培养中学生数学思维能力的探究

1、培养中学生数学思维能力的探究数学思维具有间接性的特征，这种间接性是由于有知识经验的作用，而且是随着知识经验的丰富而不断发展的，因此，对学生的数学思维能力培养的研究必须与学生的数学知识结构和学生的认知结构结合起来，如辨证逻辑思维的发展，小学高年级有了初步的意识，到初一开始已经掌握辩证逻辑思维的各种形式，但还是雏形，水平较低，到初三处于迅速发展阶段，是个重要的转折时期。所以根据中学生的年龄特征和认识规律，由浅入深，由易到难，学生是可以接受的。 这一课题的研究分三年实施，初一重点进行阅读数学教材及表达能力的培养，初步训练逻辑思维能力；初二重点进行形象思维与思维敏捷性的训练，培养学生独立思考寻找解题规

2、律的能力，从而使数学思维迈进一步；初三重点培养学生的概括能力和数学思维品质，进行数学思维的全面训练，从小处着手，大处着眼，最终完成对学生数学思维能力的培养。（二）、中学生数学思维能力的培养1、概括能力的培养学习和运用数学知识的过程都是概括的过程，迁移的实质就是概括。没有概括，学生就不可能形成数学概念，因而也不能理解和掌握由数学概念所引申的定义、定理、公式、法则等知识，也不可能运用数学知识去解决各种问题；没有概括，学生的数学认知结构就无法形成；没有概括，学生的数学能力就难以形成，这是因为数学能力是以概括为基础的，数学能力最主要地表现在将现实中的问题概括成为数学问题，再概括出其中的数量关系，再概括

3、到某个数学模式上去，进而使问题获得解决的过程中。有经验的数学教师在课堂教学中都十分重视数学概括能力的培养。在概括能力培养的过程中，教师应设计教学情境，明确概括路线，引导学生猜想，发现。教师设计教学情境时，首先应当在分析新旧知识之间的本质联系与区别的基础上，紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的，安排猜想过程，促使学生发现内在规律；其次应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系，并确定同化模式，从而确定猜想的主要内容；再有应设计多种启发路线，在关键步骤上放手让学生猜想，使学生的思维真正经历概括过程。如：在讲点与圆的三种位置关系时，我不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上先画一个圆，然后

4、提问学生回答，这个圆把平面分成几个部分？有的学生说两部分，有的学生说三个部分，到底是几个部分呢？引导学生相互议论，最后通过学生的充分感知，得到正确的结论，再进一步揭示圆内部分，圆外部分也可以看成是一个集合（因为在讲圆的概念时，学生已经理解了，圆是到定点的距离等于定长的点的集合）让学生通过观察、比较，归纳概括出：圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。在此进一步提出问题：若设圆的半径为r，点A到圆心的距离为d,当点A与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点A和圆的位置关系有什么变化。学生通过思考得出：点A和圆的位置关系由圆

5、内变到圆上又变到圆外。在此，我启发同学：若点B也如同点A那样变化，则与圆的位置关系怎样呢？这个规律对任一点是否都一样呢？在一个一个的设疑解决之后提出：点与圆的位置关系，怎样描述呢？此时d与r之间又有怎样的关系呢？引发学生思考、概括。学生用语言概括之后，教师板书关系式：                  点在圆内    dr；      &

6、#160;           点在圆上    d=r；                  点在圆外    dr。这样把点和圆看成是运动变化得到的三种情况，便于学生理解、思考与概括，同时让学生掌握用运动的观点去对待一个静止问题的数学思维方法。从而使学生的思维得到训练与发

7、展。概括是思维的基础，学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程，也即概括是有层次的、逐步深入的。在这个过程中，随着概括水平的提高，学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中，教师应当根据学生思维发展水平，利用概念的逐级抽象过程，及时向学生提出高一级的概括任务，从而不断发展学生的概括能力。2数学思维品质的培养数学思维的五种品质反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中，应该有不同的培养手段，仅以思维深刻性、创造性为例浅谈。（1）       

