知识讲解_空间向量在立体几何中地指导应用

1、空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直4. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.5. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理6. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】【考点梳理】要点一、空间向量1. 空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠

2、释： 空间的一个平移就是一个向量。 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考 虑其定义要素：方向，大小。 空间的两个向量可用同一平面的两条有向线段来表示。2. 共线向量（1 ）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作ab .当我们说向量a、b共线（或a b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （ b丰0 ）, a/ b的充要条件是存在实数入，使a =入b。3. 向量的数量积（1 ）定义：已知向量叫做的数量积，记作（2

3、）空间向量数量积的性质：ae iicos a,e ；（3）空间向量数量积运算律:（a） b(a b)(b)；a （交换律）；a (ba c （分配律）。4.空间向量基本定理a,b,c不共面，那么对空间任一向量如果三个向量，存在一个唯一的有序实数组x, y,z ,yb zC。若三向量a,b,c不共面，我们把Mb,C叫做空间的一个基底,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用im表示；（2 ）在空间选定一点 0和一个单位正交基底 向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z坐标系0

4、xyz，点0叫原点，向量 i,j,k 面，分别称为x0y平面，y0z平面，6.空间直角坐标系中的坐标：,k，以点°为原点，分别以'i,l,k轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角 I, j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 zOx平面；的方在空间直角坐标系0 xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组（x, y,z），使OA x! yj zk，有序实数组（x, y,z）叫作向量 A在空间直角坐标系 0 xyz中的坐标，记作A（x,y,z），x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.7.空间向量的直角坐标运算律:（）若, B（X2,y2,Z2），则 AB （X2

5、 为山 如卫 乙）.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。(2)若 a (aiaa), b (344)，则 abGb,a2b2,a3bs),4 4ab(dbab2,asbs),(3)JfaJra4aJraa1a1a2RRb2RR2D2夹角公式： COSiai ibi ，1_ 印“a2b2asbs亍 2a2as2"2b22b32两点间的距离公式：若A(xi, yi,Z!), B(X2,y2,Z2)，则2 2 2Xi) (y2 yi) (Z2 zi)或dA,B .(X2 Xi)2 (y2yi)2(z?乙)2 。要点二、空间向量在立体几何中的应用

6、1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂直问题，一般是利用0进行证明;对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2. 利用向量求夹角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式要点诠释：平面的法向量的求法：设n=（x,y,z），利用n与平面的两个不共线的向a, b垂直，其数量积为零，列出两个三元的一个法向量（如图）次方程，联立后取其一组解，即得到平面线线角的求法:设直线AB、CD对应的方向向量分别为 a、b，则直线AB与CD所成的角为arccos W 。

7、 iai |6|（注意：线线角的围0°,90°）线面角的求法：设n是平面的法向量,AB是直线|的方向向量，则直线 |与平面 所成的角为arcsi n|AB|n|（如图）。.面角的求法:设ni, n2分别是二面角的两个面， 的法向量，则 ：,& arcco就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3. 用向量法求距离的公式设n是平面 的法向量，AB是平面 的一条斜线，则点B到平面 的距离为|n|图）。要点诠释:点A到平面，其中的距离:b ， n是平面的法向量。直线a与平面，其中之间的距离:A a, B ， n是平面 的法向量。两平行平面之间的距离:A , B ， n是平

8、面的法向量。【典型例题】类型一、空间向量的运算aB=（2，2，1），【例1】已知=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量。皓案】单位法向量,0缶=±(1,-1,1)【解析】设面ABC勺法向量彳(x, y,z)，则才丄AB且n丄AC，即0，即02x 2y z4x 5y 3z0，解得2x0令x 1，则(1, 2,2)单位法向量n0【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度，仅规定了方向,所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1,再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的 向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解。举一反三：【变式】若a = (

9、1,5,Jr a Ik若 若1 2Jra JraJib Jib(3)若ka b取得最小值，数k的值。(7k /(1JraIBS4bJra,解得k4732k5k由*3bJr a6 JibHka2)(k 2,5k 3, k 5) (7, 4, 16)0,即 3k 106 0，解得 k 106 ；.27k2 16k 38(3) ka b 7(k 2)2(5k 3)2 ( k 5)28 H 4当k 时，ka b取得最小值。27类型二：向量法证明平行或垂直【例2】如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD四边长为 1的菱形， ABCOA 底面ABCD , OA 2, M为OA的中点，N为BC的中点证

