圆的方程题型总结(按题型,含详细答案)

1、圆的方程题型总结、基础知识1 .圆的方程圆的标准方程为 ;圆心,半径.圆的一般方程为 ;圆心 ,半径.二元二次方程 Ax2+ Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0表示圆的条件为：；(2) _.2 .直线和圆的位置关系：直线Ax By C 0,圆(x a)2 (y b)2 r：,圆心到直线的距离为 d.贝 U： (1) d=;(2)当 时，直线与圆相离；当 时，直线与圆相切；当 时，直线与圆相交；(3)弦长公式：.3 .两圆的位置关系l ,、2 ,22,、2 ,22国 Ci: (x-a)+ (y- b) = 口 ；圆 C2： (x- a2) + (y- b2) =2则有：两圆相离 ； 外切 ；

2、相交 ； 内切 ；内含 .二、题型总结：(一)圆的方程 1.x2 y2 3x y 1 0的圆心坐标.半径 .2.点(2a,a 1)在圆x2+y2 2y4=0的内部，则a的取值范围是()A. - 1<a<1 B. 0< a<1C. - 1<a<-D. - - <a<1553.若方程x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)所表示的曲线关于直线y x对称，必有( )A. E F B.D F C.D ED. D,E,F 两两不相等 4.圆 x2 y2 ax 2ay 2a2 3a 0 的圆心在()A.第一象PMB.第二象限C.第三象限D.第四

3、象限 .5.若直线3x- 4y+ 12=0与两坐标轴交点为 A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是( )八2222A. x+y+4x-3y=0 B. x + y - 4x- 3y= 02222C. x + y + 4x- 3y- 4=0 D. x + y - 4x-3y+8=06.过圆x2 y2 4外一点hP 4,2作圆的两条切线，切点为A,B ,则 ABP的外接圆方程是()A. (x 4)2+( y 2)2=4B.x2+(y 2)2=4C. (x 4)2+(y 2)2=5D. (x 2)2+( y 1)2=5 7.过点A(1,- 1), B(- 1,1)且圆心在直线x+ y- 2= 0上的圆

4、的方程(/、2 /、2a. (x- 3) + (y+ 1) =4 b.一，、2 ,、2C. (x- 1) + (y- 1) = 1 D.22(x+ 3) + (y- 1) = 422(x+ 1) + (y+1) = 18.圆 x2 y2 2x 6y 9A. (x 7)2 (y 1)2 1_ 2_ 2C (x 6) (y 2)10关于直线2x y 5 0对称的圆的方程是B. (x7)2(y2)21_ 2_ 2D.(x6)(y2)1 9.已知 ABC勺三个项点坐标分别是A (4, 1), B (6, 3), C(3, 0),求 ABC外接圆的方程. 10.求经过点 A(2, 1),和直线xy 1相

5、切，且圆心在直线y2x上的圆的方程.2.求轨迹方程22 11.圆x y 4y 12 0上的动点Q ,定点A 8,0 ,线段AQ的中点轨迹方程12.方程x y 1 Jx2 y2 4 0所表示的图形是（）A. 一条直线及一个圆B.两个点C. 一条射线及一个圆D.两条射线及一个圆13.已知动点 M到点A （2, 0）的距离是它到点 B （8, 0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点 N的轨迹.3.直线与圆的位置关系 14.圆仪-1）2+丫2=1的圆心到直线丫=*的距离是（ ）A. 1B. 3C. 122D. 15.过点（2,1）的直线中，被x2 +2x +

6、4y =0截得弦长最长的直线方程为A. 3x- y-5= 0B.3x+ y-7=0C. x+ 3y-3= 0D.x- 3y + 16.已知直线l过点2,0）,当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率 k的取值范围是（A.(2 2,2 2)B. (v2,旧C.D.4 17.圆 x24x0在点P（1, 丁3）处的切线方程为A. xx 3yC. x3y 18.过点 P (2, 1)作圆 C： x2+y2ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（A. a> 3B. av 32C. 3V a< 519.直线 x 2y 3 0与圆(x 2)2_2 八 一D. 3 V a v

