三角形的内切圆

1、1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？.圆心与半径圆心与半径2、叙述角平分线的性质与判定、叙述角平分线的性质与判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中、下图中ABC与圆与圆O的关系？的关系？ABC是圆是圆O的内接三角形；的内接三角形；圆圆O是是ABC的外接圆的外接圆圆心圆心O点叫点叫ABC的外心的外心.不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点ABCOABC的外心是三边中垂线的的外心是三边中垂线的

2、交点，它到三个顶点的距离相交点，它到三个顶点的距离相等等 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大且使圆的面积最大.下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.ABCDFEOrCBA1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的三角形的内切圆内切圆，内切圆的圆心叫做三，内切圆的圆心叫做三角形的角形的内心内心，这个三角形叫做圆的，这个三角形叫做圆的外切外切三角形三角形.OAB C思考下列问题思考下

3、列问题： (1)如图如图1，若，若 O与与ABC的两边相切，那么圆的两边相切，那么圆心心O的位置有什么特点？的位置有什么特点？圆心圆心O在在ABC的平分线上的平分线上.如图如图2，如果，如果 O与与ABC的内角的内角ABC的两边相切，的两边相切，且与内角且与内角ACB的两边也的两边也相切，那么此相切，那么此 O的圆心的圆心在什么位置？在什么位置？圆心圆心O在在BAC、ABC与与ACB的三个的三个角的角平分线的交点上角的角平分线的交点上. OMABCNO图图2AB C探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法图图1(2)如何确定一个与三角形三边都相切的圆的如何确定一个与三角形三边都相切的圆

4、的半径的长？半径的长？ (3)你能作出几个与一个三角形你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？内切圆圆的三边都相切的圆么？内切圆圆心能否在三角形外部？心能否在三角形外部？ 作出三个内角的平分线，三条内角作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径垂线段的长是符合条件的半径. 只能作一个，只能作一个，圆心也只能在三角形内部圆心也只能在三角形内部,因因为三角形的三条内角平分线在为三角形的三条内角平分线在三角形内部三角形内部,且且相交只有一个交点相交只有一个交点

5、. IFCABEDID作法：作法： ABC1. 作作B、C的平分线的平分线 BM和和CN，交点为，交点为I. 2过点过点I作作IDBC，垂足为垂足为D. 3以以I为圆心，为圆心，ID为为半径作半径作 I. I就是所求的圆就是所求的圆. MN2.一个三角形的内切圆作法一个三角形的内切圆作法课内练习课内练习3 3：用直尺和圆规作直角三角形的：用直尺和圆规作直角三角形的内切圆内切圆作业题作业题2 2：用直尺和圆规作钝角三角形的：用直尺和圆规作钝角三角形的内切圆内切圆（3）内心在三角形内部内心在三角形内部OAB C3、性质、性质:（1）内心到三角形三边的）内心到三角形三边的距离相等距离相等；（2）内心

6、与顶点连线平分内角）内心与顶点连线平分内角.名称名称确定方法确定方法图形图形性质性质外心：外心：三角形三角形外接圆外接圆的圆心的圆心内心：内心：三角形三角形内切圆内切圆的圆心的圆心三角形三边三角形三边中垂线的交中垂线的交点点1.OA= =OB= =OC2.外心不一定外心不一定在三角形的内在三角形的内部部三角形三条三角形三条角平分线的角平分线的交点交点1.到三边的距离到三边的距离相等；相等；2.OA、OB、OC分分别平分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内内心在三角形内部部OABCOABC4、三角形内切圆和外接圆的比较、三角形内切圆和外接圆的比较: 1. 1.如图如图1 1，ABCAB

7、C是是OO的的 三角形。三角形。OO是是ABCABC的的 圆，点圆，点O O叫叫ABCABC的的 ，它是三角，它是三角形形 的交点。的交点。外接外接内接内接外心外心三边中垂线三边中垂线ABCO图图1IDEF图2外切外切内切内切内内三个角平分线三个角平分线2.2.如图如图2 2，DEFDEF是是II的的 三角形，三角形，II是是DEFDEF的的 圆，点圆，点I I是是 DEFDEF的的 心，它是三角心，它是三角形形 的交点。的交点。填一填填一填C CO OB BA A 5 5、 如上图，四边形如上图，四边形DEFGDEFG是是OO的的 四边四边形，形，OO是四边形是四边形DEFGDEFG的的 圆

