肝手术病人的数学模型

1、肝手术病人的数学模型（31队：1 刘莉敏 2 孙 倩 3 孙永跃）1. 女 数学与应用数学2. 女 数学与应用数学3. 男 物理学肝手术病人的数学模型摘 要 本文讨论的是肝手术病人的生存时间的预报模型。通过对已知数据的分析，建立了以凝血值、预后指数、酵素化验值、肝功化验值为自变量和以病人的生存时间为因变量的多元线性统计回归模型，运用软件进行多元线性回归拟合进行残差检验和置信区间的分析，从而确定各个因变量之间的交互作用，引入凝血值和肝功化验值的交互项完善基本模型，对模型的误差正态性假定的合理性进行验证，关键词一、 问题重述肝手术病人的生存时间是评价手术效果的重要指标.某类型肝手术病人的生存时间可

2、能与下列四种指标有关：凝血脂；预后指数（与年龄有关）；酵素化验值；肝功化验值.某医院为预报该类型肝手术病人的生存时间，选取了若干需要做此类手术的病人为研究对象，对每位病人手术前考察了这四个指标，并且手术后跟踪观测了病人的生存时间.问题给出了54位该类型肝手术病人的相关数据（见表一）.为进一步确认 中建立的模型，又给出了另外54位该类型病人的相关数据（见表二）. 现需分析影响病人生存时间的各种因素，参考相关数据，建立肝手术病人生存时间的数学模型，并对模型的合理性、稳定性、误差的正态性等相关特性进行分析、评述；指出模型中的优点和不足.二、 问题分析通过建立数学模型，了解凝血脂、预后指数、酵素化验值

3、、肝功化验值这四个指标对某类型肝手术病人生存时间的影响，以对做过该类型肝手术病人生存时间进行预报.问题一，首先建立了病人生存时间与四个指标的线性回归模型.为了考察自变量之间交互的影响，判断有无必要将交叉乘积项引入到模型中，将各个交叉项分别引入到线性模型中后，再对回归方程的决定系数()和回归系数的置信区间（）进行分析，从而得出是否有必要加入此交叉项.问题二，通过问题一的分析得到是否有必要加入交叉项，同时得到数学模型.通过对模型相关参数（例如：回归方程的决定系数、统计量值、与统计量值对应的概率值）的分析，说明模型的合理性.问题三：对剔除肝功化验值前后的模型分别进行残差图分析，比较两残差图，分析剔除

4、后模型是否更合理，从而评估是否应该剔除肝功化验值.问题四，运用数学软件模拟出误差的概率分布图，与正态分布图进行比较，从而说明误差正态性假设的合理性.问题五，运用检验法则规对随机误差进行自相关检验（检验），观察的自相关性，从而验证模型的合理性.问题六，将表2中的数据代入原模型进行拟合，得到新模型，比较两个模型，从而确定原模型的稳定性.问题七，运用原模型，依据表2的数据进行预测，将预测值与实际测量值进行误差分析，从而评估原模型的预报能力.问题八，通过对模型其他评价标准进行验证，评述模型的精细和确认性，引入结果分析.三、模型假设1假设题中表1、表2相关数据真实可靠.2假设病人的生存时间只受凝血值、预

5、后指数、酵素化验值、肝功化验值四项指标影响.3考虑自变量之间的交互作用是时，只简单地用它们的乘积代表它们的交互作用.四、符号表示：病人的编号，=1,2， ，54 ；：做过肝手术病人的生存时间的对数变换值；：凝血值；：预后指数；：酵素化验值；：肝功化验值；：生存时间的对数变换值；：常数；：凝血值的系数；：预后指数的系数；：酵素化指数的系数；：肝功化验值的系数；：肝功化验值与凝血值交互项的系数；：交叉项的系数；：交叉项的系数；：交叉项的系数；：随机误差.五、模型建立和求解 基本模型为了大致的分析与、的关系，首先利用表1的数据分别作出对、的散点图. 图1 对的散点图 图2 对的散点图 图3 对的散点

