与电子工程学院 年 级： 2010级专 业： 物理学指导教师：时有明 职称：副教授日 期： 2014年5月20日曲靖师范学院教务处制曲靖师范学院 本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。 答辩小组签名主席姓 名工 作 单 位职 称成员 答辩日期：原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下进行的研究工作。除

2、了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。签名： 指导教师签名： 日期： 。机械波与光波的半波损失研究摘要 半波损失问题是物理学中的重点内容和难点问题。本文从基本的机械波波动方程入手讨论了机械波的半波损失问题。给出了机械波半波损失问题

3、的基本条件和结论，并讨论了“固定端”反射和“自由端”反射两种特殊边界条件的半波损失问题；在波动光学中常常会遇到光波在2种介质分界面上反射时的相位突变问题（半波损失），由于入射光束从光疏介质进入光密介质在分界面上反射时引起相位突变。进一步将从电磁场理论出发，利用边界条件导出光学中的一个重要公式菲涅尔公式，从菲涅尔公式出发，分析了半波损失的概念及其产生条件，并讨论了“固定端”反射和“自由端”反射两种特殊边界条件的半波损失问题。关键字：机械波；光波；半波损失Half wave lossof mechanicalwaves and light wavesAbstract: The problem of

4、 half-wave loss is the key content and most difficult problem in physics. From the basic mechanical wave equation starting discussed half wave loss of mechanical waves. Giving the basic conditions and conclusions for the mechanical wave half-wave loss, then discuss the fixed end reflection and free

5、end boundary conditions, which reflected in two special half-wave loss problems. In physical optics often encounter such a situation when two kinds of light phase boundary surface reflection mutations media issues (half-wave loss). These phenomena are due to the incident beam of light from the light

6、 into the dense medium sparse media, which caused by mutations in the phase boundary surface reflectance results. Further from the electromagnetic field theory, using the boundary condition lead to an important export optical formula - Fresnel formula. From the Fresnel formulas, analyzes the concept

7、 of half-wave and the resulting loss of condition, and discusses the half-wave loss problem fixed end reflection and the reflection of two free end special boundary conditions.Key words: Mechanical Wave ;Waves; Half-wave Loss目 录1引言11.1 课题背景11.2 振动方程和波动方程12 机械振动发生半波损失的条件42.1机械波半波损失条件的一般性推导42.2机械波的半波损

8、失问题特殊边界条件的讨论73 光波发生半波损失的条件83.1菲涅尔公式83.2反射时的半波突出93.2.1 正入射时的外反射103.2.2 掠入射时的外反射113.2.3 斜入射时的外反射113.2.4 结论124 机械波与光波发生半波损失的条件对比135 结束语14参考文献15致谢161 引言1.1 课题背景 波的半波损失问题是指机械波或光波在媒质表面反射时出现附加相位差的现象。在有关振动和驻波的演示实验中常有疑问为什么机械波在反射时有半波损失，而现行的物理教材很少对机械波的半波损失给出数学证明，只是给出半波损失的结论，而对于半波损失的条件也不一致：一种说法是“机械波从密度小的介质入射到密度

9、大的介质时发生半波损失”；另一种说法是“机械波从波阻小的介质入射到波阻大的介质时”发生半波损失，振动和波动都是自然界最常见且重要的物质运动形式，它们既存在于许多科学技术领域之中，又与人类日常生活息息相关，学习振动和波动理论对思维能力、想象能力和创新能力的培养具有积极的作用。振动是指某一物理量在一定的平衡值附近形成周期性变化。我们把物体在一定位置附近做来回往复的运动称为机械振动。波动是振动的传播过程，可分为“物质波”“电磁波”和“机械波”三大类。机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波。机械波的半波损失是指机械波在不同媒质界面反射时，入射波和反射波相位差的现象，即入射波和反射波在界面处引起的振动

10、反向。本文从基本的机械波波动方程入手讨论了机械波的半波损失问题。给出了机械波半波损失问题的基本条件和结论，并讨论了“固定端”反射和“自由端”反射两种特殊边界条件的半波损失问题。光波的半波损失现象是指光波在媒质表面反射时出现附加位相差的现象。在长期的物理相关课程教学中,对于光经两种媒质分界面反射时的半波损失现象,一般描述为“光从光疏媒质入射到光密媒质时,反射光具有半波损失”1-3。这样的描述存在概念上的含混不清甚至错误之处,容易产生误解。特别是工科院校的学生,对光波的电磁理论了解甚少,不能从半波损失的起源上理解这一概念,造成许多认识上的混乱。事实上,半波损失现象的产生,不仅取决于界面两侧媒质的折

