青纯教育2014年中考数学专题复习第22讲梯形含详细答案

1、第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类和面积： 1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 ，不平行的两边叫做 ，两底间的距离叫做梯形的 。直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形特殊梯形2、分类：梯形3、梯形的面积：S梯形= （上底+下底）高 【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要证明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或平行的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定： 1、性质：等腰梯形的两腰相等， 相等等腰梯形的对角线 等腰梯形是 对称图形 2、判定： 用定义：先证明四边形是梯形，再证明其

2、两腰相等 同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 对角线 的梯形是等腰梯形【名师提醒：1、梯形的性质和判定中“同一底上的两个角相等”不能说成“两底角相等” 2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形 3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形或 形常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】 考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2013广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分线，且ABAC，AB=4，AD=6，则tanB=（）A2 B2 C D思路分析：先判断DA=DC，过点D作DEAB，交AC于点F，交BC于点E

3、，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在RtADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算解：CA是BCD的平分线，DCA=ACB，又ADBC，ACB=CAD，DAC=DCA，DA=DC，如图，过点D作DEAB，交AC于点F，交BC于点E，ABAC，DEAC（等腰三角形三线合一的性质），点F是AC中点，AF=CF，EF是CAB的中位线，EF=AB=2，=1，EF=DF=2，在RtADF中，AF=，则AC=2AF=8，tanB=故选B点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线

4、，判断点F是AC中点，难度较大对应训练1（2013宁波）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，连结BD，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则AD的长为（）A B C D21B考点二：等腰梯形的性质例2 （2013柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，连结AC、BD在平面内将DBC沿BC翻折得到EBC （1）四边形ABEC一定是什么四边形？（2）证明你在（1）中所得出的结论思路分析：（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形；（2）由四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，可得AB=DC，AC=BD，又由在平面内将DBC沿BC翻折得到EBC，可得EC

5、=DC，DB=BE，继而可得：EC=AB，BE=AC，则可证得四边形ABEC是平行四边形解答：（1）解：四边形ABEC一定是平行四边形；（2）证明：四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，AB=DC，AC=BD，由折叠的性质可得：EC=DC，DB=BE，EC=AB，BE=AC，四边形ABEC是平行四边形点评：此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用对应训练2（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF求证：GAB是等腰三角形2证明：在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，D=C，DAB=CB

6、A，在ADE和BCF中，ADEBCF（SAS），DAE=CBF，GAB=GBA，GA=GB，即GAB为等腰三角形考点三：等腰梯形的判定例3 （2013钦州）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形思路分析：由ABDE，DEC=C，易证得B=C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论证明：ABDE，DEC=B，DEC=C，B=C，梯形ABCD是等腰梯形点评：此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用对应训练3（2013上海）在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC和BD交

7、于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）ABDC=BCDBABC=DABCADB=DACDAOB=BOC3C考点四：梯形的综合应用例4 34（2013扬州）如图1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PEPA交CD所在直线于E设BP=x，CE=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；（3）如图2，若m=4，将PEC沿PE翻折至PEG位置，BAG=90，求BP长思路分析：（1）证明ABPPCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；

8、（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度解答中提供了三种解法，可认真体会解：（1）APB+CPE=90，CEP+CPE=90，APB=CEP，又B=C=90，ABPPCE，即，y=-x2+x（2）y=-x2+x=-（x-）2+，当x=时，y取得最大值，最大值为点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，1，解得m2m的取值范围为：0m2（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，GPE=CPE，又GPE+APG=90，CPE+APB=90，APG=APBBAG=90

9、，AGBC，GAP=APB，GAP=APG，AG=PG=PC解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，在RtGHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2，即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0由（1）可知，y=-x2+x，这里m=4，y=-x2+2x，代入式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的长为或2解法二：如解答图所示，连接GCAGPC，AG=PC，四边形APCG为平行四边形，AP=CG易证ABPGNC，CN=BP=x过点G作GNPC于点N，则GH=2，PN=

