平面向量知识归纳和题型总结报告

1、平面向量章节分析 :向量是近代数学中重要和基本的概念之一 , 具有代数形式和几何形式的“双重身份”, 能融数形于一体 , 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合 , 形成知识交汇点 . 向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具 , 有着极其丰富的实际背景 , 在数学和物理学科中有重要应用 .向量有深刻的几何背景 , 是解决几何问题的有力工具 , 向量概念引入后 , 许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系 , 例如平行、垂直、夹角、距离 等.对本章的学习要立足基础 , 强化运算 , 重视运用 , 能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算 , 并能运用向量知

2、识解决平面几何中的一些证明和计算问题 .平面向量的概念、几何运算和基本定理1. 向量的相关概念2. 向量的线性运算3. 向量的共线定理rrrr非零向量 a 与向量 b 共线 , 当且仅当存在唯一一个实数, 使 ba 。uuurA, B,C 三点共线uuur uuuruuur延伸结论 :AB / AC当且仅当有唯一R,使ABAC4. 平面向量的基本定理uruurr如果 e ,e 是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a , 有且只有一对实12ruruururuur数 1, 2 使 : a1e2e , 其中不共线的向量 e , e叫做表示这一平面内所有向量的一1212组基底 .uru

3、urruruur ruruur练习 : （ 1）已知 e1, e2 是平面向量的一组基底, ax1 e1y1 e2 , bx2 e1y2 e2 ,rrrr若 ab 当且仅当 xx 且 y1 y2 . 若 a0, 则 x1x2 0.uuur uuur12uuuruuur uuuruuur uuur（ 2）如图 OA, OB 为单位向量， | OC | 2 3 ，其中 OA, OB 的夹角为 120o ， OA,OC 的夹uuuruuuruuur,角为 30o 。若 OCOBOA ，求的值。5. 一个常用结论 : ABC 中 ,M 为边 BC的中点 ,则有 :uuuuruuuruuur2AMABA

4、C .练习:设uuurr uuurrrruuurABC 的重心为点 G , 设 ABa, ACb. 试用 a,b 表示 AG .典型例题分析 :知识点一 : 基本概念例 1.uruur, 那么下列各说法错误的有()1. 如果 e ,e是平面内两个不共线向量ur12uuruur e2(,R ) 可以表示平面内的所有向量 ; 平面ur e1内的所有向量都可以表示成e1e2 (,R ) 。ruruur对于平面中的任一向量a 使 ae1e2的, 有无数多对 ;uruururuur若向量1 e11 e2 与 2 e12 e2 共线 , 则有且只有一个k R ,uruururuur2 e12 e2k (

5、1 e1r1 e2 )uruur若实数,使 e1e20 , 则0 .A. B. C. D.练习 :1)判断下列命题的真假(1) 向量 AB 与向量 CD 为共线向量 , 则 A, B, C, D 四点共线 .(2) 若 ABCD 则四边形 ABCD 为平行四边形 .rrrrrr(3) 若向量 a b , b Pc 则 a Pc .(4)rrrrrrrra,b 是两个向量 , 则 | ab | a | b | 当且仅当 a, b 不共线时成立知识点二 : 向量的线性运算例 1.化简 :uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(1)ABBCCA;(

6、2)( ABMB )BOOM ;(3)OAOCBOCO;(4)uuuruuuruuuruuur(5)uuuruuuruuur(6)uuuruuuruuurABACBDCD ;OAODAD ;ABADDC ;uuuruuuruuuuruuur(7)NQQPMNMP.uuuruuuuruuur如图 , 四边形 ABCD ,E ,F分别为 AD,例 2.BC的中点,求证: ABDC2EF .练习 : （1) 已知 ABC 三个顶点 A,B , C 及平面内一点uuuruuuruuuruuurP,若PAPBPCAB,则( )A.P在 ABC 内部B.P在 ABC 外部 C.P在AB边所在直线上D.在线

7、段 BC 上(2)uuuruuur Puuuruuur设 M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点 , O 为任意一点 , 则 OAOBOCOD =uuuuruuuuruuuuruuuurAOM.B.2OMC.3OMD.4 OM知识点三 : 平面向量基本定理和共线定理uruurruruurrurur uurr例 1.1 ）已知 e1 ,e2 为不共线向量 , a3e12e2, b2e1e2, c7e1uruuruuururuur uuururuur2) 设 e1, e2 是两个不共线的向量,已知 AB2e1ke2 , CB2e13e2 ,uurr rr4e2用 a, b 表示 c .uuuur