7、或 a > 25 21,已知圆C xy 2 2 25 及直线 l : 2m 1 Xm 1 y 7m 4.(y 3)2 9交于e、F两点，则 EOF (。为原点)的面积为()A. 3B, 3246.5C. 5D.经520.过点 M (0, 4),被圆(x 1)2y24截得弦长为2V3的直线方程为(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交;(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.22.已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点, 求实数m的值.4.圆与圆的位置关系2222 23.圆x y 2x 0与圆x y

8、4y 0的位置关系为 24.已知两圆 C/x2 y2 10,C2：x2 y2 2x 2y 14 0.求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程 25.两圆x2+y24x+6y=0和x2+y26x=0的连心线方程为（）A. x+y+3=0B. 2x-y-5=0C. 3x y 9=0 26.两圆 C1 ： x22y 2x 2y 2A. 1条B. 2条27.已知圆C1的方程为f（x, y）D 4x-3y+7=0_220, C2：x y 4x 2y 1 0的公切线有且仅有（C. 3条D.0 ,且P（x0, yo）在圆Ci外，圆C2的方程为f(x,y)= f(x0,yo),则 Ci与圆 C2一定()A .相离

9、B.相切C.同心圆D.相交28.求圆心在直线x y 0上，且过两圆x222y2 2x 10y 24 0 , x22y 2x 2y 8 0父点的圆的方程.5.综合问题2 29.点A在圆x2y 2y上，点B在直线yx 1上，则AB的最小-22y 4于A, B两点，则四边形2 30.若点P在直线2x 3y 10 0上，直线PA,PB分别切圆 x2PAOB面积的最小值为（）A 24 B 16 C 8 D 431.直线y x b与曲线x <1 y2有且只有一个交点，则 b的取值范围是（）B.1 b 1且 b <2c.1 b 1.以上答案都不对 32.如果实数x, y满足x2 y2 4x 1

10、0求:(1) y的最大值； x(2) y x的最小值；22(3) x y的最值.33. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长 30 km的圆形区域.已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响圆的方程题型总结参考答案9.解：解法一：设所求圆的方程是222(x a) (y b) r .-3,2%因为 A (4, 1), B (6, 3), C (3, 0)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是(4 a)2 (1 b)2 r2,a 1,(6 a)2 ( 3 b)2 r2,可解得 b 3

11、, (3 a)2 (0 b)2 r2.r2 25.所以 ABC的外接圆的方程是(x 1)2 (y 3)2 25 .解法二：因为 ABC外接圆的圆心既在 AB的垂直平分线上，也在 BC的垂直平分线上，所以先求 ABBC的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心线段AB的中点为（5,1）,线段BC的中点为AB的垂直平分线方程为,一,，、一3BC的垂直平分线方程 y -23(x1-(x 5), 2|).坐标.I,解由联立的方程组可得1, .ABC外接圆的圆心为E ( 1, 3),3.半径 r | AE | 7(4 1)2(1 3)2 5 .22故 ABC外接圆的万程是（x 1） （y 3）25 .10

12、.解：因为圆心在直线 y 2x上，所以可设圆心坐标为（a,-2 a）,据题意得:,(a 2)2( 2a 1)2| a 2a 1 |2)2 (1 2a)2 A1 a):圆心为（1 , -2）,半径为J2 ,所求的圆的方程为（x 1）2(y2)22.11. ( x 4)2+( y1)2=4;M的轨迹就是集合13.解：（1）设动点M （x, y）为轨迹上任意一点，则点1_ .P M |MA| | MB |.2由两点距离公式，点M适合的条件可表示为(x 2)2-21 ：-22y-V(x 8) y ,平方后再整理，得 x22y2 16. 可以验证,这就是动点M的轨迹方程.（2J设动点N的坐标为（xy）,

13、 M的坐标是（Xi ,由于A （2, 0）,且N为线段 AM的中点，所以2x1x ,20 yl ,2, y1 2yy 肛.所以有Xi 2x2由（1）题知，M是圆x2 y2 16上的点,所以M坐标（刈y。满足：x12 y12 16将代入整理，得（x 1）2 y2 4 .所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，以2为半径的圆(如图中的虚圆为所求).14.解法一：如图，在矩形 APBQ中，连结AB, PQ交于M ,显然OM AB, |AB PQ ,i在直角三角形 AOM中，若设Q(x , y),则M (土上,-y-). 22,_.22_2由 OM |AMOA ,即(1)2(I)2 1(x a)2 (y b

