工学F教案结构力学矩阵位移法概述力学

1、工学工学F教案结构力学矩阵位移教案结构力学矩阵位移法概述力学法概述力学2020/12/321. 概述概述 构造矩阵分析是采用矩阵方法分析构造力学问题的一种方法。与传统的力法、位移法相对应，构造矩阵分构造矩阵分析是采用矩阵方法分析构造力学问题的一种方法。与传统的力法、位移法相对应，构造矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是以结点位移为根本未知量，借助矩阵进展分析，并用计算机解决各种杆系构造受力、变形等矩阵位移法是以结点位移为根本

2、未知量，借助矩阵进展分析，并用计算机解决各种杆系构造受力、变形等的方法。的方法。2020/12/33手算怕繁、电算怕乱。手算怕繁、电算怕乱。 但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的转角也作为根本未知量，因此，根本未知量数目比传统位但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的转角也作为根本未知量，因此，根本未知量数目比传统位移法的根本未知量多一些。移法的根本未知量多一些。理论根底：位移法理论根底：位移法分析工具：矩阵分析工具：矩阵计算手段：计算机计算手段：计算机 2020/12/342. 矩阵位移法的根本思路矩阵位移法的根本思路集合集合离散离散构造构造有限单元分析有限单元分析整体分析整

3、体分析形成单元刚度矩阵；形成单元刚度矩阵；建立单元刚度方程。建立单元刚度方程。形成构造刚度矩阵；形成构造刚度矩阵；建立构造刚度方程。建立构造刚度方程。单元杆端力、支座反力单元杆端力、支座反力结点位移分量结点位移分量矩阵形式的单元矩阵形式的单元转角位移方程转角位移方程满足物理关系满足物理关系矩阵形式的位移法根本方程矩阵形式的位移法根本方程满足平衡条件、变形协调满足平衡条件、变形协调条件条件2020/12/353. 要解决的问题要解决的问题整体分析：研究构造整体的平衡条件、平衡方程的组成规律和求解方法。整体分析：研究构造整体的平衡条件、平衡方程的组成规律和求解方法。编制程序编制程序：根据矩阵位移法

4、的分析原理，绘制程序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为程序设计。程序设计。离散化：确定坐标、单元编码、结点编码总体码和部分码、位移分量编码总体码和部分码离散化：确定坐标、单元编码、结点编码总体码和部分码、位移分量编码总体码和部分码单元分析单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端力和杆端位移的关系。：研究单元的力学特性，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2020/12/369.2 单元分析单元分析Element analysis2020/12/371. 构造的离散化构造的离散化 单元应为等截面直杆，一根杆件

5、可以划分为一个或几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。单元应为等截面直杆，一根杆件可以划分为一个或几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。 2020/12/381结点编码、单元编码结点编码、单元编码12345678910FPxyO 构造中一般的构造结点如杆件的转折点、汇交点、构造中一般的构造结点如杆件的转折点、汇交点、支承点、变截面处应作为结点，而非构造结点，如集中支承点、变截面处应作为结点，而非构造结点，如集中荷载作用点也可以作为结点处理。荷载作用点也可以作为结点处理。 整体坐标系构造坐标系：为研究构造整体平衡条件和变形协调条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一整体坐标系构造坐标系

6、：为研究构造整体平衡条件和变形协调条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系，以程度方向为般采用右手系，以程度方向为 x x 轴。轴。 2020/12/39结点编码的目的：一是确定构造的空间位置和构造形状；二是确定所计算构造总的未知数数目。结点编码的目的：一是确定构造的空间位置和构造形状；二是确定所计算构造总的未知数数目。结点编码结点编码 对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点，一个结点可以采用一个结点号；否那么，应在对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点，一个结点可以采用一个结点号；否那么，应在此处将彼此刚结的点编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结

7、点号。此处将彼此刚结的点编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。 1 2 3 6 5 4 x y M , 原那么：相关结点结点之间有杆件相连的编码原那么：相关结点结点之间有杆件相连的编码要尽可能的接近。以减少总刚度矩阵的带宽，节约要尽可能的接近。以减少总刚度矩阵的带宽，节约计算机存储空间。计算机存储空间。汇交于结点的所有单元，称为结点的相关单元。汇交于结点的所有单元，称为结点的相关单元。 2020/12/310单元编码的目的：确定每一个单元杆件在整个构造中的相应位置。单元编码的目的：确定每一个单元杆件在整个构造中的相应位置。单元编码单元编码 单元编码方式对计算结果没有影单元编码方式对

8、计算结果没有影响。对于大型构造一般按照单元的类响。对于大型构造一般按照单元的类型进展编码，同一类型的单元连在一型进展编码，同一类型的单元连在一起编码。起编码。 123101112456789159481226103711结点编码结点编码2020/12/311练习：练习：123101112456789132020/12/3122结点位移编码结点位移编码结点位移的统一编码结点位移的统一编码 整体码整体码 用矩阵位移法进展构造分析时，根本未知量是结点位移，这就需要将构造中全部结点位移分量进展统一用矩阵位移法进展构造分析时，根本未知量是结点位移，这就需要将构造中全部结点位移分量进展统一编码。编码。矩阵