8、uruurCD2e1e2 若A, B , D 三点共线 , 求 k 的值 .例 2.证明 : 平面内三点 A, B,C 共线存在两个均不为0 的实数 m, n ,uuuruuuruuur使 OAmOBnOC , 且 m n 1.练习 :证明 : 平面内三点 A, B,C 共线存在三个均不为0的实数 l ,m, n ,uuuruuuruuurrmn0.使 lOA mOBnOC0, 且 l向量数量积及坐标运算一、基本知识回顾 :rrrr1、已知向量 a, b, 其中 a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) : 向量的坐标表示 , 实际是向量的代数表示. 在引入向量的坐标表示后, 即可

9、使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来向量几何表示或运算向量运算与关系向量坐标表示或运算平行四边形法则或三角形法则向量加减法rra b (x1x2 , y1y2 )r实数与向量的积r实数 与向量a 的积是一个向a( x1 , y1 )( x1 , x2 )r量, 记作 arrrrrrr rrrx1 x2y1 y2a ba b cosa, b数量积 aba brrrrx1y1存在唯一的实数r，使 ab向量 a / bx1 y2x2 y1rrrx2y2（ b0 ）(b0)rrrrx1 x2y1 y20a b 0向量 a brr 2(r 2r 2rrx122aaaa )向量的模 aay1r

10、rrrr rr rx1 x2y1 y2a b向量夹角 < a，b >coscosa,ba, b2222rry2a bx1y1x2uuuruuuruuuruuuruuurABBCA, B, C 三点共线y1AB / BCOAxOByOC ,且 x练习 :1、 判断下列命题的真假rrrr rrrrrrrr21）若向量 a / b ,b / c , 则 a / c .）若 abbc, 则 acr rrrrrrr2r 2r rr 23） (a b) ca(bc),4） ( ab)a2a bbrrrr6rrrr5） abab） 0a 0,0a0rrrr;rr2、已知 a(4, 2), b(x

11、,3) . 若 a / b , 则 x若 ab , 则 x.3、已知 A( 4,1), B(7,uuur,uuur3), 则与 AB 同向的单位向量是与 AB 平行的单位向量是.4、已知点 A(ruuurr1,5) 和向量 a(2,3) , 若 AB3a , 则点 B 的坐标为r(5,r(6, 3),rrrr5、已知 a5), bc(1,8) , 若 ambnc , 求实数 m, n.rrrr6、已知 a(1,0),b(2,1) , 则 | a3b |7）下列各组向量中, 可以作为平面基底的是（uur）uruururA. e1(0,0), e2(2,1)B.e1(4,6), e2(6,9)ur

12、uururuur1 ,3)C. e(2, 5), e(6,4) D.e1(2,3), e2(1224rrrrrr8）已知 a / b ,a3, b4, 则 a 在 b 方向上的投影为二、典型例题讲解rrr例 1:1 ）已知 a3, b4, a 与r r（ 1） a 在 b 方向上的投影 （ 2）r3, 求 :b 的夹角为rrr 4rrr(3 a2b)(a2b) （ 3） ab2） 4、在直角 ABC 中 , CD 是斜边AB 上的高 , 则下列等式不成立的是（）uuuruuuruuuruuuruuuruuurA.|AC |2ACABB.|BC |2BA BCuuuruuuruuuruuuruu

13、uruuuruuuruuur2（）（）2ACCDD.AC ABBA BCC.|AB |CD|uuur2| AB|3）已知向量 e1 , e2 夹角为60o ， e12, e21, a2e17e2 ,be1te2 若a与b 的夹角为锐角，求 t 的范围。rrrrrrrr练习 :1 ）已知向量 a ,b 满足 a1, b2, ab2, 则 ab2）在ABC 中，已知 AB8, BC7,ABC120o, 求边 AC 的长度例 2:1）已知 A(2,3),B(4,uuur3uuur3), 点 P在线段 AB的延长线上 ,且 |AP |PB|,求点P的坐标（若点 P 在直线 AB 上）22）在ABC中,

14、 点 P在 BC上,且 BP2PC ,点Q是 AC的中点,若PA ( 4,3), PQ(1,5) ,则 BC例 3: 已知向量 m(asin,1 ) , n(1,cos) .22（）当 a2且 mn 时 , 求 sin 2的值 ;2,（）当 a0,且 m n 时, 求 tan的值 .解: （）当 a2时 ,m(2sin,1) ,222mn ,由 m n0 ,得 sincos2, 3 分12上式两边平方得 1sin 2,12因此 , sin 2. 6 分2（）当 a0时 ,m(sin,1) ,由 m n 得 sincos1.即 sin 214. 9 分2sin 22 tan,tan23 或 23