8、      思维深刻性的培养  数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的深刻性为基础，又要培养学生的思维深刻性。运用新概念 思维的深刻性，在概念的学习与运用中主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确的掌握概念的内涵及使用的条件和范围；在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键。所以在学生深刻理解数学概念之后，立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题（或其它问题），在运用中巩固概念，使学生认识到数学概念，即是进一步学习数学理论的基础，又是进行再认识的工具，如此往复，

9、使学生的学习过程，成为实践认识再实践再认识的过程，达到培养思维深刻性的目的。当然应用的设计要由易到难，循序渐进，形成梯度，拾级而上，以促进学生思维的合理过渡。设置悬念于课尾课堂教学收尾时，提出一些富于启发、思考的问题，但不做答复，造成悬念，则具有评书味道“欲知后事如何，且听下回分解”的魅力，使学生感到余味无穷，从而激发他们继续深刻学习。如：一元二次方程解法的习题课结尾时，提出如下问题：今天我们所学的一元二次方程，或有两个不等的实数根或有两个相等的实数根或没有实数根，他们都是与b2-4ac的值有关，同学们不解方程能否判定一个一元二次方程的根的情况呢？请总结其规律。结尾一席话，激起学生施展才华的欲

10、望，急于想知道怎么判定，促使学生课下去探索、研究、总结，同时为下节课-根的判别式打下良好的心理基础。引导学生剖析问题的本质教育学生学会透过现象看本质，学会全面的思考问题，养成追根究底的习惯。数学中的许多问题，其表现形式各异，但内在本质往往一致，通过适当的数学变换，可以把它们归结为同一个问题，这就是“变式”。 “变式”教学不但可以使学生对数学知识的本质理解得更加透彻，而且还可以使学生的思维深刻性、批判性品质得到很好的培养。在解题教学中在解题教学中，引导学生认真审题，探索信息，发现隐含关系，引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，寻找最佳解法等。如：已知：矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，把

11、这矩形放入平面直角坐标系XOY中，使AB在X轴正半轴上，C，D落在第一象限，且点D在直线Y=-3X+5上，以AB为直径作圆M，抛物线Y=ax2+bx+c经过A、B两点，顶点为P，求点A、B、M的坐标；若点P在圆M外且在矩形ABCD内时，求a的取值范围；在中若OP与圆M相切，切点为Q，求此时抛物线的解析式.在分析中，需引导学生深入研究题设，深挖隐含条件，如在此题抛物线的顶点P在AB的垂直平分线上，题目条件中，并没有明确给出，就要引导学生去发现；又抛物线的解析式有一般式、顶点式及双根式，所以，根据题意正确选择抛物线的解析式，便会省力。此题还涉及到构造特殊的图形，用到数学的转化思想、数形结合思想。&

12、#160;    有目的地选择习题，以有利于培养学生的思维深刻性。当然思维深刻性的培养还有很多渠道，这里从略。  （2）思维创造性的培养新大纲中增加了重视创新意识和实践能力的培养一小节说明，在具体内容中增加探究性活动。课文中增加了探究课，探究性习题。教学实践表明，解答这类问题只运用逻辑思维难以完成，需要把逻辑思维、形象思维和直觉思维综合起来发挥作用，产生创新性思维。创新思维能力是在点点滴滴积累中形成的，这就要求教师在每个教学环节中有意识地创设情境去培养。在计算公式的推导中、在想一想，猜一猜中、在应用性问题的探究中，落实创新思维能力的培养。如：在学完解直角

13、三角形后，我在习题课上提出一题，已知，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100KM，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东60度的方向上，又在C城市的南偏东30度的方向上，已知森林保护区A的范围，是以A为圆心，半径为50KM的圆。问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？此题是一个涉及环保的应用问题，综合考查学生的数学基础知识，对学生灵活运用知识有较高的要求；通过解决这个问题，还可以充分发挥学生的主动性和创造性。果不出我所料，学生兴致倍增。10分钟后出答案“会”。 创造性思维的培养，首先应当使学生融会贯通的学习知识，在解题中则应当要求学生独立起步，养成独立思考的习惯，在独立思