1819阶段复习课　平面向量

1、第二课平面向量核心速填1向量的运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2)向量的线性运算减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)|a|a|；(2)当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0a(x1，y1)向量的数量积运算a·b|a|b|cos (为a与b的夹角)规定0·a0数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积a·bx1x2y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

2、的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.3向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得ba(a0)x1y2x2y10aba·b0x1x2y1y20体系构建题型探究平面向量的线性运算(1)已知向量a(2,1)，b(3,4)，则2ab的结果是()A(7，2)B(1，2)C(1，3) D(7,2)(2)设D为ABC所在平面内一点，则3，则()A. B.C. D.(1)A(2)D(1)a(2,

3、1)，b(3,4)，2ab2(2,1)(3,4)(4,2)(3,4)(43,24)(7，2)，故选A.(2)3，3()，23，AB.规律方法向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.字符表示下线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如=；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如=.平行向量(共线向量)、相等向

4、量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.注意常见结论的应用.如ABC中，点D是BC的中点，则=2.跟踪训练1已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n. 【导学号：64012146】解(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，ambnc，所以，解得平面向量数量积的运算(1)如图2­1所示，在平面四边形ABCD中，若AC3，BD2，则()·()_；

5、(2)在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则·的取值范围是_图2­1解析(1)由于，所以.()·()()·()|2|2945.(2)以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为xy20.设M(t,2t)，因为MN，所以N(t1,1t)(0t1)，所以·t(t1)(2t)(1t)2t22t222.因为0t1.所以·的取值范围为.答案(1)5(2)规律方法向量数量积的两种运算方法,(1)当已知向量的模和

6、夹角时，可利用定义法求解，即a·b|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.,运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.跟踪训练2已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1·b2_.解析 b1·b2(e12e2)·(3e14e2)3e2e1·e28e32×1×1×86.答案6向量的夹角及垂直问题探究问题1怎样求两个不共线向量的夹角？提示：对两

7、个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角2两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？提示：两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为0°，180°，而后者的取值范围为0°，90°这一点经常容易混淆，一定要注意3用数量积判断两向量夹角时应注意什么？提示：当0°时，有a·b>0，此时a与b共线且同向，即a·b>0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当180°时，有a·b<0，但a·b<0，不能说向量的

8、夹角一定为钝角已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 【导学号：64012147】思路探究(1)利用·0即可；(2)利用夹角公式cos 求解解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)·1×(3)1×30，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(x1，y4)，解得点C坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，·8816，设与的夹角为，则|cos |

9、.矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.母题探究将例3中的条件变为(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，试求：(1)若A、B、C能构成三角形，求m应满足的条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值解(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3,1)，(m1，m)，而与不平行，即3mm1，得m，实数m时满足条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，而(3,1)，(2m,1m)，3(2m)(1m)0，解得m.规律方法1求夹角问题：求向量a，b夹角的步骤：(1)求|a|，|b|，a·b；(2)求cos (夹角

10、公式)；(3)结合的范围0，确定的大小因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .2垂直问题：这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则aba·b0x1x2y1y20.3向量的模：(1)|a|2a2，|a|.(2)若a(x，y)，则a2x2y2，|a|.向量的长度与距离问题设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值. 【导学号：64012148】解法一：|3a2b|3，9a212a·b4b29.又|a|b|1，a·b.|3ab|2(3ab)29a26a·bb296×112.|3ab|2.法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab| 2.规律方法向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点.一般地