第一章11112余弦定理

1、11.2余 弦 定 理预习全程设计预习全程设计案例全程导航案例全程导航训练全程跟踪训练全程跟踪返回返回返回返回1余弦定理余弦定理(1)语言叙述语言叙述三角形中任何一边的平方等于三角形中任何一边的平方等于 减减去去 的积的的积的 其他两边的平方的和其他两边的平方的和这两边与它们的夹角的余弦这两边与它们的夹角的余弦两倍两倍返回返回(2)公式表达公式表达a2 ；b2 ；c2 .a2c22accosBb2c22bccosAa2b22abcosC返回返回(3)推论推论cosA ；cosB ；cosC .返回返回2余弦定理及其推论的应用余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，应

2、用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形三边解三角形返回返回返回返回2在在ABC中，已知中，已知a7，b3，c5，则，则A_.答案：答案：120返回返回返回返回探究点一探究点一已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三角形1.若已知角是两边的夹角，直接运用余弦定理求出另外若已知角是两边的夹角，直接运用余弦定理求出另外 一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解2.若已知角是其中一边的对角，一种方法是利用正弦定若已知角是其中一边的对角，一种方法是利用正弦定 理先

3、求角，再求边，另一种方法用余弦定理列出关于理先求角，再求边，另一种方法用余弦定理列出关于 另一边的一元二次方程求解另一边的一元二次方程求解返回返回提示提示1用余弦定理列出关于用余弦定理列出关于a的方程求解的方程求解2用正弦定理，先判断解的情况，再求解用正弦定理，先判断解的情况，再求解返回返回返回返回返回返回返回返回探究点二探究点二已知三边已知三边(三边关系三边关系)解三角形解三角形 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据三边的大正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据三边的大小确定角的大小，防止产生增解或

4、漏解小确定角的大小，防止产生增解或漏解返回返回 在在ABC中，已知中，已知a7，b3，c5，求最大，求最大角和角和sinC.提示提示在三角形中，大边对大角，所以在三角形中，大边对大角，所以a边所对的角边所对的角最大，根据已知三边求三角可用余弦定理求解最大，根据已知三边求三角可用余弦定理求解返回返回返回返回2在在ABC中，已知中，已知ab4，ac2b，且最大角为，且最大角为120，求三边的长，求三边的长返回返回返回返回探究点三探究点三判定三角形的形状判定三角形的形状 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时

5、，主要有如下两条途径：依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状形状.返回返回(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC 这个结论在两种方法的等式变形

6、中，一般两边这个结论在两种方法的等式变形中，一般两边 不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解返回返回 在在ABC中，已知中，已知(abc)(abc)3ab，且且2cosAsinBsinC，判断，判断ABC的形状的形状提示提示已知条件中既有边的关系又有角的关系，可以已知条件中既有边的关系又有角的关系，可以用边化角或者用角化边来判断用边化角或者用角化边来判断返回返回返回返回返回返回法二：法二：(利用角的关系来判断利用角的关系来判断)ABC180，sinCsin(AB)又又2cosAsinBsinC，2cosAsinBsinAcosBcosAsinB，s

7、in(AB)0，又，又A与与B均为均为ABC的内角，的内角，AB.由由(abc)(abc)3ab返回返回返回返回3在在ABC中，若中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试，试判断三角形的形状判断三角形的形状返回返回解：法一：解：法一：在在ABC中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得4R2sin2Bsin2C4R2sin2Csin2B8R2sinBsinCcosBcosC，又又sinBsinC0，sinBsinCcosBcosC，cos(BC)0，又又0BC180，BC90，A90，ABC是直角三角形是直角三角形返回返回返回返回 如图所示，已知如图所示，已知POQ60，M是是POQ内的一点，它到两边的距内的一点，它到两边的距离分别为离分别为MA2，MB11，求，求OM的长的长返回返回巧思巧思由已知条件知由已知条件知A，O，B，M四点共圆，故所求四点共圆，故所求的的OM为为O