数列通项公式的十种求法

1、数列通项公式的十种求法、公式法ai 2,求数列an的通项公式。例1已知数列an满足an12an32n,解:an12an32n两边除以2n1,得手以曳21为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,2122亘32n2'，得亘2n故数列2是2n1(n1)|,2一31c所以数列an的通项公式为an(3n1)2n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an2n转化为节an2n为是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出1)3 ,进而求出数列2an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足an1 an 2n 1, a11,求数列an的通项公式。解：由an1an2n1得an1an

2、2n1则an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a12(n1)12(n2)1L(221)(211)12(n1)(n2)L21(n1)12(n1)12(n1)(n1)12n2所以数列an的通项公式为ann。评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1,进而求出(anan1)(an1an2)L(a3a?)a1)a1，即得数列an的通项公式。已知数列an满足an1an23n1,ai3,求数列%的通项公式。an1anan1nan231an(an(2312(3n1an1)(an1n11)13n2(2L所以3n32n2)21)；31)(n(a3(21)a2)

3、32(a21)a1)(231a11)323(13n1)3n3nan3n(n1.1)3评注：本题解题的关键是把递推关系式anan1转化为nan1an231,进而求出an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1,即得数列an的通项公式。例4已知数列an满足an13an3n1,a13,求数列an的通项公式。解：ann3an231两边除以3n1an13n13nan23n3an3n令(32(n3an1)anJ1)(an1(3(3nan113n113nan2)驴)(313n1(an2(*1、an3)*)因此an3n2(n1)3n1)则an3n3n丁)1.L3n2n3(冬电)色323131

4、)3323L3n评注：本题解题的关键是把递推关系式an 13an23n1转化为aOn-1333进而求出自费)(于On-4)3333an2(浮鼠)l仔学即得数列an3n的通项公式，最后再求数列%的通项公式。三、累乘法例5已知数列an满足an 12(n1)5nan,a13,求数列an的通项公式。解：因为an12(n1)5nan,al3,所以an0,则-2(n1)5n,故anananan1a3a2-Laan1an2a2a12(n11)5"12(n21)52L2(21)522(11)5132n1n(n1)L325(n1)(n2)L213n(n1)32n15k可n(n1)所以数列an的通项公式

5、为an32n15n!.评注：本题解题的关键是把递推关系an2( n 1)5n an转化为免 an2(n 1)5n，进而求,aaaa9出-上La1,即得数列an的通项公式。an1an2a2a1例6( 2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列 an满足a11,ana12a23a3L(n1)an1(n2),求an的通项公式。解：因为ana12a23a3L(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3L(n1)an1nan用式一式得an1annan.(n1)an(n2)故电ann 1(n 2)所以an旦亘l曳a2n(n1)L43同n!a2.an1an2a22由ana12a23a3L(n1)a

6、n1(n2),取n2得22a12a2,贝Ua2a1,又知n!ai1,则a21,代入得an1345Ln一。2n!所以，an的通项公式为an.2a评汪：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为n1(n2),an进而求出-a-皿L%a2,从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的an1an2a2通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an12an35n,a16,求数列an的通项公式。解：设an1X5n12(anX5n)将an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去2an,得35nx5n12x5n,两边除以5n，得35x2x,则x1,代

7、入式得an15n12(an5n)ia5n1由a1516510及式得an5n0,则q2,则数列an5n是以an5a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n2n1,故an2n15n。nn1n、评注：本题解题的关键是把递推关系式从而可知数列anan12an35转化为an152(an5),5n是等比数列，进而求出数列an5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足an 1 3an 52n4, ai 1,求数列an的通项公式。解：设an 1 x2n 1ny 3(an x 2y)将 an 1 3an 52n4代入式，得3an 5 2n 42n 1y 3(an x2ny)整理得

8、(5 2x)2ny 3x 2n 3y。2x 3x 皿,则y 3y5，代入式得2an 12n 13(an5 2n 2)由a1211 1213 0及式,得an2n0,则an 15 2an 5 23,故数列an 5 2n 2是以a1 5 211 12 13为首项，以3为公比的等比数列,因此 an 5 2n 2 13 3n 1 ,贝u an133n 15 2n 2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 13an 5 2n 4转化为an152n123(an52n2),从而可知数列an52n2是等比数列，进而求出数列an52n2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。2例9已知数列an满足an12an3

9、n4n5,a11,求数列an的通项公式。解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，乙_2_将an12an3n4n5代入式，得221) y(n 1) z 2(an xn yn z),则22an3n4n5x(n222an(3x)n(2xy4)n(xyz5)2an2xn2yn2z等式两边消去2an,得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z,3x2xx3解方程组2xy42y，则y10,代入式，得xyz52zz18_2_2an13(n1)10(n1)182(an3n10n18)22由a13110118131320及式，得an3n10n1802则413(n?10(nD1