9、位移法根本未知量确实定：矩阵位移法根本未知量确实定： 矩阵位移法根本未知量确实定不是唯一的，它与单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序矩阵位移法根本未知量确实定不是唯一的，它与单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序有关。有关。2020/12/313 按照结点编码顺序进展；按照结点编码顺序进展； 同一结点按照同一结点按照 x y 顺序进展；顺序进展； 平面梁每个结点只有两个独立的位移分量；平面梁每个结点只有两个独立的位移分量； 平面桁架每个结点只有平面桁架每个结点只有2个独立的位移分量；个独立的位移分量； 平面刚架每个结点只有平面刚架每个结点只有3个独立的位移分量；个独立的位移分

10、量； 一样的结点位移应编成同一个号码。一样的结点位移应编成同一个号码。2020/12/314编码时要考虑以下因素：编码时要考虑以下因素： 位移边界条件的处理位移边界条件的处理 根据引入边界条件的先后，形成总刚度矩阵的方法分为先处理法和后处理法。同一构造采用后处理法或先处理根据引入边界条件的先后，形成总刚度矩阵的方法分为先处理法和后处理法。同一构造采用后处理法或先处理法计算，根本未知量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法也不一样。法计算，根本未知量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法也不一样。 后处理法是在形成构造原始刚度矩阵之后引入位移边界条件。对所有的结点位移分量按照结点编码进展

11、自然数后处理法是在形成构造原始刚度矩阵之后引入位移边界条件。对所有的结点位移分量按照结点编码进展自然数顺序编码，包括位移和未知位移分量。顺序编码，包括位移和未知位移分量。 先处理法是在形成构造总刚度方程之前，已引入了位移边界条件和特定的位移关系。仅对未知的结点位移分量先处理法是在形成构造总刚度方程之前，已引入了位移边界条件和特定的位移关系。仅对未知的结点位移分量进展自然数顺序编码，而对那些的结点位移分量，编码均取为进展自然数顺序编码，而对那些的结点位移分量，编码均取为0。 2020/12/3151（1,2）3（5,6）4（7,8）2（3,4）1（0,0）3（2,3）4（4,5）2（1,0） 3

12、 5 4 (4,5,6) (7,8,9) 1 2 (1,2,3) (10,11,12) (13,14,15) 3 5 4 (1,0,2) (3,4,5) 1 2 (0,0,0) (0,6,0) (7,8,9) 2020/12/316 构造变形情况构造变形情况 同一构造在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只考虑弯曲变形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编码完全同一构造在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只考虑弯曲变形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编码完全一样，但是结点位移分量的编码却不一样。不计直杆轴向变形时，未知的结点位移分量数目要少一些。一样，但是结点位移分量的编码却不一样。不计直杆轴向变形

13、时，未知的结点位移分量数目要少一些。 3 5 4 (1,0,2) (3,4,5) 1 2 (0,0,0) (0,6,0) (7,8,9) 3 5 4 (0,0,1) (0,0,2) 1 2 (0,0,0) (0,3,0) (4,0,5) 2020/12/317练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点位移分量编码。练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点位移分量编码。123101112456789132020/12/318参考答案：参考答案：1(1,0,0)2(2,3,4)3(5,6,7)10(17,18,19)11(17,18,20)12(17,18,21)4(0,0,8)5(9,10,11)6(

14、9,10,12)7(13,14,15)8(13,14,16)9(0,0,0)13(22,23,24)2020/12/319杆端位移分量的编码杆端位移分量的编码 部分码部分码 i j ；x y 轴力单元：轴力单元：14；一般单元：；一般单元：16。3(5,6,7)8(13,14,16)ije1(1,2,3)2(4,5,6)ij2020/12/3202. 单元分析单元分析 建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称单元分析，形成的方程称单元刚度方程。建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称单元分析，形成的方程称单元刚度方程。 不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形式，但总的思想不变。不同类型

15、的单元通常具有不同的单元刚度方程形式，但总的思想不变。 按照单元的受力情况，可将单元分为刚架单元和桁架单元。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴按照单元的受力情况，可将单元分为刚架单元和桁架单元。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存在轴力。力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存在轴力。 2020/12/321 x y e x y j i 部分坐标系单元坐标系：进展某一单元的单元分析时所建立的坐标系。部分坐标系单元坐标系：进展某一单元的单元分析时所建立的坐标系。 部分坐标系相对于整体坐标系的方位角用部分坐标系相对于整体坐标系的方位角用表示。表