10、明：直线 MN |平面OCD ；(D)(出)求异面直线 AB与MD所成角的大小;求点B到平面OCD的距离。【解析】作 AP CD于点P,如图，分别以AB,AP,AO所在直线为x, y, z轴建立坐标系A(0,0,0), B(1,0,0),P(0,2,0),d(2-27,0),O(0,0, 2), M(0, 0,1),N(1 VJ,。),22442 2 、2 (0, 2), OD (,2>i设平面OCD勺法向量为n (x, y, z),则n OpmN（i巨巨i）,oP442 , 2)即mN n (i2, 1) (0,4, .2)44MN | 平面 OCD(2)设AB与MD所成的角为v AB

11、cosAB与MD所成角的大小为-3设点B到平面OCD的距离为d ,则d为在向量n(0,4八0)上的投影的绝对值由OB(1,0, 2),得 d2所以点B到平面OCD勺距离为3【总结升华】1.用向量证明线面平行的方法有:(1) 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2) 证明该直线的方向向量与平面某直线的方向向量平行；(3) 证明该直线的方向向量可以用平面的两个不共线的向量线性表示.2.用向量法证垂直问题：(1) 证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为0;(2) 证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定 定理转化为证明线线垂直；(3) 证明面面垂

12、直，只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.举一反三：【变式】如图，已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC为等腰直角三角形，/ BAC = 90°,且AB = AA1, D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：(1) DE /平面 ABC ;(2) B1F 丄平面 AEF.【解析】如图建立空间直角坐标系A xyz，令AB= AA = 4,则 A(0, 0, 0) , E(0, 4, 2) , F(2 , 2, 0) , B(4 , 0 , 0) , B1(4 ,0, 4).取 AB中点为 N,则 N(2, 0, 0) , C(

13、0, 4, 0) , D(2, 0, 2), DE= ( 2, 4, 0) , NC= ( 2, 4, 0),f f DE= NC DE/ NC又NC在平面 ABC DE不在平面 ABC 故DE/平面 ABC.ff(2)B iF= ( 2 , 2, 4), EF= (2 , 2, 2),fAF= (2 , 2 , 0),f fBiF EF= ( 2) X 2+ 2X ( 2) + ( 4) X ( 2) = 0 ,f f则 BiF± EF, BiF± EF,f fBiF AF= ( 2) X 2+ 2X 2+ ( 4) X 0= 0.f f BiF丄AF,即 BF丄AF,又

14、 AFP FE= F , BiF丄平面 AEF.类型三：异面直线所成的角【例3】正方体 ABCD-EFGH勺棱长为 a,点P在AC上,Q在BG上,且 AP=BQ=a,求直线 PQ与AD所成的角【答案】90°【解析】建立空间直角坐标系如图，贝U A(a,0,0) , D(a,a,0)Q(0,予戶,0)解。(a(0,a,0), qP Ad QP与AD所成的角为90°。【总结升华】建立坐标系后，求出pQ AD及 |PQ|, | AD|,可由 cos求举一反三：【变式】如图，在直四棱柱 ABCD A1BiCi Di中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为 2(1) B1D1与AD能否垂直

15、？请证明你的判断;(2)当A1B1C1 在3 ,_2上变化时，求异面直线AC1与A,B所成角的取值围。【答案】菱形 AB1C1D1中，AG B1D1于Q，设AC|BD O ,分别以O1 B1,O1C1,O1O所在直线为x, y, z轴，建立空间直角坐标系,22设 B1(a,0,0), G(0,b,0)(a b 1)，则 D, a,0,0), A(0,(1)： DB1 (2a,0,0), AD ( a,b,2), DB A"D22a 0 , B1D1与A1D不能垂直。b,0), D( a,0,2)(2)vb-1，A(0, b,2)ai Ac!(0,2b, 2), AB1(a,b,0),

16、1,b221，设 a| a2 b2cosb22b2,b2cos,b sin又仝3tan 21 ,acosb2sin2111 b21 sin211/42- csccsc' sin42 sin41, 6 cos毘眾洛csc24,二直线AC1与A1B1所成角的取值围是彳，彳。类型四：直线与平面所成的角【例4】如图，在棱长为 1的正方体 ABCD ABQQ,中，P是侧棱CC,上的一点,CP m。试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为 3 2 ；【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m), C(0,1,0),D(0,0,0),B

