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文档简介

1、一、判断题（每题2分，共10分）1.设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑。（ ）2.从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射。（ ）3.度量空间一定满足第二可数性公理。（ ）4.完全正则的紧致空间一定是正则空间。（ ）5.每一个仿紧致的空间都是正则空间，因而也是正规空间。（ ）二、单选题（每题3分，共30分）1.设，下列集族中，（ ）是上的拓扑。A. C.B. D.2.离散空间的任一子集为（ ）。A.开集 B.闭集 C.既开又闭 D.非开非闭3.设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（ ）。A.单射 B.连续的单射 C.满的连续闭映射 D.满的连续开映射4.有理数集是实数空间的一个（ ）

2、。A.不连通子集 B.连通子集 C.开集 D.以上都不对5.设是一个拓扑空间，是的子集，则下列关系中错误的是（ ）。A. C.B. D.6.设,则是（ ）。A.空间 B.空间 C.空间 D.空间7.设是连通空间，则积空间是（ ）。A.离散空间 B.商空间 C.平庸空间 D.连通空间8.若度量空间的一个子集中的每一个点都有一个球形邻域包含于，则称是度量空间中的一个（ ）。A.不连通子集 B.开集 C.连通子集 D.以上都不对9.每一个度量空间都满足（ ）。A.选择公理 B.引理 C.第一可数性公理 D.第二可数性公理10.若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个（ ）。A.不连通空间

3、B.连通空间 C.平庸空间 D.以上都不对三、填空题（每题3分，共15分）1.设，则的离散拓扑为 。 2.若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 。3.是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 。4.对于的任何一个邻域有 。5.空间中的任何一个收敛序列有 个极限点。四、名词解释（每题4分，共16分）1.正则空间：2. 同胚映射： 3.拓扑：4.可分空间：五、证明题（第一题9分，第二题10分，共19分）1.设是一个含有不可数个点的可数补空间。证明不满足第一可数性公理。2.设是一个拓扑空间，,则六、简答题（第一题3分，第二题7分，共10分）1.简要说明欧氏平面中拓扑学家的正弦曲线的连通性，局部连

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