特日格乐20091101418

1、浅谈旋转曲面特日格乐（学号：20091101418） （物理与电子信息学院 09级电子信息工程一班,内蒙古 呼和浩特 010022）指导教师:李新文 摘要:本文是对旋转曲面的多方面分析，主要是解说旋转曲面的概念，以及旋转曲面的方程介绍和特殊的旋转曲面讲解，还有一些求旋转曲面的例题讲解。在我们日常生活中有许多的事物都反映出了曲面的性质，学习曲面就是在识别日常生活中的事物。本文能让我们对曲面有一种全新的认识。关键词: 旋转；曲面；方程1引言1.1 曲面的形成在日常生活中，我们经常会遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。有许多事物因有多种曲线组成的，则在日常生活中的事物才有了这形

2、形色色的美与那独一无二的事物。曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹所示的曲面，是直线沿曲线，且平行于直线运动而形成的。产生曲线的动线（直线或曲线）称为母线；曲面上任一位置的母线称为素线，控制母线运动的线、面分别称为导线、导面。曲面是由曲线组成的，但曲面可以组成立体模型。1.2 曲面的分类我们可以根据形成曲面的母线形状，则曲面可分为：直线面由直母线运动而形成的曲面；曲线面由曲母线运动而形成的曲面。还可以根据形成曲面的母线运动方式，则曲面可分为：回转面由直母线或曲母线绕一固定轴线回转而形成的曲面；非回转面由直母线或曲母线依据固定的导线、导面移动而形成的曲面。1.3 研究曲面研究曲面

3、的两个基本问题：一个问题是已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程.另一个问题是已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状。 2旋转曲面的有关概念2.1 旋转曲面的定义在空间，一条曲线绕着定直线 l旋转一周所生成的曲面S称为旋转曲面（或回转曲面） 称为旋转曲面的母线l 称为旋转曲面的旋转轴在yOz平面上有一曲线C, 它的方程为f(y,z)=0. 曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面。 设M(x,y,z)为曲面上任一点, 它是曲线C上点M1(0, y1，z1)绕 z 轴旋转而得到的。 则有如下关系等式 ：F(y1,z1)=0, z=z,y1= 从而得 这就是所求旋

4、转曲面的方程。 图（一）2.2 小结母线上任意一点绕旋转轴l旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线。纬圆也可看作垂直于旋转轴l的平面与旋转面的交线，任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。3旋转曲面的方程（直角坐标系）3.1 旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线为G ：旋转轴为直线 L:(x-x0)/X=(y-y0)/Y=(z-z0)/Z其中P0(x0,y0,z0)为轴l上的一个定点，X,Y,Z为旋转轴l的方向数。设M1(x1,y1,z1)是母线G上的任意一点，则过M1的纬圆可以看成是过M1且垂直于旋转轴l的平面与以P0(x0,y0,

5、z0)为中心,|P0M1|为半径的球面的交线。所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆的方程为： 当点M1遍及整个母线G时，就得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面。又由于M1(x1,y1,z1)在母线G 上,所以又有: 从上述四式中消去参数x1,y1,z1,最后得一个三元方程故F(x,y,z)0 为所求旋转曲面的方程。3.2 注意（1）写出这母线上任意一点M(x1,y1,z1)的纬圆方程或母线族。（2）写出参数x1,y1,z1的约束条件。（3）消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。3.3 小结 一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只

6、需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标。方程G(x,z)=0表示母线平行于y轴的柱面.方程H(y, z)=0表示母线平行于x轴的柱面。方程x-z=0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zOx面上的直线x-z=0。所以它是过y轴的平面。 4几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）4.1 特殊的旋转曲面内容当坐标平面上的曲线G绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出旋转面的方程，只要将曲线G 在坐标平面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标即可。例如G： 绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为：绕z轴旋转所得旋转曲面的方

7、程为：4.2 特殊的旋转曲面方程的介绍（1）单叶旋转双曲面（x2+y2）/ a2-z2/ c2=1图（二） （2）双叶旋转双曲面x2/ a2-（z2+y2）/ c2=1 图（三）（3）旋转抛物面（x2+y2）/ a2=z 图（四）（4）环面绕 z 轴旋转。图（五）（5）旋转椭球面（x2+y2）/ a2+z2/ c2=1图（六）5经典例题讲解5.1 规律                    

8、60;                                        当坐标面上的曲线绕此坐标面上的一个坐标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将在此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是：保留与旋转

9、轴同名的坐标，而以其他两个坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。5.2 例题分析例1 求直线l1：(x-1)/1y/-3z/3绕z轴所产生的旋转曲面的方程。解：设M(x1, y1, z1)为l上任意一点，则过M的纬圆方程为且有      (x1-1)/1y1/-3z1/3消去参数x1, y1, z1得9x2+9y210z26z90。注：由此例可归纳出一直线绕另一直线旋转所得旋转曲面的情况如下：a两直线异面：当两直线不垂直时，旋转曲面为单叶双曲面。当两直线互相垂直时，旋转曲面为平面，但中间挖去了以两异面直线间的距离为半径的圆面。b两直线共面：

10、当两直线平行时, 旋转曲面为圆柱面。当两直线互相垂直时，旋转曲面为平面。当两直线相交但不垂直时，旋转曲面为锥面。当两直线重合时，无旋转曲面。例2求空间曲线G: 绕z轴所产生的旋转曲面的方程。解：设M(x1,y1,z1)为曲线上任意一点，则过M的纬圆方程为且有以上四式消去x1, y1, z1得方程 x2+y21(0z1).例3将直线x/a =(y-b)/0=z/1绕z轴旋转，求这旋转曲面的方程，并就a 和 b 可能的值讨论这是什么曲面？解：设M(x1,y1,z1)为直线上任意一点，则过M的纬圆方程为且有x1/a =( y1-b)/0= z1/1消去参数x1,y1,z1得所求旋转曲面方程为：x2+y2a2z2b 2.当ab0时，xy0, 方程表示为z轴。当a0，b ¹ 0时，x2+y2b 2, 方程表示以z轴为旋转轴|b|为半径的圆柱面。当a ¹ 0, b0时, x2+y2a2z20方程表示以原点为顶点以z轴为轴的圆锥面。当a ¹ 0, b ¹ 0时，x2/b 2+ y2/b 2- z2/（b 2/a2）=1，方程表示以z轴为虚轴的单叶旋转双曲面。6总结在哪丰富多彩的日常生活中总是有那