直接证明与间接证明3

1、§ 222 反证法【学情分析】前面我们学习了两种直接证明问题的方法综合法和分析法。在以前的学习中， 学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课进一步熟悉运用反证法证明某些直接证 明较难解决的数学问题。教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法反证法；了解反证 法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作 用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。【教学难点】运用反证法证明数学问题。【教学过程设计】教学环节教学

2、活动设计意图、提出 问题问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？ 冋题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染， 至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证 法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步 骤？从实际生活的例子出发，使学生对反 证法的基本方法和步骤有一个更深刻 的认识。二 、反证 法定 义1:反证法的概念：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾， 因此说明假设错误，从而证明原命题成立 ，这样的的证明 方法叫反证法.2:反证法的基本步骤： 1 ）:假设命题结论不成立， 即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，

3、经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定 命题的结论正确.3:应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）:需 分成很多类进行讨论；3 ）:结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；4 ）:结论为 “唯一”类命题；三、应用例1、已知直线a,b和平面且 a | b，求证 a | 口。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为a|b,所以经过直线a , b 确定 一个平面P。因为a律u，而a u P , 所以a与B是两个不同的平面 因为bua，且buB, 所以叩B =b.西a，如果a区a ,b匚a ,直观了解反证法的证明过程。否 定结论，推出矛盾。提醒学生： 使用反

4、证法进行证明的关键是 在正确的推理下得出矛盾。这个 矛盾可以是与已知条件矛盾，或 与假设矛盾，或与定义、公理、 定理、事实矛盾等。进上步熟悉反证法的证题思路 及步骤。引导学生结合思考题和例题 归纳出反证法所适用的题型特 点和一般步骤。培养学生的归纳下面用反证法证明直线 a与平面ot没有公共点.假设 直线a与平面ot有公共点P，贝U，即点P是直线a与b的公共点，这与a|b矛盾所以 a |a 点评：用反证法的基本步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论.;第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法， 推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所

5、作的 假定不正确，于是原证不等 利例2、求证：42不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用 反证法假设 J2不是无理数，那么它就是有理数我们 知道，任一有理 数都可以写 成形如 m ( m,n互质， nmvZ,n = N ”的形式.下 面我们看看能否由此推出矛 盾.证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数于是，存在互质的正整数m,n，使得 J2 = ，从而有n m = y/2n,因此，m2 = 2n2,所以m为偶数于是可设 m = 2k ( k是正整数)， 从而有4k2 =2n2，即2n = 2k所以n也为偶数这与 m , n互质矛盾！由上述矛盾可知假设 错误，从而v'

6、2是无理数.点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命 题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确 的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命 题正确的一种方法。能力。四、 归纳1. 通过思考题和例题，我们发现反证法适用于 什么样的题目？(1) 要证的结论与条件之间的联系不明显， 直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2 )如果从正面证明，需要分成多种情形进 行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种 或很少的几种情形。2. 归纳一下反证法的证题一般步骤：(1 )否定命题的结论；(2) 进行合逻辑的推理；(3) 导出任何一种矛盾；(4) 肯定原命题的结论。五、练习 巩固1.

7、P91.练习 1.22. 补充：用反证法证明1 2(1)如果x丄，那么X2 +2x1式0.2(2 )求证：过直线外一点，有且只有一条 直线和这条直线平行。通过讲评可以及时发现学生解 题中存在的问题，予以更正。六、知识 小结反证法的证题步骤：(1 )否定命题的结论；(2 )进行合逻辑的推理；(3 )导出任何一种矛盾；(4 )肯定原命题的结论。反证法的适宜题型：(1 )对于起始命题、基本命题、特殊命题， 由于可以用到的定理、公式甚少或不易找出直接 证明的关系，用反证法有时会骤得较好的效果；(2)命题的结论中含“不”、无”等(称为 否定形式命题)，往往可以考虑反证法；(3 )命题用反面结论较易推出矛

8、盾，适宜 使用反证法；(4)命题结论中含“至多”、“至少”、“超 过”、“不超过”等词，往往可以考虑反证法；(5 )惟一性的命题，直接证不如反证法更 易于入手。通过小结总结所学，突出重点， 强调难点七、课后 作业P102习题2.2A组1八、设计反思反证法学生并不陌生，在初中就已有所接触。通 过本节课的学习进一步明确其步骤，寻找矛盾 点，哪些题型是适用于反证法证的。感觉学生应 该容易接受。【练习与测试】1用反证法证明命题：若整系数一元二次方程 是偶数时，下列假设中正确的是()A.假设a、b、c都是偶数C.假设a、b、c至多有两个是偶数 答案：Bax2 bx 0(a = 0)有有理根,则a、b、c

9、中至少有一个B.假设a、b、c都不是偶数D.假设a、b、c至多有两个是偶数解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。选B。2 用反证法证明命题“若整数n的立方是偶数，则 n也是偶数”如下：假设 n是奇数，则n=2k+1(k Z),333n =(2k+l) =，这与已知n是偶数矛盾，所以 n是偶数。答案：2(4k3 6k23k) 1解：和的立方公式展开n3 =(2k 1)3 =8k3 12k2 6k 1 =2(4k3 6k2 3k) 1答案为 2(4k3 6k23k) 1。3.已知平面工和不在这个平面内的直线 a都垂直于平面：，求证：直线a /平面、；。证明：假设a

10、不平行，则a与必有公共点，设为点 A,过点A在平面 鳥内作直线 c丄b,由壽丄知，c丄：，而a丄：，贝U all c。这与a、c 相交于点A相矛盾，因此，假设错误，即a / ：。4.已知函数 f(x)=ax匸？(a 1)。(1)x +1上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)=0证明：(1)令 g(x) = =x 1 -3 胡x+1 x+1Sr 宀2 当 XM-1(x+1)在(_：,：)上为增函数， f (x)在(-1,+证明：函数f(x)在(-1,+ ：)没有负根。3x 1时 g'(x) 0在(-1：)上 g(x)为增函数。/a>1 时，ax：)上为增函数。x0 二-匸,且

11、 0<ax0<1 x0 1综合两种情况知必有(2)设存在 Xo<O (x o =-1)，满足 f(Xo) =0，贝y a所以0<-豁日，即苏"2，与假设矛盾，故方程f(x)=0没有负根。5设a,b, c R,且满足a b 2,a2 b2 c2 2。证明：a,b,c都是不大于-的非负数。34证明：假设结论不正确，可设c ： 0或c -3 .222 I2(1 )若 c<0，由 a b c = 2故a b c (a b c)即 a2 b2 c2 = 2ab - 2bc 2ac又得(a -b)2 c = 2c(a b)/ c<0，由上式可得(a+b)<0，从而a+b+c<0与题设a+b+c=2矛盾。r .4222(2)若 c。又由(a -b) c = 2c(a b) = 2c(2 - c) =4c -2c22, .4 .(a -b)4c3c ： 0。这是不可能的，因此 c也是不可能的。3440。同理可证0岂a,b 3 32 ,-1上不存在关于直线 y+x=0对称的两点。6.求证：抛物线y = 1 x2证明：假设抛物线上存在关于直线y+x=0对称的两点 A(a,b)和B(-b,-a) , ( a式-b，且a,b R),则b