提公因式法分解因式典型例题

1、因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。1 .因式分解特征： 因式分解的结果是几个整式的乘积。2 .因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形整因式式乘分法解知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数?2、寻找公因式的方法:c 2cc438323a y 3ay 6y , xy x y ,927323_23 3 2 _ 2a(x y) b(x y) (x y) ,- 27a b 36a b 9ab1

2、.确定公因式的系数当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项 系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且 分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最 大公因数。2.确定相同字母公因式的字母是各项都含有的字母3.看次数相同字母的指数取最低次数4.看整体如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。5.看符号若多项式的首项是，则公因式的符号一般为负。-知识点三：因式分解的方法（重点）（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1 .提取公因式法： 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面, 把多项式转化成

3、公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2 .符号语言： ma mb mc m（a b c）3 .提公因式的步骤：（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）4 .注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1 :考察因式分解的概念1. (2017春峰城区期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是()A、x29 6x (x 3)(x3) 6xb 、(x 5)(x 2)x2 3x 10C、x28x 16 (x 4)2 D 、6ab 2a 3b2. (2017秋抚宁县期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是()A、x2 2x 3 (x 1)

4、2 2 b 、(x y)(x y) x2 y2 222C、x xy y (x y) D 、2x 2y 2(x y)3. (2017秋姑苏区期末)下列从左到右的运算是因式分解的是()A、2a2 2a 1 2a(a 1) 1 b 、(x y)(x y) x2 y2C、9x26x 1 (3x1)2D 、x2y2(xy)22xy4. (2017秋华德县校级期末)下列各式从左到右的变形，是因式分解的是()A、3x 2y 1 5x 1B、(3a2b)(3a 2b) 9a24b2-22 . .1 .22C、x x x(1 -)D、2x8y 2(x 2y)(x2y)x5. (2017春新城区校级期中)下列各式

5、从左到右的变形是因式分解的是()A、a(a b) a2 abb 、a2 2a 1 a(a 2) 1C、x2 x x(x 1)D 、xy2 x2y x(y2 xy)6. (2016秋濮阳期末)下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是()A、(x1)(x 2) x2 3x 2b、x23x2 (x 1)(x 2)C、x24x 4 x(x 4) 4d、x2y2(x y)(x y)模块2:考察公因式1. (2017春抚宁县期末)多项式15m3n2 5m2n 20m2n3的公因式是(). l_22_2_2A、5mn B 、5m n C 、5m n D 、5mn2. (2017春东平县期中)把多项式8a2b

6、3c 16a2b2c2 24a3bc3分解因式，应提的公因式是()一2.2 2 3一 一3 3 3A、8a bc b 、2a b c C 、 4abc D 、24a b c3. (2017秋凉州区末)多项式 a2 9与a2 3a的公因式是()A、a 3 C 、a3 b 、a1 D、a14. (2017春邵阳县期中)多项式 8xmyn1 12x3myn的公因式是()mnm n 1mnm n 1A、x y B 、xy C 、4xy D、4xy325. (2016春深圳校级期中)多项式 5mx 25mx 10mx各项的公因式是()23A、5mx B 、 5mx6.下列各组代数式中没有公因式的是(A、

7、5m(a b)与 b a BC、mx y 与 x y DC 、mx D 、 5mx)、(a b)2 与 a b、a2 ab 与 a2b ab27.观察下列各组式子：2a b和 a b ; 5m(a b)和 a b ; 3(ax2y2和x2 y2。其中有公因式的是()A、B 、 C 、 D 、模块3:利用提公因式法分解因式因式分解的第一种类型：直接提取公因式1、分解因式：(1) x2 3x(2)2x2 18x2y 4xy2(3) 6a(a b) 4b(a b)1 12212,5,、nn1n2(4)-abc -ab a bc(5) ab a(6) x x x5546因式分解的第二种类型：变形后提取

8、公因式2 .分解因式：(1) 3a(x y) 6b(y x)(2)a(x y) b(y x) c(x y) 因式分解的第三种类型：分组后提取公因式3 .分解因式：(1) mx my nx ny 2a 4b 3ma 6mb模块4:提公因式法的综合应用类型1:利用提公因式法进行简便计算1 .利用简便方法计算：13 1313(1) 3.2 200.9 4.7 200.9 200.9 2.1(2) 36.8 13 20.2 2 55 5555类型2:利用提公因式法进行化简求值2 .先分解因式，在计算求值：_2 _2_(2x 1) (3x 2) (2x 1)(3x 2)x(1 2x)(3x 2)其中 x

9、=2016 c -3 . (2016秋唐河县期末)已知：a b 2015, ab ，求a2b ab2的值20154 .已知a b 4, ab 2,求多项式4a2b 4ab2 4a 4b的值。5 .若ab2 1 0,用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值.6 .若 a2 a 1 0,则 a2016 a2015 a2014=。2x y 6237 .不解万程组，求7y(x 3y)2 2(3y x)3的值。x 3y 1类型3:拔高培优题型8 . (2015 杭州*II拟)已知(19x 31)(13x 17) (17 13x)(11x 23)可因式分解成 (ax b)(30x c),其中a、b、

