曲边梯形的面积(优秀教案)

1、.-曲边梯形的面积（优秀教案）作者:日期:31.5.1曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：(1)通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。(2)理解求曲边梯形面积的 四步曲”-分割、近似代替、求和、取极限。2、过程与方法目标：(1)通过问题的探究体会 以直代曲、无限逼近”的思想。(2)通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化， 体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学

2、生。学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的 割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱， 一些数学名词难以准确理解， 因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。二是本节课的学习过程中如何以直代曲”，即学生如何将割圆术中 以直代曲，无限逼近的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上.具

3、体说来就是：如何选择适当的直边图形(矩形、 三角形或梯形)代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。教学难点：把 以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解无限逼近”的思想方法。四、教学过程一、问题情境一生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形， 观察图形，如何求图形的面积？ 图片一：4【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形， 观察图形，如何求图形的面积? 图片二：中华A民共和国万岁世界人民大团结【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形， 观察图形，如何求图形的面积? 图片三：

4、图形三:【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么?【设计意图】1 .从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。2 .学生通过分割和补足的方法求解直边图形，回顾“割补思想”，为接下来探究如何对曲边梯形以直代曲做铺垫。3 .对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别，为学生准确理解曲边梯形的概念做铺垫。4 .通过设立问题引发学生思考，从而引出本节课题。二、概念辨析一“连续函数”与“曲边梯形”的概念【学生活动】翻开课本 38页，仔细研读书中“连续函数”与“曲边梯形”的概念。【设计意图】让学生回归课本进行自主学习，并发现概念中的关键内容。三、知识回顾一割圆

5、术【讲授】所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创, 限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。7网内接正六边形圆内接正十二边U【教师提问】1 .你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？2 .将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中? 【解答】割圆术求圆面积的思想方法：1 .将圆等分成n个小扇形。2 .用小三角形面积近似代替小扇形面积。3 .求小三角形面积之和。4 .随着n的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼1 .分割2 .近似代替3 .求和4 .取极限引发学生思考：这种“以直代曲”的思想启发我们, 求

6、曲边梯形的面积。 同时，通过在提炼思想方法的【设计意图】回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法,是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法,过程中，培养学生分析、归纳的习惯。四、特例探究一类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积【思考】如何求由直线 x=0,x=1,y=0和曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积S?八/2y/y=x（一）分割【自主探究】思考：应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？1 .分小组讨论，并在纸上做出方案。2 .通过对比各组方案，选出最佳方案。【教师展示】万案一：万案一8n个小区间分别是什么?n个小区间分别是3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是什么?3.单

7、独研究第i个小区间，则第i个小区间是2.将区间0,1等分成n个小区间2.将区间0,1等分成n个小区间【教师提问】选取方案一进行探究。1.如何将大曲边梯形等分成 n个小曲边梯形?1.在区间0, 1上等间隔地插入n-1个点，过这些点做 x轴的垂线。12i个小曲边梯形）y=x2【设计意图】学生通过类比割圆术中“将圆等分成n个小扇形”这一步骤，经历分割曲边梯形的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究。在探究的过程中，充分带动学生的自主学习意识，并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。培养学生学习数学的兴趣以及团队 协作的精神。（二）近似代替【自主探究】思考：对每个小曲边梯形如何“以直代曲

8、”？（单独研究第【学生活动】1 .分小组讨论，并在纸上做出方案。2 .通过对比各组方案，选出最佳方案。【教师展示】万案一：方案1万案一:d方案2方案二:方案3方案四:口方案4【思考】选取方案二进行探究。怎样求出小矩形的面积？【解答】第i个区间的长度为：Ax -IJ H1VI第i个小矩形的高为：(即区间左端点的函数值)/二 )第i个小矩形的面积为：【设计意图】学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤，经历将第i个小曲边梯形“以直代曲”的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究，并引导学生 带着疑问进入下面的学习。 在探究的过程中，培养学生善于思考的习惯， 以及自我创

9、新的能 力。(三)求和引导学生分析如何求出 n个小矩形的面积之和，共同探求解题思路。具体求解过程由学生参 与，师生共同补充。【提示】给出公式：12 22 L (n 1)2 (n 1)n(2n 16【讲授】此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。【解答】小矩形面积之和为：1 心1)求小三角形面积之和。© 一12【设计意图】学生通过类比割圆术中 对2符号的理解，同I 数学的逻辑思维能力。【几何画板展示】经历“求和”的过程，加深学生让学生更好地掌握求和类型题目的解法，提高学生的计算能力以及20D鼻+Cj i-Uri0 7-k口工十【思考】为了更加准确地求出大曲边梯形的面积,n