17、(0,0,1),1(1,1,1),D1(0,0,1).设AP与面BDD1 B所成的角为0知 AC为平面BBDD的一个法向量.则sincos(22、22 m2(1,1,0).23/21依题意有，解得m丄.近 J2 m2 J1 (3运)23故当m 1时，直线AP与平面BDDB1所成的角的正切值为3 .2。3举一反三：【变式】如图，三棱锥 P-ABC中，/ ABC=90 , PA=1, AB=. 3 , AC=2 PAL面 ABC(1)求直线AB和直线PC所成角的余弦值; 求PC和面ABC所成角的正弦值;【答案】(1)以A为坐标原点，分别以AB AP所在直线为y轴、z轴，以过A点且平行于BC直线为x

18、轴建立空间直角坐标系在直角 ABC中，T AB= .、3 , AC=2 二 BC=1A(0,0,0) , B(0, ,3,0) , C(1,3,0) , P(0,0,1).(0, .3,0) , (1, ,3,1),AB PC0 3 0vT5COS<,>=.=|AB | | PC| 03 0、1315直线AB与直线PC所成的角余弦为上丄5 .5 取平面ABC的一个法向量 AP =(0，0，1)，设PC和面ABC所成的角为 ，则sin=|cos< ， >|=|PC AP| =|0 0 1|PC | | AP |13 1 、00 1 PC和面ABC所成的角的正弦值为类型五：

19、二面角【例5】 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1= 2.2, C1H丄平 面 AA1B1B，且 C1H = ", 5.(1)求异面直线AC与AiBi所成角的余弦值;(2) 求二面角 A AiCi Bi的正弦值；(3) 设N为棱BiCi的中点，点 M在平面AAiBiB，且 MN丄平面 AiBiCi，求线段 BM的长.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点 B为坐标原点，依题意得A(2 j2, 0, 0) , B(0, 0,0) , C( '2,；2,Ai (2.'2, 2,2 0) , B(0, 2、,：2,0) ,Ci (

20、；;2,''2,.：5).(i )易得 AC= ( .2 .-2,Ai Bi = ( 2 ,：2, 0, 0),f f于是 cos AC, Ai B >f fAC Ai B4'2f f 3X 2 '23|AC|A i Bi |T易知 AA (0 , 2 2 , 0), AiC = ( 2 , 2 ,5).m 设平面AAC的一个法向量 m= (x , y, z)，贝UTAC = 0,AA= 0.即2x - 2y + 5z = 0，不妨令x= 5，可得2 2y 0.'m= (5, 0,2).n设平面AiBiCi的一个法向量 n (x , y, z)，贝

21、UT AiCi = 0,T AiBi = 0.即“ 一 2y + 5Z = 0，不妨令y=5，可得2 2x = 0.'n= (0 , 5,计2).所以二面角m-nn|m|n| =77= 7'从而前A AiC Bi的正弦值为 丁.W5m n=,则MN=冷a,竽b,(3)由N为棱BQ的中点，得3,2 ，2，.设 M(a, b, 0),.因为MNL平面 Ai Bi Ci,由知平面AiBiCi的一个法向量为Tn (0 ,5 , . 2)，所以 MN/ n,所以 _22 a= 0,症b至2 2,5= ,2a 2 ,解得2.故 M(¥, I2 0).b=因此BM=(石2, 了,

22、0),所以线段BM的长|BM|i0【总结升华】求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注 意二者围的区别.同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角在空间直角坐夹角的补角)，在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平面的法向量.标系中，常米用待定系数法求平面的法向量.举一反三:【变式】如图，矩形 ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE / CF，/ BCF= / CEF=90 ° ,AD 3 EF=2。(I)求证：AE/平面DCF ;(n)当AB的长为何值时，二面角 A EF C的大小为60°?【解析】如图，以点

23、C为坐标原点，以CB, CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C xyz .y设 AB a, BE b, CF c,则 C(0,0,0), A( . 3,0, a),I(I)证明：aE (0, b,所以 CB cE 0 , CB bEB( . 3,0,0) , E( . 3,cb( 13,0,0),b,0),F(0, c,0).a),BE(0, b, 0),从而CB AE ,CBBE ,所以CB 平面ABE .因为CB 平面DCF，所以平面ABE / 平面 DCF .故AE /平面DCF .eF ( J3, c(n)解：因为b,0),(J3, b,0),所以eF cE0, |