11、射率,还与入射角有关。对于光波的半波损失问题可以从菲涅尔公式出发，分析得到光波入射两种媒质交界面时的半波损失问题 4,5。1.2 振动方程和波动方程 物体m总是受到回复力f的作用，根据胡克定律和牛顿第二运动定律 （1）并设 （2）可得二阶常系数线性齐次微分方程 （3）方程( 3) 的特征方程为： （4）有两个复根 （5）方程(3) 式的两个特解为： （6）其通解为： ，（ 、为常数） （7）根据欧拉公式： （8）有 （9）代入（7）式 (10) （） （11）令 （12）代入（11）式得 （13）根据三角函数和角公式可得到振动方程： （14） 2 机械振动发生半波损失的条件2.1 机械波半波损

12、失条件的一般性推导不失一般性的我们讨论在固体中传播的横波和纵波以及在液体和气体中传播的纵波在入射两种媒质交界面时的半波损失产生的条件。假设机械波垂直入射到两种媒质交界面的情况加以讨论。如图1所示,取两种媒质的交界面为平面，一列圆频率为、角波数为沿x轴正向传播的平面余弦波,在交界面处一部分被反射,一部分透入媒质2 。媒质1媒质2入射波透射波反射波x图1入射界面示意图设机械波(横波或纵波)的入射波、反射波和透射波的表达式分别为: （15）其中、的符号由边界条件确定,如果、与同号说明反射波、透射波与入射波同相,如果、与异号说明反射波、透射波与入射波反相。媒质1中机械波的方程为： (16)媒质2中机械

13、波的方程为： (17)如果对界面处两侧媒质无分离、无滑动,这种情况下,界面两侧波的位移应相等,应力应相同,即有边界条件6: （18） （19）其中 和代表介质1和介质2的弹性模量E、切边模量G或者体积模量K，且有 ， （20）而其中 ， （21） ，分别是介质1和介质2的密度， ，是媒质1和媒质2中的波的速度。把（16）、（17）代入（18）得： （22）要使（22）式在任何情况下都成立，必须： (23) (24)把（16）、（17）式代入（19）式得： （25）为了使（25）式任何情况下都成立，必须 （26） （27）因为 ， （28）所以 ， （29）令 , （30） 和分别称为媒质1和媒

14、质2的波阻。于是(26)和(27)式改写成 （31） （32）把（26）乘以减去(31)式可得 (33)把（26）式乘以减去（31）式可得 （34）将（33）式和（34）式相比得 (35)因为和均为大于零的正量,故要使(32)式两边都相等，必须使，这就说明和仅能取0和两个值。这也证明了当机械波垂直入射两种媒质交界面时,位相的变化只能是0和两个值。那么和究竟是取0还是取,这要由（33）式和（35）式来确定，下面我们分别讨论：（1）若 即波是由波密媒质射向波疏媒质,则（33）式右边是正数，而绝对为正数，若要等式成立必须，即只能取0.这就是说当波由波密媒质射向波疏媒质,反射时没有相位突变。（2）若,

15、即波由波疏媒质射向波密媒质,则(33)式右边是负数,故必须，即只能取。这表明,当波由波疏媒质射向波密媒质反射时相位突变。（3）由(35)式可见,等式右边永远是正数,而又是正数,所以要等式成立,必须是正数,即只能取0。这就是说,无论波是由波疏媒质透入波密媒质,还是由波密媒质透入波疏媒质都不会发生相位突变。可以认为(33)和(35)两式便是机械波垂直入射到两种媒质交界面情况下的菲涅耳反射、透射公式。2.2 机械波的半波损失问题特殊边界条件的讨论 以上对于机械波的半波损失条件进行了一般性的讨论,一般性的条件为界面处两侧媒质无分离、无滑动。下面对机械波中的特殊边界条件即“固定端”反射和“自由端”反射两