8、圆. .3 3、 三角形的内切圆能作三角形的内切圆能作_个个, ,圆的外切三角形有圆的外切三角形有_个个, ,三角形的内心在三角形的内心在三角形三角形的的_._.4.4.如图如图, ,DEFG.O内切内切外切外切填一填填一填解：解： 如图，设圆如图，设圆O切切AB于点于点D，连接，连接OA、OB、OD.圆圆O是是ABC的内切圆的内切圆,AO、BO是是BAC、ABC的角平分线的角平分线 ABC是等边三角形是等边三角形, OAB= =OBA= =30o OA=OBODAB，AB= =3cm，AD= =BD= = AB= =1.5(cm)12OD= =AD tan30o= = (cm)32答答:圆柱

9、底面圆的半径为圆柱底面圆的半径为 cm.32例例1 如图，等边三角形如图，等边三角形ABC的边长为的边长为3cm，求三角形求三角形ABC的内切圆的半径的内切圆的半径.例例 如图，已知如图，已知 O 是是ABC的内切圆，的内切圆，切点分别点切点分别点D、E、F，设，设ABC周长为周长为L.求证：求证：AEBC= =L21OABCFED如图，设如图，设ABC的边的边BC= =a，CA= =b，AB= =c，L= = a+ +b+ +c，内切圆，内切圆I和各边分别和各边分别相切于相切于D、E、F.21结论：结论：AE= =AF= = L- -a BF= =BD= = L- -b CD= =CE= =

10、 L- -cCBAEDFOr2121ABCabcDEr如：直角三角形的两直角边如：直角三角形的两直角边分别是分别是5cm5cm，12cm 12cm 则其内切则其内切圆的半径为圆的半径为_。补充：补充： 如图，如图，直角三角形的两直角边分别是直角三角形的两直角边分别是a a，b,b,斜边为斜边为c c 则其则其内切圆的半径为内切圆的半径为: :（以含（以含a、b、c的代数式表示的代数式表示r）2cm2cmr =a+b-c2练习：练习： 边长为，的三角形边长为，的三角形的内切圆半径是的内切圆半径是1 1直角三角形外接圆、内切圆半径的求法直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 R= c2 r = a+b

11、-c2Oabcrrr已知已知ABCABC的三边的三边BC,AB,ACBC,AB,AC分别为分别为a,b,c,Ia,b,c,I为内心，内为内心，内切圆半径为切圆半径为r,r,求求ABCABC的面积的面积S(S(用用a,b,c,ra,b,c,r表示）表示）A AB BC CI I证明：连结证明：连结AI,BI,CIAI,BI,CIABCABCABI ABI + + BCI BCI + + ACIACIar2+br2+cr2(a+b+c）r2rLS21=边长为，的三角形的内切圆半径是边长为，的三角形的内切圆半径是1.51.5已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=14BC=14，AC=9AC=9，

12、AB=13AB=13，它的内切圆，它的内切圆分别和分别和BCBC、ACAC、ABAB切于点切于点D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的长。的长。A AB BC CF FD DE Ex xx x13-x13-x13-x13-x9-x9-x9-x9-x(13-x)+(9-x)=14(13-x)+(9-x)=14解：设解：设AFAFx x，则，则BF=13-xBF=13-x因此，因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x,AE=AF=x,BD=BF=13-x,DC=EC=9-x,DC=EC=9-x,解得解得x=4x=4答：答：AF=4AF=4，BD=9BD=9，CE=5CE=

13、5。AF=4AF=4，BD=9BD=9，CE=5CE=5练一练练一练又又BD+CD=14BD+CD=14还可用什么方法？还可用什么方法？圆内接平行四边形是矩形圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_FACBDOABCDO菱形EGH变式：变式：sinOBD = = sin30= =rR= =ODOB= =12以某三角形的内心为圆心，以某三角形的内心为圆心，作一个圆使它与这个三角形作一个圆使它与这个三角形的某一条边（或所在的直线）的某一条边（或所在的直线）有两个交点，那么这个圆与有两个交点，那么这个圆与其他两边（或所在的直线）其他两边（或所在的直线）有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？仔细观察图形，你还能发现什么仔细观察图形，你还能发现什么规律？再作几个三角形试一试，规律？再作几个三角形试一试，是否有同样的规律？请说明理是否有同样的规律？请说明理由由OABCFDGHI正三角形的内切圆半径和高