6、图 图4 对的散点图 从图1可以发现，随着的增加，的值有着比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 （1）拟合的。而在图2中，当的增加，的值有着比较明显的线性增长趋势，图中的直线实用线性模型 （2）拟合的。同理在图3中，得到的线性模型 （3）拟合的。同理在图4中，得到的线性模型 （4）拟合的。综合上面的分析，结合模型（1）、模型（2）、模型（3）、模型（4）建立如下的线性回归模型 （5）模型求解 直接利用统计工具箱中的命令求解参数参数估计值参数置信区间0.48470.3823 0.58700.06910.0580 0.08020.00930.0084 0.01020.00950.0087

7、 0.01030.0004-0.0193 0.0200 = 0.9723 430.7063 0.0022表3 模型（5）的计算结果故可知，此模型为：表3中的为回归方程的决定系数（为相关系数），为统计量值，为统计量值对应的概率值.结果分析 表3显示，= 0.9723指因变量的97.23%可由模型确定，值超过检验的临界值，小于（置信水平），因而模型（5）从整体来看是可用的.表3的回归系数给出了模型（5）中、的估计值，即=0.4847，=0.0691，=0.0093，0.0095，0.0004.检查它们的置信区间发现，只有的置信区间包含零点，表明回归变量对因变量的影响是不太显著的，说明基本模型（5）

8、存在缺点.为寻求改进的方向，常用残差分析法（残差指实际值与用模型估计的之差，是模型（5）中随机误差的估计值）.图5 分别对、的残差分析图更好的模型 在模型（5）中，凝血值、预后指数、酵素化验值和肝功化验值分别起作用，而且肝功化验值的置信区间包含零点，通过残差分析可知，可以知道肝功化验值对生存时间的对数变换值影响不大，为了简单起见，忽略对的影响，建立新的回归模型： （6）利用的统计工具箱得到的结果如表4.参数参数估计值置信区间0.48360.3980 0.56930.06920.0610 0.07740.00930.0085 0.01010.00950.0089 0.0102= 0.9723 5

9、85.9779 0.0022表4 模型（6）的计算结果可知此模型为：5.1 交叉项的问题从图5 可知，、的残插图无法直观的得到因变量之间的交叉项组合，因此我们按照任意两个不同的自变量组合，由此得到以下结论：引入交叉项为 （7）参数参数估计值置信区间0.36330.1314 0.59530.09000.0518 0.12820.01090.0079 0.01400.00960.0090 0.0102-0.0003-0.0008 0.0002= 0.9730 442.0597 0.0022 表5 （7）式的计算结果 从表5中可以看出，较表4，虽然提高了，但是值降低了，并且交叉项的置信区间包含了零点

10、，则可知交叉项对的影响可以忽略，因此排除交叉项。引入交叉项为 （8）参数参数估计值置信区间0.39310.1820 0.60420.08350.0520 0.11490.00940.0086 0.01010.01060.0082 0.0130-0.0002-0.0006 0.0002= 0.9728 438.7412 0.0022 表6 （8）式的计算结果从表6中可以看出，较表4，虽然提高了，但是值降低了，并且交叉项的置信区间包含了零点，则可知交叉项对的影响可以忽略，因此排除交叉项。引入交叉项为 （9）参数参数估计值置信区间0.37580.1946 0.55700.06990.0617 0.0

11、7810.01090.0084 0.01350.01070.0088 0.0126-0.00001-0.00004 0.000009= 0.9733 447.2815 0.0022 表7 （9）式的计算结果从表7中可以看出，较表4，虽然提高了，但是值降低了，并且交叉项的置信区间包含了零点，则可知交叉项对的影响可以忽略，因此排除交叉项。综上所述，可以看出，引入交叉项是没有必要的.5.2 模型的合理性 由表4可知，模型（6）的= 0.9723和 585.9779值都比模型（5）有所改进，接近1，值超过检验的临界值，小于，并且所有的回归系数的置信区间都不含零点，表明模型（6）引入交互项是完全可用的，

12、并且比模型（5）有了较好的改进.5.3肝功化验值的合理性剔除肝功化验值后，模型（5）即会简化为（6）式: 5.2中已经论证了模型的合理性，因此在此处剔除肝功化验值是合理的.5.4误差正态性假定的合理性 图7 误差正态分布图形 利用函数和可画出误差的正态分布图，可以看出图形的分布大致符合正态分布，因此可以看出误差正态性的假设是合理的。5.5对其他有用数据的分析为了对随机误差的自相关性作定量的诊断，并在诊断后验证模型的合理性，我们考虑用检验，通过运算得到，易知在2附近，从而得自相关性很弱（或不存在自相关）.模型的建立是合理的.5.6 所选模型的稳定性分析由5.2得到的最终模型为: (6)通过的统计