10、c均为整数，求a b c的值。9 .已知多项式x4 2012x2 2011x 2012有一个因式为x2 ax 1 ,另一个因式为2x bx 2012，求 a b 的值。10 .求证：32016 4 32015 10 32014 能被 7 整除。11 .已知 a,b,c满足 ab a b bc b c ca c a 3,求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a, b,c都是正整数)12 .(学霸题中题)若 x2 x 1是ax3 bx2 1的一个因式，则 b的值为()A、2 B 、1 C 、0 D 、213 .(2017合肥月考*)要使多项式x2 2x n能分解为两个整系数一次多项式之积，则不大

11、于100的自然数n的个数为()A、8 B 、9 C 、10 D 、1114 .(2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次。(2)若分解1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)2004 ,则需应用上述方法 一次，结果是。(3)分解因式：1 x x(x 1) x(x 1)2 . x(x 1)n (n 为正整数)。、选择题1.(2017开县一模)当a,b互为相反数时，代数式a2 ab 4的值为(A、4 B 、0 C 、3D 、42. （2016秋乳山期末）边长为a, b的长方形周长为12,面积为10,则a2b ab2的

12、值为（）A、 120 B 、 60 C 、 80D 、 403. （2017春蚌埠期末）201620172)2016( 2)2017 所得的结果是(A、2 B 、222016D 、 220164. （ 2017 春乐亭县期末）( 8) 20148） 2013 能被下列数整除的是（A、 6 B 、 5 C 、6 D 、5A、 3 B 、 55. （ 2017 春源城区校级月考）把多项式把多项式2p (a1)p(1a） 分解因式的结果是（A 、 (a 1)(p2 p) B、 (a 1)( p2 p)C、p(a1)(p1) D、p(a 1)(p 1)6. （ 2017 春阳谷县期末）把xn 3 xn

13、 1 分解因式得（n1 2A、 x (x 1) Bn3x (x x) Cn2x(xxn)n1 2x (xx)7. （ 2017 春北湖区校级期中）整式整式2(a2 1) a2 1的值(A、不是负数 B、恒为正数C 、恒为负数 D 、结果的符号不确定8. （ 2016 赵县模拟）若ab 3 ，2b 5 ，则a2b 2ab2 的值是（A、15、 15、29. （ 2016 春高密市期末）将3x(ab) 9y(ba） 因式分解，应提的公因式是（A、 3x 9y B 、 3x 9y C 、 a b D 、 3（a b）10. （2016 春临清市期末）计算（ 3）m 2 （ 3）m 1 ，得（）A、

14、3m 1 B 、 （ 3）m 1 C 、（ 3）m 1 D 、 （ 3）m11. （2016 春深圳期末）若a b 3 ， ab 2 ，则代数式a2b ab2 的值为（）A、 1 B 、1 C 、6 D 、 612. （2016秋美兰区校级期中）若 a b5, c 2,则 ac bc等于（）A、 10 B 、10 C 、 3 D 、313. （2016秋简阳市期中）如果多项式 mx A可分解为m（x y）,则人为（）A、 m B 、 my C 、 y D 、 my14. （2016 春深圳期中）若a b 2 ， ab 3，则 ab2 a2b 的值为（ ）15. （2016春港南区期中）设 Pa

15、2( a b c) , Q/ 2a(aab ac）,则P与Q的关A、P Q B 、 P Q CP Q D 、互为相反数、(x y)(3m 2x 2y)、(y x)(3m 2x 2y)6a3b 9a2b =2. （2017潍坊）因式分解:x2 2x (x 2) =16. （2016春锡山区校级月考）计算： 22014 （ 2 ） 2015的结果是（2015201420142014A 2 B、2 C、2 d、3217. (2016春宿州校级月考)下列运算中，因式分解正确的是()A、m2mnmm(mn 1)B、9abc6a2b23bc(3 2ab)221.212.1.、C、3a x6bx3x3x(a

16、2b)D、一 ab- a b ab(a b)22218. (2015春杭州期末)多项式 (x 2)(2x 1) (x 2)可以因式分解成(x m)(2x n),则m n的值是（）A、2 B 、2 C 、419. （2015春莲湖区校级月考）把多项式3m（x y） 2（ y x）2分解因式的结果是 （A、(xy)(3m2x2y)BC、(xy)(3m2x2y)D二、填空题1. (2016潍坊模拟)分解因式：a4b3. （2017崇安区一模）分解因式（x y）2 3（x y）的结果是4. （2016秋内江期末）因式分解：（x y）2 2y（x y） =。5. （2016滨海县二模）分解因式：m（x

17、y） n（y x） =。6. （2017春醴陵市期末）因式分解： 6（x 3） x（3 x）=。7. （2017春碑林区校级期中）分解因式2m(m n)2 8m2 (n m) =8.（2016陕西校级三模）分解因式：（3a b）（ab)ab b2 三9.（2017沂源县一模）因式分解 （a b）（a b1） a b 1的结果为10. (2016 春寿光市期末)计算： 5652 0.13 4652 0.13=11. （2015秋孟津县期末）简便计算:121 0.13 12.1 0.9 1.21 12=322.12. （2017春宜兴市期中）把多项式13. （2016安徽模拟）已知长和宽分别为16x 40x y提出一个公因式8x后，另一个因式 a,b的长方形，其面积等于 15,周长等于16,则_2-22ab 2ab = 14. （2016北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 。16. （2015秋黄山期末）若a 2, a 2bc 3,则2a2 4abc的值为。2217