15、.12分1 tan2例 4、已知向量 a(cos 3 x, sin 3 x), b(cos x ,sin x ) .且 x0,2222r r2rr1) 当 ab 时 , 求 x 的集合 ;2)求 ab ;3）求函数 ya b4 | ab | 的最小值rr2rr4）求函数 y ab| a b |的最小值5）若 fxab2ab 的最小值是3的值 ., 求实数2r rrrr r练 习 : 1 ） 设 a,b 是 不 共 线 的两 非零 向 量 , 若 | a | | b | , 且 a, b 夹 角 为 60o , 求 t 为 何 值r r时, | a tb |的值最小 .rx,sin3rx ,si

16、n x ) 且 x , .2）已知向量 a =(cos 3x), b = (cosrrr222234（1）求r|;a·b及 |+rrr arb(2) 若 f (x)=a · b -|a + b |, 求 f ( x) 的最大值和最小值 .向量与三角形平面向量的应用十分广泛. 由于三角形中的有关线段可以视为向量, 线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示, 这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件 , 在这类问题中, 往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、 数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质,因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.三角形之心一

17、、外心.三角形外接圆的圆心, 简称外心 .是三角形三边中垂线的交点.（下左图）二、重心三角形三条中线的交点, 叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍 . （上右图）三、垂心三角形三条高的交点, 称为三角形的垂心. （下左图）四、内心三角形内切圆的圆心 , 简称为内心 . 是三角形三内角平分线的交点 .三角形内角平分线性质定理: 三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 . （上右图）知识点一、三角形形状与向量1、已知向量 OP1 ,OP2 , OP3满足条件 OP1OP2OP30,且|OP1|OP2 | |OP3 |1, 求证P1 P2 P3 是正

18、三角形 .2、 O 是 ABC 所在平面上的一点 , 若 (OBOC) (OB OC2OA)0,则 ABC是三角形 .uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv uuuvuuuvuuuvAC )0AC BC2、已知非零向量AB, AC和BC满足( ABBC且, 则3uuuuvuuuuvuuuuvuuuuv2|AB| |AC|AC|BC|ABC 为.4、若 O 为 ABC 所在平面内一点 , 且满足 OBOCOBOC2OA ,则ABC 的形状为 （）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5、已知非零向量AB与AC满足( ABAC ) BC0且 ABAC1,则ABC|AB|

19、|AC|AB| |AC|2为 （ ）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形思路分析 :1. 根据四个选择支的特点 : 本题可采用验证法来处理 , 不妨先验证等边三角形 , 刚好适合题意 , 则可同时排除其他三个选择支 , 故选 D.2. 由于ABACABACBC0|AB|所在直线穿过 ABC的内心 , 则由 ()|AC|AB|AC|知, ABAC（等腰三角形的三线合一定理）;又 ABAC1,所以A, 即 ABC|AB|AC|23为等边三角形 , 故选 D.知识点二、三角形的“心”与向量重心在ABC中,AD为 BC边上的中线,根据向量加法的平行四边形法

20、则, 可得ABAC2AD . 这说明 ABAC 所在的直线过 BC 的中点 D , 从而一定通过ABC 的重心.另外,G为ABC的重心的充要条件是GAGB GC0 或OG1 (OA OBOC) ,（其中 O 为ABC 所在平面内任意一点）, 这也是两个常用的3结论 .例 1. 已知 A,B,C 是平面上不共线的三点, O是 ABC的外心, 动点 P满足uuur1 (1uuuruuur(1 2uuurR) , 则 P 的轨迹一定通过ABC 的（OP)OA (1)OB)OC )(）3A. 内心B. 垂心C.外心D. 重心思路分析 : 取 AB边的中点 M,则 OAOB2OM ,uuur1 (1uu

21、ur(1uuuruuurR) 可得由 OP)OA)OB(1 2 )OC)(uuuruuuur 3uuuruuuruuuuruuuuruuuur3OP2OMOC 2 (OC OM)3OM (1 2 )MC , 所以MP1 2MC (R) , 即点 P 的轨迹为三角形中AB边上的中线 , 故选 D.垂心3在 ABC 中 , 由向量的数量积公式,可得ABAC) BC0 ,这说明(| AB | cos B | AC | cosCABAC所在直线是BC 边上的高所在直线 , 从而它一定通过ABC 的垂| AB | cos B| AC | cosC心.uuuruuuruuuruuur( uuur ABuu

22、urAC),0 , 则点 P 轨迹一定通过例: 若动点 P 满足 OPOA| AB | cos B | AC | cosCABC 的（） A、外心B 、内心C 、垂心uuurD 、重心例 2.点 O 是ABC 所在平面内的一点uuur uuuruuur uuuruuur,满足OA OBOB OCOC OA,则点 O是ABC 的（ ）A. 三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点uuurD.三条高的交点uuuruuuruuur得 OB (OA OC) OB CA0, 所以 OBAC,即思路分析 : 由 OA OBOB OC,OBAC.同理 OCAB,OABC .因此 O是ABC 三条高的交点 , 故选 D.练习:点O是ABC 所在