24、eF | 2，从而3 b(c b) 0, 、3 (c b)22,解得 b 3, c 4 所以 E(.3,3,0) , F (0,4,0).I设n (1, y, z)与平面AEF垂直，,eFJin又因为BA平面BEFC ,BA(0,0, a),故点A到平面MBC勺距离为2 155 '所以|cos n,BA |丄BA斗L?空 1，得到a|BA| |n| aj4a22729所以当AB为时，二面角A EF C的大小为60 .2类型六：空间距离MCDL平面 BCD AB丄平面 BCD【例5】如图， BCDW MCD都是边长为2的正三角形，平面AB= 2 3求点A到平面 MBC勺距离.【解析】取C

25、D中点O,连接OB OM 贝U OBL CD OML CD.又平面MC丄平面BCD 所以MOL平面BCD.取O为原点，直线OC BO OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图. OB= OM= ,；3 ,则各点坐标分别为 C(1 , 0, 0) , M(0, 0, '3)(1)设n (x, y, z)是平面MBC的法向量，贝UBC= (1 , .'3, 0) , BM= (0 , .'3 ,.II f f由 n 丄BC得 n BC= 0 即 x + ：3y = 0；IIff由 n 丄BM得 n BM= 0 即：3y + :3z = 0.取 n = ( j3, -

26、1, 1) , BA= (0 , 0 , 2 ，则 d = LBA1| = 2：3=警|活|聽 5法二：（1）取CD中点O,连OB OM 则 OB= OM= ：3 , OBL CD MO丄CD 又平面MCL平面BCD则MOL平面BCD所以MO/ AB所以MO/平面ABC 故M, O到平面ABC的距离相等.作 OHL BC于 H,连 MH,贝U MHL BC.求得 OHk OC- sin60设点A到平面MBC勺距离为d,由 V-MBC= Vm- ABC得3 - SMBC'-OH.d= 3 - Sa ABC即3x2x2x3 22X 2 3x解得d=¥5【总结升华】利用向量法求点到

27、平面的距离的步骤如下:(1)求出该平面的一个法向量n ；(2)找出以该点及平面的某点为端点的线段对应的向量(3)利用公式d =lal求距离. |n|举一反三:【变式】如图，四面体 ABCD中,OE分别是BD BC的中点，CA CB CD BD 2 ,AB AD . 2 ,求点E到平面ACD的距离。【答案】以O为原点，如图建立空间直角坐标系,0)则 B(1,0,0)1 D( 1,0,0), C(0,、3,0), A(0,011)1 E(丄举2 2(1,0,1),cD设平面ACD的法向量为n(x,y,z),则1) 0,1) 0,(x,y,z).( 1,0,(x, y,z).(0, .3,x_z 0

28、,，令y 1,得n ( "3,1八3)是平面ACD的一个法向量。 、3v z 0.类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题【例6】在四棱锥PABCD 中,AB CD，AB AD ,AB 4, AD 22,CD 2, PA 平面 ABCD , PA 4.(I)丄设平面PABp平面PCD m，求证：CD/ m ；(n)求证：BD平面PAC ；（川）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为上3，求竺的值.3 PBPD【证明】（I） 因为AB/ CD , CD 平面PAB , AB 平面PAB ,所以CD/平面PAB.因为CD 平面PCD，平面PAB|平面PCD m

29、 ,所以CD/ m.（n）:因为AP 平面ABCD , AB AD，所以以A为坐标原点， AB, AD, AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 B(4,0,0),BD (所以P(0,0,4) , D (0,2 .2,0) , C(2,2、2,0).4,2、2,0) , aC(22.2,0),所以BD14) 2 2、2 2 . 20 00 ,(0,0, 4)BD ACAP ( 4)所以BD AC , BD AP.因为AP AC A, AC 平面 PAC ,PA平面PAC ,所以BD 平面PAC.(川)解：设(其中01), Q(x, y,z)，直线QC与平面PAC所成角为PB

30、 所以P PB.所以(x, y, z4)(4,0,4).所以所以x 4 ,y . 0,z 二一4CQ 二(4-4,即 Q(4 ,0,4 一4).由(n)知平面一2,-2血一4 +4).PAC的一个法向量为BD(4,2.2,0).因为sin 二 cos (cQ,bd二所以4(42) 8解得所以2拆 7(42)2 8 ( 447-0,1.12PB 12 .【总结升华】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断。在解题过程上中，往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解，是否有规定围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效,在立体几何二轮复习中，我们要善于运用这一方法。举一反三:【变式】在如图所示的几何体中，四边形A