10、PC-CN=4-2x在RtGPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的长为或2解法三：过点A作AKPG于点K，APB=APG，AK=AB易证APBAPK，PK=BP=x，GK=PG-PK=4-2x在RtAGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，BP的长为或2点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度注

11、意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法对应训练4（2013青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动；设运动的时间为t（s）（0t2.5）问：（1）当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长？（2）若BFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与BFE的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由（4）

12、在点E、F运动的过程中，若线段EF=cm，此时EF能否垂直平分AB？4解：（1）EF平分等腰梯形ABCD的周长，BE+BF=（AD+BC+CD+AB）=12，10-t+2t=12，t=2；答：当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长；（2）如图，过A作ANBC于N，过F作FGBC于G，则BN=（BC-AD）=（10-4）=3（cm），ANBC，FGBC，FGAN，ABNFGB，FG=t，SBEF=BEFG=（10-t）t，S=-t2+8t；（3）假设存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与BFE的面积之比是3：2，S五边形AFECD=S梯形ABCD-SBFE=（4+10）4-（-t2+8

13、t）=28+t2-8t，即2（28+t2-8t）=3（-t2+8t），解得：t=5+（大于2.5，舍去），t=5-；即存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与BFE的面积之比是3：2，t的值是（5-）s；（4）假设存在EF垂直平分AB，则ABNBEF，EF=，即线段EF=cm，此时EF不能垂直平分AB【聚焦山东中考】1（2013烟台）如图，四边形ABCD是等腰梯形，ABC=60，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，则BD= 12（2013临沂）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DEBC，BDDC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= 23（2013滨州

14、模拟）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论3解：结论为：EFADBC，EF=（AD+BC）理由如下：连接AF并延长交BC于点GADBC，DAF=G，在ADF和GCF中，ADFGCF（AAS），AF=FG，AD=CG又AE=EB，EFBG，EF=BG，即EFADBC，EF=（AD+BC）【备考真题过关

15、】一、选择题1（2013绵阳）下列说法正确的是（）A对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形D对角线相等且互相平分的四边形是矩形1D2（2013十堰）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，则下底BC的长为（）A8B9C10D112A二、填空题3（2013扬州）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD，BC=12，ABC=60，则梯形ABCD的周长为 303304（2013盘锦）如图，等腰梯形ABCD，ADBC，BD平分ABC，A=120若梯形的周长为10，则AD的长为 2425（2013六盘水

16、）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于 195196（2013长沙）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=50，C=80，AECD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是 3637（2013曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，C=45，AD=1，BC=4，则CD= 78（2013南京）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC与BD相交于P已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为 8（ 33， ）三、解答题9（2013玉林）如图，在直角梯形ABCD

17、中，ADBC，ADDC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点（1）求证：四边形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD= ，求矩形EMCN的长和宽9（1）证明：点A、F关于BD对称，AD=DF，DEAF，又ADDC，ADF、DEF是等腰直角三角形，DAF=EDF=45，ADBC，G=GAD=45，BGE是等腰直角三角形，M，N分别是BG，DF的中点，EMBC，ENCD，又ADBC，ADDC，BCCD，四边形EMCN是矩形；（2）解：由（1）可知，EDF=45，BCCD，BCD是等腰直角三角形

18、，BC=CD，S梯形ABCD=（AD+BC）CD=（2+CD）CD=，即CD2+2CD-15=0，解得CD=3，CD=-5（舍去），ADF、DEF是等腰直角三角形，DF=AD=2，N是DF的中点，EN=DN=DF=2=1，CN=CD-DN=3-1=2，矩形EMCN的长和宽分别为2，110（2013深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE（1）求证：BD=DE（2）若ACBD，AD=3，SABCD=16，求AB的长10（1）证明：ADBC，CE=AD，四边形ACED是平行四边形，AC=DE，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，AB=DC，AC=BD，BD=DE（2）解：过点D作DFBC于点F，四边形ACED是平行四边形，CE=AD=3，ACDE，ACBD，BDDE，BD=DE，SBDE=BDDE=BD2=BEDF=（BC+CE）DF=（BC+AD）DF=S梯形ABCD=16，BD=4，BE=BD=8，DF=