平面向量复习讲义

1、平面向量复习一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。2零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；3单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是AB)；| AB|4相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行。注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向

2、量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（因为有 0 ) ；三点 A、 B、 C 共线AB、AC 共线；6相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。【练习】1、下列命题：（ 1）若ab ，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC 。（ 5）若 aABb ,bDC c，则 ABCD 是平行四边形。（ 4）若 ABCD 是平行四边形，则，则 ac 。（ 6）若 a / b,b/ c ，则 a / c 。其中正确的是 _二向量的表示方法 ：

3、1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。 如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1 、 2，使a=1122。ee【练习】DE

4、C1、若 a(1,1),b (1,1),c (1,2) ，如何用 a ， b 表示 c ？2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是FA.e1(0,0), e2(1, 2)B. e1( 1,2), e2(5,7)ABC. e1(3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3),e2(1, 3)243、已知 AD, BE 分别是 ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 ADa,BEb ,则 BC 可用向量 a, b 表示为 _（答： 2 a4 b ）；334、在平行四边形 ABCD 中，点 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，且ACmAEnAF ，其中 m， n R，则 m

5、n.5、在边长为2 的菱形 ABCD 中， BAD60 ，E 为 CD 中点， AE 与 BD 相交于点 F，（1）用 AB ， AD 表示 AF 。（2）求出 AE BD 四实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： 1aa , 2当0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当0 时， a 的方向与 a 的方向相反，当0 时， a0 ，注意： a 0。五平面向量的数量积 ：1两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ， b ，作 OA a, OBb ， AOB0称为向量 a ，b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当 时， a ，b 反向，当 时， a

6、，2b 垂直。2平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ，b ，它们的夹角为，我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a b ，即 ab a b cos 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如【练习】1、ABC 中， | AB | 3，| AC |4，| BC | 5，则 AB BC_（答： 9）；2、已知 a(1,1 ),b(0,1 ), cakb ,d a b ， c 与 d 的夹角为，则 k 等于 _224（答： 1）；3、已知 a2, b5, a b3 ，则 a b 等于 _（答：23 ）；4

7、、已知 a, b 是两个非零向量，且 ab a b ，则 a与 a b 的夹角为 _（答： 30 ）3 b 在 a 上的投影 为 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于0。练习：已知 | a |3 ，| b |5 ，且 a b 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答： 12 ）54 a b 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。5向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，则： abab0 ；当 a ， b 同向时， a22, a2；当 a 与 b 反向b a b ，特别地， a a aaa时， a b a b

8、；当 为锐角时， a b 0，且 a、b 不同向， a b0是 为锐角的必要非充分条件 ；当为钝角时， ab 0，且 a、b 不反向， a b 0 是为钝角的必要非充分条件 ；非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosa b ； | ab | | a | b | 。a b1、已知 a ( ,2) ， b (3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _（答：4 或0 且1 ）；332、已知 A(1， 2)， B(2， 3)，C(-2， 5)，则 ABC 为（）A. 直角三角形B.锐角三角形C. 钝角三角形D. 不等边三角形3、已知 OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ1，

9、若 1S3 ，则 OF,FQ 夹角 的取22值范围是 _（答： ( ,) ）；六向量的运算 ：431几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则” ：设 ABa, BC b ，那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即 a b AB BC AC ；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。【练习】1、化简： AB BCCD_；AB AD DC_； ( ABCD) ( AC BD)_2、若正方形 ABC

10、D 的边长为 1， ABa, BCb, ACc ，则 | a bc | _2坐标运算 ：设 a(x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，则：向量的加减法运算 ： ab( x1x2 ， y1y2 ) 。实数与向量的积 ： ax1 , y1x1 , y1。若 A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) ，则 ABx 2x 1 ,y 2y 1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。【练习】1、设 A(2,3), B( 1,5) ，且 AC13AB，则 C、D 的坐标分别是 _AB， AD32、已知点 A(2,3), B(5,4) ， C(7,10)，若 APA

11、BAC(R) ，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平分线上3、已知 A(2,3), B(1,4), 且 1AB(sin x,cos y) ， x, y(,) ，则 x y222平面向量数量积 ： a bx1 x2y1 y2 。如1、已知向量 a （ sinx，cosx）,b （ sinx，sinx）, c （ 1，0）。（1）若 x ，求3向量 a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 3, ，函数 f ( x)a b 的最大值为 1 ，求 的值2842向量的模 ： | a |x2y 2 , ax2y2 。如| a |21、已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a3b |_（

12、答：13）；（2009年广东卷）一质点受到平面上的三个力F1 ， F2 ， F3 （单位：牛顿）的作用而处于平2、衡状态已知 F1, F2成 60角，且 F1 ， F2 的大小分别为和，则F3 的大小为3、已知共面向量1a,1b ， c 均为单位向量，它们的夹角两两相同，求abc 的值。23两点间的距离 ：若 A x1, y1, B x2 , y2 ，则 | AB |x2x122y2y1。七向量的运算律 ：1交换律： abba ，aa ， abb a ；2结合律： abcabc, abcab c，ababab；3分配律：aaa,abab ， abc acbc 。练习：下列命题中：a ( bc)

13、abac ； a (bc)( a b)c ； ( ab) 2| a |22 | a | | b | | b |2 ； 若 a b0 ，则 a0或 b0 ；若 ab c b, 则 ac ； a22a ；a bb222222 2a； (ab)ab ； (a b)a 2a bb 。其中正确的是 _a注：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量， 即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除 ( 相约 ) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即 a(b c) ( ab)c ，为什

14、么？八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ： a / bab(a b) 2(| a | b|)2x1 y2y1 x2 0。【练习】1、若向量 a ( x,1), b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同2、已知 a(1,1),b (4, x) ， ua 2b， v2ab ，且 u / v ，则 x_3、设 PA (k,12), PB (4,5), PC(10,k) ，则 k _时， A,B,C 共线九向量垂直的充要条件 ： abab0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .1、已知 OA(1,2),OB(3,m)，若 OAOB ，则 m2、已知 n( a,b),向量 nm ，且 nm ，则 m 的