16、示。的方向以的方向以 x 轴向轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个构造中，轴逆时针转动为正。即便在一个构造中，各单元的部分坐标系也不完全一样。各单元的部分坐标系也不完全一样。 2020/12/3221单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端力和杆端位移的表示方法ije5 3 6 1 2 4 xyO6F5F4F1F2F3FejQjNjiQiNieejieMFFMFFFFFFFF654321FFF， ejjjiiieejievuvu654321符号规定：杆端力、杆端位移与部分坐标系正方向一致时为正符号规定：杆端力、杆端位移与部分坐标系正方向一致时为正2020/12/3232单元刚度矩阵单元刚度矩阵

17、11elEAk11lEAk4114elEAk14lEAk44ije5 3 6 1 2 4 xyO6F5F4F1F2F3F03121 kk06151 kk03424 kk06454 kk2020/12/324ije5 3 6 1 2 4 6F5F4F1F2F3Fe12012k042k32212lEIk2326lEIk35212lEIk2626lEIkxyOe15015k045k32512lEIk2356lEIk35512lEIk2656lEIk2020/12/325ije5 3 6 1 2 4 xyO6F5F4F1F2F3Fe13013k043k2236lEIklEIk4332536lEIklE

18、Ik263e16016k046k2266lEIklEIk2362566lEIklEIk4662020/12/326ejjjiiieejQjNjiQiNivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFF4602606120612000002604606120612000002223232223232020/12/327elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeFFFFFF654321462661261226466126126

19、543212223232223230000000000000000 eeekF 部分坐标系下的单元刚度方程部分坐标系下的单元刚度方程 2020/12/328部分坐标系下的单元刚度矩阵部分坐标系下的单元刚度矩阵 eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602606120612000002604606120612000002223232223232020/12/3293 3单元刚度矩阵的性质与特点单元刚度矩阵的性质与特点 eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIl

20、EIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 第第 j 列元素的物理意义：第列元素的物理意义：第 j 号杆端位号杆端位移沿其正向发生单位位移，而其它杆端位移沿其正向发生单位位移，而其它杆端位移均为移均为 0 时，该单元全部杆端力的大小。时，该单元全部杆端力的大小。 (1)(2)(3)(4)(5)(6)11u11v1112u12v12(1)(2)(3)(4)(5)(6) 元素元素 kij 的物理意义：单位杆端位移引的物理意义：单位杆端位移引起的杆端力。起的杆端力。 2020/12/330 eelEIlEIlE

21、IlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 部分坐标系下的单元刚度矩阵只与单元本身部分坐标系下的单元刚度矩阵只与单元本身的属性，如单元长度、材料弹性模量、横截面面的属性，如单元长度、材料弹性模量、横截面面积、横截面惯性矩等有关积、横截面惯性矩等有关 。 单元刚度矩阵是对称方阵，这一点可由反力单元刚度矩阵是对称方阵，这一点可由反力互等定理得到证明。互等定理得到证明。 2020/12/331ejjjiijiiekkkkk eelEIlEIl

22、EIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵。因此，杆端位移可以确定杆端力，而杆端力矩阵。因此，杆端位移可以确定杆端力，而杆端力那么不能确定杆端位移；梁单元的单元刚度矩阵是那么不能确定杆端位移；梁单元的单元刚度矩阵是非奇异的。非奇异的。 单元刚度矩阵可以用子块形式表示：单元刚度矩阵可以用子块形式表示： 2020/12/3324特殊单元特殊单元不计轴

23、向变形的刚架单元：不计轴向变形的刚架单元： eelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIk462661261226466126122223232223232020/12/333梁式单元：梁式单元： eelEIlEIlEIlEIk4224桁架单元：桁架单元： eelEAlEAlEAlEAk eelEAlEAlEAlEAk0000000000002020/12/3343. 坐标转换坐标转换1问题的提出问题的提出xyOxyO？2020/12/3352坐标转换刚架单元坐标转换刚架单元x1 2 3 4 6 5 4 6 5 1 2 3 e12x si

24、ncos211 cossin212 33 1 321321 1 10000cossinsincos2020/12/336x1F2F3F4F6F5F4F6F5F1F2F3Fe12x sincos211FFF cossin212FFF 33FF 1F 321321 1 10000FFFFFFFcossinsincos2020/12/337 eeT212100 iiFF ii 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincoseT eeFTFFFFF212100单元单元 的坐标转换矩阵的坐标转换矩阵e T1TT - ITTT 坐标转换矩阵是一个正交矩阵坐标转换矩阵是一个正交矩阵2020/12/3382坐标转换桁架单元坐标转换桁架单元 eT x1 2 3 4 4 1 2 3 e12x sincos211 sincos432 432121sincos0000sincos e sincos0000sincosT TkTkeeT eelEAlEAlEAlEAk2020/12/3392坐标转换桁架单元坐标转换桁架单元x1 2 3 4 4 1 2 3 e12x cossinsincoscossinsincos-000000-00T TkTkeeT eelEAlEAlEAlEAk0000000000002020/12/34