10、82,故数列an3n210n18为以an3n210n182a1311011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此_2_n1_n42an3n10n18322，则an23n10n18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为22an13(n1)10(n1)182(an3n10n18),从而可知数列._2_._2_一一an3n10n18是等比数列，进而求出数列an3n10n18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、对数变换法n5例10已知数列an满足an123an,a17,求数列an的通项公式。解：因为an123na5,a17,所以an0,an10。在an12

11、3na5式两边取常用对数得lgan151gannlg31g2设1gan1x(n1)y5(1ganxny)xn y),两边消去将式代入61式，得5lgannlg3lg2x(n1)y5(lgan5lg an并整理,得(lg3x)n x y lg 2 5xn 5y ,则lg3 x 5xx y lg 2 5ylg34lg3lg2164代入旧式，得lgani吗n1)蛆幽5(lgan蛆n/蚂)nIn41644164幽1蛇监蛇1蛇跖°及41644164/日，lg3lg3lg2-得lgann0,4164lg an 1吟n 1) lg3 Jg24 ',164庭n蛆监 lgan4 n 1645,

12、所以数列lg an比数列，则lgan监幽吗是以lg7幽/蚂为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2、n1国匹士一n3一w(lg7w-)5,因此41644164lg3lg3lg2、Ln1lg3lg3lg2lgan(lg7)5n-4164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg3lg3而lg27111n11lg(7343元24)5n1lg(3"3记2")1 11n11lg(73431®24)5n1lg(343G2，)5n1n5n115n11lg(75n13431624)5n4n15n11lg(75n13162丁)

13、5n4n15n11则an75n13162丁评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123n5一an转化为1gan11gan1g3彳1g3彳(n1)lg31g21g376161g2彳l,1g31g31g2一匕5(1gann),从而可知数列4164:是等比数列,1g31g31g2,进而求出数列1gann的通项4164公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an1a；(n1)2a15,求数列an的通项公式。解：因为an1a3(n1)2,所以ana3Ta3(21)2n23n232(nan2a3(333(nan3L1)n2(n2)(n1)2)22)(n332(n1)

14、n2(n2)(n1)1)n2(n3)(n2)(n1)3n123LL(n2)(n1)n212LL(n3)(n2)(n1)自n(n1)3n1n!22自又a15,所以数列an的通项公式为ann(3n1n!2一5n1)o评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an1an(n1)2n两边取常用对数得1gan13(n1)2n1ga。，即ga1gan3(n1)2n,再由累乘法可推知,1gan1gan1gan11gan1L1gan2蛆蛆1g&1ga21g现3n1n!2'1g5n(n1)-2-,从而an3n1n!2052o七、数学归纳法例12已知数列an满足an1an

15、8(n1)(2n2-_2'1)(2n3)ai-,求数列an的通项公式。9解：由an1an8(n12(2n1)2(2n3)2及a1a2a3a48(11)88224(21221)2(213)29925258(21)248348(222_21)(223)252549498(31)488480(232_一-21)(233)49498181aia3a2由此可猜测an_2(2n1)21_2(2n1),往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当n1时，a1(211)21""2(211)8,所以等式成立。9(2)假设当nk时等式成立，即ak(2k1)21(2k1)2k1时,ak1ak8

16、(k1)(2k1)2(2k3)22(2k1)218(k1)2 22(2k1)2(2k1)2(2k3)222(2k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)22(2k1)2(2k3)2222(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)22(k1)12122(k1)12由此可知，当nk1时等式也成立。根据(1),(2)可知, *等式对任何 n N都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13已知数列an满足an

17、 11, (1 4an1624an), a, 1 ,求数列%的通项公式。解：令bnJ24an,则an故an 124 (bn 1 1),代入 an1, (1 4an16j 24%)得11)116124 (bn241)bn-2(bn3)因为bn,r4a;0,故bn,1 24an1则 2bn 1bn 3 ,即 bn 12bn32'可化为bn1 3 2(bn3),所以bn3是以43. 1 24a1 3 、1 24 1 32为首项，以1n列，因此bn 3g)n 2，则 bn5 2 3,即,1 24an1 -为公比的等比数2(1)n 2 3 ,得使得所给递推关系式转化评注：本题解题的关键是通过将j

18、24an的换元为bn,3为等比数列，进而求出数列bn 3的通项公式,1,3,bn1-bna形式，从而可知数列bn最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a24例14已知数列an满足an1,a14,求数列an的通项公式。4an1加入21x24小2r2仅24.解：令x，得4x20x240,则x12,x23是函数f(x)的4x14x1两个不动点。因为an 12an 1321an 24 24an 121an 2421an 24 2(4an 1) 13an 26 13 an 221an 24 3(4an 1)9an 279 an3所以数列4an1an2an.一 132为首项，以13为公比的等比数列，故9anan13、n 12()，9则ann 1 13。评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)21x 24224的不动点,即方程x4x 1空二4的两4x 1个根x12，x23,进而可推出an 12an 1313a一2,从而可知数列生9anan列，再求出数列a 2a一的通项公式，最后求出数列an 3an的通项公式。例15已知数列an满足 an 1求数列an的通项公式。解：令x7x 2 2,得 2x2x 33x 1 1是函数f (x)的不动点。4x 7