16、种情况进行讨论。（1）“固定端”反射是指界面处两侧质元始终被限制不动,这时边界处位移为0,在以上一般性讨论中边界条件变为 (36)将(16)、(17)代入(36)有: (37)可以得到 ， （38）即在“固定端”反射时无透射波，且和等值异号，有半波损失,同时反射波与入射波叠加会形成驻波,反射点为波节。（2） “自由端”反射是指是指介质1相对于介质2可以完全无牵连地滑动。此时边界处应力为0,边界条件变为: (39)把(16)、(17)代入(39)式有: (40)可以得到： ， （41）即在“自由端”反射时仍然无透射波, 且和等值同号,无半波损失,同时反射波与入射波叠加也会形成驻波,反射点为波腹。

17、3 光波发生半波损失的条件3.1 菲涅尔公式光是一种电磁波。电磁波的电场强度E和磁场强度H方向垂直,且都和光的传播方向垂直,E、H和光的传播方向满足右旋关系。当光波通过两种媒质的分界面时,将发生反射和折射现象。反射光和折射光与入射光在同一平面(入射面)内,传播方向由反射和折射定律确定;而振动方向和振幅与入射光的关系则由光的电磁理论来分析。若H垂直于入射面向外,对入射、反射和折射光线,分别用、表示，则E平行于入射面,分别用、表示，方向如图2所示，其中：平面为两种媒质的分界面（折射率分别为和），为入（反）射角；为折射角，满足折射定律：O图2 平面波的反射和折射由于电磁波中起感光作用的是E而不是H,

18、因此以电场强度E作为描述光波振动状态的光振动矢量。入射、反射和折射光的光振动矢量均可分解为两个分量:一个平行于入射面,分别用、表示，另一个垂直于入射面,分别用、表示。考虑到透明媒质的磁导率，利用电磁波理论中E、H的关系和E、H在界面处的连续性条件,可得电场各分量满足的关系式7，8： （42） （43） （44） （45）此即菲涅尔公式。其中折射率，故。3.2 反射时的半波突出3.2.1 正入射时的外反射 为使分析清楚起见，规定如图3所示的光矢量各分量的正方向。图3 各光矢量的正方向对于正入射有,；由折射定律得：，将这一关系代入菲涅耳公式有：；。即在分界面上反射光的电矢量与入射光的电矢量同符号，

19、而反射光线的电矢量与入射光的电矢量反符号。就是说，每条光线各以自由的传播方向作为参考，矢量与有相同的取向，而与有相反的取向。亦即矢量对入射线的取向与对反射光线的取向相同，对入射光线的取向与对反射光线的取向相反。由于，所以入射光的传播方向和反射光的传播方向相反，并可以看成共线。应用图4所示的符号规定可知，在入射点O处反射光中的发生了相移，如图4中可以看出反射光的合矢量和入射光的合矢量反向。也就是说入射点O处，反射光的相位相对于入射光相位发生了的相位突变。OZ图4正入射时的相位关系3.2.2 掠入射时的外反射 这时有，。用和前面完全一样的分析方法有：；，由于，即在入射点处，入射光和反射光的传播方向

20、可看成一致，这时反射光场中的和均和规定的正方向反向，如图5所示，这时反射光场中的振动方向和入射光场的振动方向相反，即反射光中有的相位跃变。OZ图5 掠入射时的相位关系 当光从光密介质向光疏介质入射时，；，用同样的分析方法可以得出反射光和入射光的相位差不是而是零，即没有半波损失。3.2.3 斜入射时的外反射 这时有，。可分2种情况。（1）（偏化角）应用折射定律可得：，由菲涅耳公式有：；。应用符号规则可做出反射光中各分量的指向如图6所示。从图6中可以看出，此时反射光中的发生了的相位跃变，而分量还是指向规定的正方向，没有相位突变。而对于反射光的合矢量来说，由于入射光波的波面与反射光波的波面不在同一平

21、面内，因此入射光的合矢量和反射光的合矢量一般来说是不共线的，所以无从比较其电矢量合振动的方向，这时讨论其反射光有无半波损失是没有意义的。OZ图6 斜入射时的相位关系（2）这时应有，。应用菲涅耳公式得：，。并应用符号规则可知反射光振动中的和分量应分别和自己规定的正方向反向，即都发生了的相位跃变（见图6）。同前面一样，此时讨论反射光的合矢量有半波损失也是毫无意义的。3.2.4 结论通过上面的一系列分析可以看出：光波的半波损失主要是由反射光束的相位突变引起的。而反射光束的相位突变不仅与介质的性质有关，而且还与入射角以及入射光束的偏振状态有关。并可得出结论：(1) 正入射的外反射，反射光将产生半波损失