10、应该取何值?【设计意图】的思想，并为第四步“取极限”通过几何画板的演示， 更加直观地让学生感受到 “无限逼近” 做出铺垫。(四)取极限【思考】n趋向于无穷大时，曲边梯形的面积S等于多少?引导学生回顾极限的运算，共同计算出曲边梯形的面积S的值。【解答】取极限得到曲边梯形的面积为:S - lim T -n界THlim工-lim典H1+2 口6M 二1 1【设计意图】 通过经历“取极限”的过程，进一步加强学生对极限运算的认识。五、类比探究一类比“不足近似值”与“过剩近似值” 【思考】选取方案三进行探究。怎样求出小矩形的面积?方案3【师生互动】类比方案二中的求解过程， 发现求解小矩形的面积时的异同，引

11、导学生正确计算小矩形的面积。【解答】第i个区间的长度为：第i个小矩形的高为:（即区间右端点的函数值）第i个小矩形的面积为:【设计意图】“以直代曲”思想的理解和认通过方案二和方案三的对比，进一步加强学生对“割补思想” 识，并使学生逐步掌握运算技巧。【思考】怎样求出 n个小矩形的面积之和？【提示】给出公式：12 22 L n2 n(n 1)(2n -6【师生互动】引导学生通过类比“不足近似值”的求法，体验“过剩近似值”的求解过程。【解答】小矩形面积之和为：(建十1)2十1)【设计意图】通过类比方案二中的求解过程，学生能很快掌握相应解法，培养学生的解题能力，同时巩固本节所学知识。这样安排，有利于学生

12、循序渐进从多种角度去考虑曲边梯形的面积的求法，激发学生创新能力的同时，培养学生善于思考的习惯。【几何画板展示】观察当n取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？17【思考】为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n应该取何值?【解答】取极限得到曲边梯形的面积为：27【设计意图】的思想，并与之前的案例进行通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近” 对比。【Excel展示】区间【。,。的等分数s的不足逼低值9的道刺近似值2a 1E5Q, &Z540. 21875D. 46BT58 . ZT343T5IL 3384375IS0.3027343750.365234375

13、32O.3LTaTi(JS4D.34312104&40.3Z55B15230.94UB65231200.3294372560-337249756Z5&0.313027510.332990015120.33235T40T0.33431053210240.3328452110.33382177420480.3330B92320,3335775M40960.3332112730.3334554146L9Z0.332723010.3333943(71163640.333302816U, 33S3&38523276B0.3333100750. 3333/65整65536O.333

14、3Z57D40, 3333M9B31310T20.3333295190-33333T1482E2L44CL33333142G0-33333S2410.33333Z3GU, 333334Z6710465760.3333328560.333333812097152口.3333330950, 333333FT2419430，CL 3333332140.3333334530.333333274D-333333M316TTT2160.3333333040, 33333336333S544320.3323333100.3333333460.3333336Q. 33333334113421772B0.333

15、333330.33333333726843545G0.3333333310-333333335536S709120.3333333320.3333葡334W73T418240.3333333330.3333333342147433B4S0,3533333330.33333333442949GT2960.3333333330-3333333330.33333 羽阖0_33333333317176691840.333333333U.3333333330.3333333330.333333333GS71MTG73S0,3333333330,333333333【设计意图】利用Excel表格进行计算，让

16、学生更直观得观察当n趋近于无穷大时，S的不足近似值与过 1.剩近似值最终都会趋近于 -。同时，验证了之前的结论。3六、能力提升i 1 i ,.【思考】取f(x)=x2在区间 ，一上任意一点&处的函数值f(闺乍为近似值，求出的 S也n n-1 r是吗？3近似值013VM nvl-3L-i-l过剩近似值【师生互动】引导学生回答，教师补充完善，并用多媒体进行适当展示。【设计意图】让学生体会，无论用哪个近似值进行近似代替，借助极限运算都可以得到曲边梯形的面积。 同时，更直观地感受到从特殊到一般的过程。七、课堂小结【思考】在今天的课程中，你学到了什么呢？【师生互动】让学生回顾总结本节所学知识，师生共同补充、纠正。【设计意图】让学生养成善于总结的好习惯，并对本节的知识研究线索有一个全面