13、工具箱拟合表2数据，得到的结果如表 ：参数参数估计值置信区间0.50080.4166 ,0.58500.06740.0574,0.07740.01010.009, 0.0100.00970.009, 0.0103= 0.9777 730.1641 0.0021表8 模型（6）的计算结果故可知，此模型为： （10）由表8可知，= 0.9777，指因变量的97.77%可由模型确定，值超过检验的临界值，小于，因而模型（10）从整体来看是可用的.由5.2得原数据拟合的模型为： (6)比较两模型相对应的系数可得：模型（6）参数估计值模型（10）参数估计值百分误差0.4836460040.50082320

14、73.55%0.0692228430.067415782.61%0.0092944050.0101069198.74%0.0095235660.0097398062.27%平均误差：4.29% 表 9 表1、表2数据拟合模型的系数比较经分析计算，用表1、表2分别拟合的模型系数平均误差为4.29%，误差较小，说明题中所建模型的稳定性较好。5.7评述所选模型的预报能力由5.2可得到所选模型： (6)为了描述该模型的预报能力，运用数学软件，结合表2数据求得，（见附录），然后将与实际值作比较.得到与得平均百分误差为3.29%.可见与拟合的比较好，96.71%的数据能够被预报，模型的预报能力较强。5.8

15、对模型作出其他必要的精细和确认性分析 模型（10）的标准偏差，其中为自变量的个数，为样本数.运用可算出，说明模型预测的数值与实际值较符合.模型（10）的复相关系数，运用算出，查表可知，说明因变量与自变量、间的线性关系是显著的.故综合模型的标准偏差和复相关系数，可以知道模型的建立和模型的结果都是合理而精确地，模型是合理的.六、结果分析 建立模型时，通过对数据的分析，对模型进行多元线性回归拟合，从残差分析中可以得知模型求解出的可以确定实际的值的97.33%和97.77%，这说明模型的预测能力是较高的，预测结果也是较准确的，模型是可靠的.1. 建立模型（6）时，回归方程的决定系数为0.9733,并且

16、各个参数的置信区间都不包含零点，值远远超过其临界值，说明模型是完全可用的.2. 将表2中的数据带入到模型（6）中，新旧模型的相对误差为3.29%，肯定了原模型的稳定性和预报能力，证实了模型是可用的.七、模型评价改进与推广 本文引用了多元线性回归模型，其优点是：(1)模型原理简单，分析过程便于用计算机作数值计算和画图操作，结论可以直观的得出.(2)模型建立过程由复杂到简单，由粗略到精确，层层推进，逐步完善.(3)通过对问题的回答，可以看出模型具有良好的稳定性和预测性，可应用实际的预测.(4)模型的求解直接运用数学软件，得到的结果更加具有科学性.模型的缺点是：所给的表1和表2采集数据基本在一个比较

17、稳定在范围内，特殊数据比较少，在数据处理方面难免存在一些偏差.但实际生活中当凝血值过高时，反而阻碍了血液的流动，影响病人的生存时间，本文中的模型仅是通过对表1和表2进行拟合，自动的忽略了实际生活中的一些情况，无法完美的反映肝手术病人的实际情况.但所得的模型还是有很大的参考价值.另外，因本模型考虑的交互项仅是两个相异项之间的乘积组合，可以补充多个项之间的组合（加减乘除），通过非线性拟合得出模型，进行更准确的预测.参考文献1姜启源，数学建模（第三版）M，北京：高等教育出版社，19932 数学建模（本科册）M，武汉：华中科技大学出版社，20063张笑天，MATLABM，西安：西安电子科技大学出版社，

18、2008附 录：附一:Y与x1、x2、x3、x4的散点图 X=6.762812.59；5.159661.7；7.457832.16；6.573412.01；7.8651154.3；5.838721.42；5.746631.91；3.768812.57；667932.5；3.776942.4；6.384834.13；6.751431.86；5.8961143.95；5.883883.95；7.762673.4；7.474682.4；685282.98；3.751411.55；7.368743.56；5.657873.02；5.252762.85；3.483531.12；6.726682.1；5.

