教师版高考每日一题数列篇

1、2013年安徽高考卷 数列篇19(2013安徽，文19)(本小题满分13分)设数列an满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数f(x)(anan1an2)xan1cos xaa2sin x满足.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)由题设可得，f(x)anan1an2an1sin xan2cos x对任意nN*，anan1an2an10，即an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21·(n1)n1.(2)由bn222n2知，Snb1b2bn2n2·n23n1.2013年北京高考卷

2、 数列篇20(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a1，a2，an，对i1,2，n1，该数列的前i项的最大值记为Ai，后ni项ai1，ai2，an的最小值记为Bi，diAiBi.(1)设数列an为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，an(n4)是公比大于1的等比数列，且a10.证明：d1，d2，dn1是等比数列；(3)设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d10.证明：a1，a2，an1是等差数列解：(1)d12，d23，d36.(2)因为a10，公比q1，所以a1，a2，an是递增数列因此，对i1,2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1,2，

3、n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且(i1,2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列(3)设d为d1，d2，dn1的公差对1in2，因为BiBi1，d0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi，ai1，所以ai1Ai1Aiai.从而a1，a2，an1是递增数列因此Aiai(i1,2，n1)又因为B1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1,2，n2都有ai1aidi1did，即a1，a2，an1是等差数列2013年福建高考卷 数列篇17(2013福建，文1

4、7)(本小题满分12分)已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围解：(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a121×(a12)，即a12a120，解得a11或a12.(2)因为数列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a128a1，即a123a1100，解得5a12.2013年广东高考卷 数列篇19(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：；(2)求

5、数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)证明：当n1时，4a1a225，a224a15.an0，.(2)解：当n2时，4Sn1an24(n1)1，4Snan124n1，由，得4an4Sn4Sn1an12an24，an12an24an4(an2)2.an0，an1an2，当n2时，an是公差d2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列，a52a2·a14，(a26)2a2·(a224)，解得a23.由(1)可知，4a1a2254，a11.a2a1312，an是首项a11，公差d2的等差数列数列an的通项公式为an2n1.(3)证明：.2013年湖北高考卷 数

6、列篇19(2013湖北，文19)(本小题满分13分)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由解：(1)设数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数

7、n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k52013年湖南高考卷 数列篇19(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1·Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解：(1)令n1，得2a1a1a12，即a1a12.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2.解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1两式相减得2an2an1an.即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，n

8、ann·2n1.记数列n·2n1的前n项和为Bn，于是Bn12×23×22n×2n1，2Bn1×22×223×23n×2n.得Bn12222n1n·2n2n1n·2n.从而Bn1(n1)·2n.2013年江西高考卷 数列篇16(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列an满足：(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n.(2)

9、由an2n，则，.2013年山东高考卷 数列篇20(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足，nN*，求bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由S44S2，a2n2an1得：解得a11，d2.因此an2n1，nN*.(2)由已知，nN*，当n1时，；当n2时，.所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.又Tn，两式相减得，所以Tn.2013年陕西高考卷 数列篇17(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设Sn表示数列an的前n项和

10、(1)若an是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a11，q0，且对所有正整数n，有.判断an是否为等比数列，并证明你的结论解：(1)解法一：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，.解法二：设an的公差为d，则Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d，又Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1，2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.(2)an是等比数列，证明如下：，an1Sn1Sn.a11，q0，当n1时，有，因此，an是首项为1且公比为q的

11、等比数列2013年上海高考卷 数列篇22已知函数f(x)2|x|，无穷数列an满足an1f(an)，nN*.(1)若a10，求a2，a3，a4；(2)若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由解：(1)a22，a30，a42.(2)a22|a1|2a1，a32|a2|2|2a1|.当0a12时，a32(2a1)a1，所以(2a1)2，得a11.当a12时，a32(a12)4a1，所以a1(4a1)(2a1)2，得a1(舍去)或a1.综合得a11或a1.(3)假设这样的等差数列存在，那么

12、a22|a1|，a32|2|a1|.由2a2a1a3得2a1|2|a1|2|a1|(*)以下分情况讨论：当a12时，由(*)得a10，与a12矛盾；当0a12时，由(*)得a11，从而an1(n1,2，)，所以an是一个等差数列；当a10时，则公差da2a1(a12)a120，因此存在m2使得ama12(m1)2.此时dam1am2|am|am0，矛盾综合可知，当且仅当a11时，a1，a2，a3，构成等差数列2013年四川高考卷 数列篇16(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和解：设该数列的公

13、比为q，由已知，可得a1qa12,4a1q3a1a1q2，所以，a1(q1)2，q24q30，解得q3或q1.由于a1(q1)2，因此q1不合题意，应舍去故公比q3，首项a11.所以，数列的前n项和Sn.2013年天津高考卷 数列篇19(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明(nN*)解：（1）设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是.又a1，所以等比数列an的通项公式为.(2)证明

14、，当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.当n为偶数时，随n的增大而减小，所以.故对于nN*，有.2013年浙江高考卷 数列篇19(2013浙江，文19)(本题满分14分)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解：(1)由题意得5a3·a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn，因为d0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Sn.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2

15、S11110.综上所述，|a1|a2|a3|an|2013年重庆高考卷 数列篇16(2013重庆，文16)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)设数列an满足：a11，an13an，nN.(1)求an的通项公式及前n项和Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解：(1)由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，Sn(3n1)(2)b1a23，b313913，b3b1102d，所以公差d5，故T2020×3×51 010.2013年全国大纲卷 数列篇17(2013大纲全国，文17)(本小题满分1

16、0分)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.因为所以解得a11，.所以an的通项公式为.(2)因为，所以.2013年课标全国一卷 数列篇17(2013课标全国，文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d，则Sn.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.2013年课标全国二卷 数列篇17(2013课标全国，文17)(本

17、小题满分12分)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.解：(1)设an的公差为d.由题意，a1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.2013年江苏高考卷 数列篇19(2013江苏，19)(本小题满分16分)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和记，nN*，其中c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明：由题设，.(1)由c0，得.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以b1b4，即，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有S