14、)2 r2, 224也即x2 y2 2r2 (a2 b2),这便是Q的轨迹方程.解法二：设Q(x,y)、A(xi ,yi)、B(x2, y?),则x：y，r2 ,x22、2r2.又 PQ2 |AB2,即22222(x a) (y b) (xi xz)(y1刈)2r2(x1x2 丫缶).又AB与PQ的中点重合，故x a x1 x2, y b y1 y2 ,即 ,、2,.、2- 2(x a) (y b) 2r2(xx2 y*)十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.;=0 或 15x+8y 32=0;22.解:(1)直线方程l : 2m 1 x m 1 y 7m 4,可以

15、改写为m 2x y 7 x y 4 0,所以直线必经过直线2x y 7 0和x y 4 0的交点.由方程组2x y 7 0,解得x 3,即两直线的交点为 A(3,1)又x y 4 0y 1因为点A 3,1与圆心C 1,2的距离d 屈 5,所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒 相交.(2)连接AC ,过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D . BD为直线被圆所截得的最短弦长 .此时，AC| V5, BC 5,所以BD 2425 5 445 .即最短弦长为 475 .又直线AC的斜率kAc 1,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程为：y 1 2x 3,即2x y 5 0.23

16、.解：由x x2y x 6y m 025y2 20y 12 m 02y 3 0y1 V2 412 m y25又 O" OQxix2+yiy2=0,而 xix2=9 6( yi+y2)+4 yy= 4m 275.4m 27512 m 0 解得 m=3. 524.相交；25.29.解法一：(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组22 _x y2x 10y 24 0x2 y2 2x 2y 8 0解这个方程组求得.两圆的交点坐标 A (4, 0), B (0, 2).因所求圆心在直线 x y 0上，故设所求圆心坐标为 (x, x),则它到上面的两上交点(4, 0)和(0,

17、 2)的距离相等，故有 & 4 x)2 (0 x)2 jx2 (2 x)2 ,即4x 12,x3, yx 3,从而,圆心坐标是(一3,3).又r & 4 3)232斤,故所求圆的方程为(x 3)2 (y3)210 .解法二：(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同解法一求得两交点坐标 A(4, 0), B (0, 2),弦AB的中垂线为2x y 3 0,它与直线x y 0交点(一3, 3)就是圆心，又半径 r 加，故所求圆的方程为(x 3)2 (y 3)2 10 .解法三：(用待定系数法求圆的方程)同解法一求得两交点坐标为 A (4, 0), B (0, 2).设所求圆的方程为

18、(x a)2 (y b)2 r2,因两点在此圆上，且圆心在x y 0上，所以得方程组(4a)2 b2 r2a 3a2 (3 b)2 r2，,解之得b 3，a b 0r 10故所求圆的方程为(x 3)2 (y 3)2 10 .解法四：（用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么）设所求圆的方程为x2 y2 2x 10y 24 （x2 y2 2x 2y 8） 0 （1）,即x2 y2竺x笛丫 80.111一，一、，一.15可知圆心坐标为（J 5）.1' 1因圆心在直线x y 0上，所以1 5一 °,解得 2.11将2代人所设方程并化简，求圆的方程x2 y2 6x 6y 8 0.33. (1)4；(2) 厌 2；(3)x2y24/3；x2y274/3.minmax34解法一：设点P、Q的坐标为（x1，y1）、（x2,y2）.一方面，由OP OQ ,得kop koQ1,即- 11 ,也即：xx2y1y20 .x1 x2x 2y 3 0另一方面，（x1，yj、（x2,y2）是方程组22的实数解，即x y x 6y m 0x1x2是方程25x 10x 4m 27 0的两个根.94m 27_x1 x2 2 , x1x2 . d5又P、Q在直线x 2y 3 0上，1 一 .1 .1 y1y2(3x1)(3