数列知识点常用结论

1、数列知识点及常用结论、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式：an a1 （n 1）d（从第1项ai开始为等差）an am (n m)d（从第m项am开始为等差）anamndanam(nm)ddanamnm前n项和公式：Sn险3nai皿6d22(2)证明等差数列的法方an为等差数列定义法：对任意的n,都有aniand（d为常数）an为等差数列*等差中项法：2anianan2(nN)通项公式法：an=pn+q（p,q为常数且pw。）an为等差数列即：通项公式位n的一次函数，公差dp,首项a1Pq2刖n项和公式法：Snpnqn（p,q为常数）an为等差数列即：关于n的不含常数项的二次函数（3）常

2、用结论若数列an,bn为等差数列，则数列ank,kgan,anbn,kanb(k,b为非零常数)均为等差数列.*.右m+n=p+q(m,n,p,qN),贝Uanam=apaq.特别的，当n+m=2k时，得anam=2ak_一、.*.在等差数列an中，每隔k（kN）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍仍为公差为3d的等差数为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1,a4,a7,a10列）若数列an为等差数列，则记Sk ai a2ak , S2 kSkak 1ak 22S3kS2ka2k1a2k2a3k,则Sk,S2k&,SkSk仍成等差数列，且公差为kd若Sn为等差数列an的前n

3、项和，则数列Sn也为等差数列nanG，(n 1)S Si,(n此性质对任何一种数列都适用2)求Sn最值的方法:I:若a1>0 ,公差d<0 ,贝U当ak 0k 时，则Sn有最大值，且Sk最大;ak 10若a1<0 ,公差d>0 ,则当ak 0时，则Sn有最小值，且Sk最小;ak 102II：求刖n项和Sn pn qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ,当n k时，Sk为最值，是最大或最小，通过Sn的开口来判断。、等比数列(1)等比数列的基本公式n 1通项公式：an a1q(从第1项a1开始为等比)anamqnm(从第m项am开始为等差)a1(1qn)_前n项和公

4、式：Sn-1Aq<(q1),Snna1,(q1)1q(2)证明等比数列的法方an为等比数列定义法：对任意的n,都有an1qan(an0)aq(q0)an一.»一.2等比中项法：anan1an1(an1an10)an为等比数列通项公式法：anaqn1(a,q是不为0的常数)an为等比数列(3)常用结论若数列an,bn为等比数列，则数列工,kgan,an2,a2n1,anbnananbn(k为非零常数)均为等比数列.*.右m+n=p+q(m,n,p,qN),贝Uangam=apg3q.2特力1J的，当n+m=2k时，得angam=ak_一、.*.在等比数列an中，每隔k(kN)项取

5、出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等k1.一一3比数列，且公比为q(例如：ai,a4,a7,胡仍为公比q的等比数列)若数列烝为等差数列，则记Skaa2ak,S2k&a1ak2a2k,S3kSka2k1a2k2a3k,则Sk,S2kSk,S3kS2k仍成等比数列，且公差为qk三、求任意数列通项公式an的方法(1)累加法：若an满足an+i=an+f(n)利用累加法求：an(anan 1)anai(a2a1)(a3a2)(a4a3)例题：若ai1,且anian2n,求：an练习题：若数歹1an满足anian2n10,且ai0(2)累乘法：若an满足an1f(n)an利用累乘法求：an

6、anal/-2内,过,的g（一）ala2a3an1例题：在数列an中，a1-,an1-1an,求：an.2n练习题：在数列an中,al1且annan1,求：an（提示：123nn!）(3)递推公式中既有&,又有an,用逐差法anSin=1SnSnin2特别注意：该公式对一切数列都成立。(4)右an?两足an1panq,(pq),则两边加：xp1造出一个等比数列，再出求：an例题：已知数列an,满足：an12an1,且a11,求：an,在提公因式p,构习题1:已知数列an满足：an13an1且41,求：an习题2:已知数列an满足：a12,且Snann,求：an(5)若%满足ampan,

7、则两边同时除以：pn1构造出一个等差数列,再求出：an例题：已知an满足:ai1an2an2n二求：an解：an1n2an2an2ran2nanan_n1.n22所以:aan是首项为:2nai公差1.的等差数列2an2n(n1)所以:2nn2n1习题1:已知an13an3n1且a11,求:an习题2：已知an12an求:an（六）待定系数法：若an满足以下关系:an1kanfn都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示：提k,对f(n)待定系数例题1:已知数列满足an12an35n,a16,求数列小的通项公式.解：an1x5n12(anx5n)a012a3x5n,与原式对应得，x1_a_5

8、n1an15n12(an5n)生一2an5所以：an5n是首项a1511,公比q2的等比数列既有：an5n2n1an5n2n1例题2:已知数列an满足an13an52n4,a11,求数歹an的通项公式.解：an1x2n1y3(anx2ny)an13anx2n2y,与原式对应得：x5,y2a52n12an152n123(an52n2)n123an522所以：an52n2是首项为：a1521213,公比q3的等比数列nn1n1n既有：an522133an133522（七）颠倒法：若an满足：an1CananC,用颠倒法;所以:例题anan1例题2:CanananCan1CanCanCanCan11

9、,所以：2是以首项为：1-1,公差d一anCana1C的等差数列已知已知anan2anan2，且a12,求:an3an3an1，且a1an1,求：an（八）倒数换元法若数列an满足：an1,BanC则颠倒变成1BanCan1Aan然后再用两边加:或者待定系数法既可求出,再颠倒就可得到:例题：若数列an满足:an2anan一，且a13解：an2aananan1一，两边加:2an11)an1Ean所以:是首项为:既有:ana1anan1得:anan12an3的等比数歹u；211an（|）n1an3n12n2n2an3n12n若用待定系数法:an1法同上;2aanananan12(!x)an132a

10、n习题：已知3烝1an2an1an12anx与原式子对应得an且a11求:an四、求前n项和Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n项和；或者是等差与等比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设anaa为等差数列，bn为等比数列，求：anbn或的前n项和常用此方法（都转变为乘积bnbn形式）例题1:已知数列an2n,数列bn的前n项和Snn22n,求数歹anbn的前n项和Tn3n1例题2:求数列ann的anbn的刖n项和Sn2习题1:求：Sn12422723.(3n2)2n习题2：设数列an(2nn11),求an的前n项和&3(2)裂项相消求和1,1111适用于an的形式，变形为：an-(-)n(nk)n(nk)knnk,1一、.一一例题：求数列an的刖n项和Snn(n1)一_1一、.一一习题1:求数列an1的前n项和Snn(n2)_111一、，一一习题2:求数列,厂,的前n项和.122.3、nn1(3)、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减;例题：求an3n2n1的前n和Sn?习题1：已知an是一个递增的等差数列且a?a45,aa§14,an前n项和为Sn2