22、。(2) 掠入射的外反射，反射光也将产生半波损失。(3) 以其余角入射的外反射，对于垂直于入射面的光振动,反射光有的相位跃变，且跃变与入射角无关。对于平行入射的光振动,有当时才有的相位突变。但此时研究整个反射光波场对于入射光是否有的位相突变是没有意义的。4 机械波与光波发生半波损失的条件对比对于机械波，从基本的振动方程，由两相邻界面波阻的大小关系来判断是否有半波损失,对于“界面处两侧介质无滑动无分离”这种情况完全适用的，而对于“固定端”以及“自由端”的反射现象需要对边界情况进行特殊处理才能解释。当然还有介于这三种理想情形之间的情况，那些情况下反射波与入射波的相位关系更复杂，不过应该介于和0之间

23、，这一点与光波类似。一般情况下反射波的相位变化是近似等于或者0的。密度和波速的乘积较大的媒质称为波密媒质,较小的媒质称为波疏媒质。 当机械波由较小的波疏媒质传播到较大的波密媒质的分界面上反射时,这就相当于机械波在弦线固定端反射,反射波的相位发生的改变,即存在半波损失。反之,若机械波由较大的波密媒质传播到较小的波疏媒质分界面上反射时,这就相当于机械波在弦线自由端反射, 反射波的相位不变,则无半波损失。以菲涅尔公式为基本出发点, 光由光疏媒质入射到光密媒质时光振动矢量的位相变化，光波由光疏媒质垂直入射或掠入射到光密媒质时,反射光有半波损失；光波由光密媒质入射到光疏媒质时,反射光无半波损失。折射光在

24、任何情况下均无半波损失。光波半波损失主要是由反射光束的相位突变引起的。而反射光束的相位突变不仅与介质的性质有关，而且还与入射角以及入射光束的偏振状态有关。正入射的外反射，反射光将产生半波损失。掠入射的外反射，反射光也将产生半波损失。以其余角入射的外反射，对于垂直于入射面的光振动,反射光有的相位跃变，且跃变与入射角无关。对于平行入射的光振动,有当时才有的相位突变。5 结束语本文通过严格的推导以力学基本关系为基础从基本的机械波波动方程入手讨论了机械波的半波损失问题。给出了将机械波的半波损失问题的基本条件和结论并讨论了“固定端”反射和“自由端”反射两种特殊边界条件的半波损失问题。光波的半波损失是指光

25、波遇到两种媒质的界面时,光振动方向发生反转的现象。光波斜入射到两种媒质的界面时,反射光和折射光相对于入射光的振动方向可发生突变,但由于并非完全反转,半波损失的概念在此没有意义。光波由光疏媒质垂直入射或掠入射到光密媒质时,反射光有半波损失；光波由光密媒质入射到光疏媒质时,反射光无半波损失。折射光在任何情况下均无半波损失。以菲涅尔公式为基本出发点, 光由光疏媒质入射到光密媒质时光振动矢量的位相变化，光波由光疏媒质垂直入射或掠入射到光密媒质时,反射光有半波损失；光波由光密媒质入射到光疏媒质时,反射光无半波损失。折射光在任何情况下均无半波损失。光波半波损失主要是由反射光束的相位突变引起的。而反射光束的

26、相位突变不仅与介质的性质有关，而且还与入射角以及入射光束的偏振状态有关。正入射的外反射，反射光将产生半波损失。掠入射的外反射，反射光也将产生半波损失。以其余角入射的外反射，对于垂直于入射面的光振动,反射光有的相位跃变，且跃变与入射角无关。对于平行入射的光振动,有当时才有的相位突变。这些讨论有助于理清机械波的半波损失问题帮助在物理的学习过程中加深对机械波和光波的半波损失问题的条件和结论理解。参考文献1马文蔚.物理学M.北京:高等教育出版社,1999.2吴锡珑.大学物理教程M.北京:高等教育出版社,1999.3张三慧.大学物理学M.北京:清华大学出版社,1999.4赵俊卿,蔡传锦.光波的半波损失现象及其应用探析J.山东建筑工程学院学报,2005,20(4):94-98.5韩士杰,傅荔韬,魏崇.也谈机械波的“半波损失”问题J.哈尔滨工程学院学报,1993,16(2):188-192.6程俭中,陈小凤.半波损失产生条件的分析与讨论J.贵州大学学报,2004,