19、867863.4；6.3591002.95；5.861733.5；5.252862.45；11.276905.95；5.254562.71；5.876592.58；3.264650.74；8.745232.52；559733.5；5.872933.3；5.458702.64；5.351992.6；2.674862.05；4.381192.85；4.861762.45；5.452881.81；5.249721.84；3.628991.3；8.886886.4；6.556772.85；3.477931.84；6.540843；4.5731063.05；4.8861014.1；5.167772.86

20、；3.9821034.55；6.677461.95；6.485401.21；6.459852.33；8.878723.2;x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);Y=2.301;2.0043;2.3096;2.0043;2.7067;1.9031;1.9031;2.1038;2.3054;2.3075;2.5172;1.8129;2.9191;2.5185;2.2253;2.3365;1.9395;1.5315;2.3324;2.2355;2.0374;2.1335;1.8451;2.3424;2.4409;2.1584;2.2577;2.7589;1.

21、8573;2.2504;1.8513;1.7634;2.0645;2.4698;2.0607;2.2648;2.0719;2.0792;2.179;2.1703;1.9777;1.8751;2.6839;2.1847;2.281;2.0899;2.4928;2.5999;2.1987;2.4914;2.0934;2.0969;2.2967;2.4955; plot(x1,Y,o) plot(x2,Y,o) plot(x3,Y,o) plot(x4,Y,o)附录二 模型五的程序 X=6.762812.59；5.159661.7；7.457832.16；6.573412.01；7.8651154.

22、3；5.838721.42；5.746631.91；3.768812.57；667932.5；3.776942.4；6.384834.13；6.751431.86；5.8961143.95；5.883883.95；7.762673.4；7.474682.4；685282.98；3.751411.55；7.368743.56；5.657873.02；5.252762.85；3.483531.12；6.726682.1；5.867863.4；6.3591002.95；5.861733.5；5.252862.45；11.276905.95；5.254562.71；5.876592.58；3.2646

23、50.74；8.745232.52；559733.5；5.872933.3；5.458702.64；5.351992.6；2.674862.05；4.381192.85；4.861762.45；5.452881.81；5.249721.84；3.628991.3；8.886886.4；6.556772.85；3.477931.84；6.540843；4.5731063.05；4.8861014.1；5.167772.86；3.9821034.55；6.677461.95；6.485401.21；6.459852.33；8.878723.2;x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,

24、3);x4=X(:,4);Y=2.301;2.0043;2.3096;2.0043;2.7067;1.9031;1.9031;2.1038;2.3054;2.3075;2.5172;1.8129;2.9191;2.5185;2.2253;2.3365;1.9395;1.5315;2.3324;2.2355;2.0374;2.1335;1.8451;2.3424;2.4409;2.1584;2.2577;2.7589;1.8573;2.2504;1.8513;1.7634;2.0645;2.4698;2.0607;2.2648;2.0719;2.0792;2.179;2.1703;1.9777;

25、1.8751;2.6839;2.1847;2.281;2.0899;2.4928;2.5999;2.1987;2.4914;2.0934;2.0969;2.2967;2.4955; A=ones(size(x1) X; b,bint,r,rint,stats=regress(Y,A)附录三、分别对、的残差分析图,的程序（上接附录二）subplot(2,2,1);plot(x1,r,o)subplot(2,2,2);plot(x2,r,o)subplot(2,2,3);plot(x3,r,o)subplot(2,2,4);plot(x4,r,o)附录四：模型（7）、（8）、（9）的求解程序X=6

26、.7 62 81;5.1 59 66;7.4 57 83;6.5 73 41;7.8 65 115;5.8 38 72;5.7 46 63;3.7 68 81;6 67 93;3.7 76 94;6.3 84 83;6.7 51 43;5.8 96 114;5.8 83 88;7.7 62 67;7.4 74 68;6 85 28;3.7 51 41;7.3 68 74;5.6 57 87;5.2 52 76;3.4 83 53;6.7 26 68;5.8 67 86;6.3 59 100;5.8 61 73;5.2 52 86;11.2 76 90;5.2 54 56;5.8 76 59;3.2 64 65;8.7 45 23;5 59 73;5.8 72 93;5.4 58 70;5.3 51 99;2.6 74 8