二元一次方程组的实际应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上教学内容课题：二元一次方程组及一元一次方程的实际应用教学目标1、学会列关于行程问题的一元一次方程；2、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；3、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组；4、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值重 点掌握列关于行程问题的一元一次方程的方法；会用二元一次方程组解决实际问题。难 点会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组【基础知识回顾】1、行程问题基本量的关系：路程速度×时间2、直线追击问题的等量关系：（1）同地不同时：慢者行驶的

2、路程先行的路程快者行驶的路程（2）同时不同地：快者行驶的路程慢者行驶的路程间隔的距离3、直线相遇问题的等量关系：甲行驶的路程乙行驶的路程全程。4、环形问题等量关系：（1）环形追击：快者所行路程慢者所行路程环形周长（2）环形相遇：甲行驶的路程乙行驶的路程环形周长5、航船问题：顺水速度静水速度水流速度逆水速度静水速度水流速度【例题讲解及思维拓展训练】例题1、甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度是60千米/小时。乙车速度是40千米/小时。若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？【思维拓展训练一】1、某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地，实际上他乘小货车行了三分之

3、一路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达。已知小货车的车速是36千米/小时，求两地间的路程。例题2、甲步行由上午7时从A地出发，于下午6时到达B地；乙骑自行车由上午11时从A地出发，于下午4时到达B地。问乙在什么时间追上甲？【思维拓展训练二】1、全校师生去体育场参加运动会。步行的同学以5千米/时的速度出发18分钟后，骑自行车的同学才以14千米/时的速度按原路追赶。骑自行车的同学需要多少时间可以追上步行的同学？例题3、甲、乙两人分别从相距50米的A、B两处同时外出散步，相向而行，甲每秒行3米，乙每秒行2米。甲带一只狗和他同时出发，假如狗以每秒10米的速度向乙奔去，遇到乙即回头向甲

4、奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住。问这只狗共跑了多少米？【思维拓展训练三】1、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向出发，已知甲的速度比乙快3千米/时，两人从上午8时出发，到上午10时相距15千米，到中午12时两人又相距15千米。求A、B两地间的距离。例题4、一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中的速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28小时，求甲、乙两码头之间的距离。【思维拓展训练四】1、一轮船往返A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时。求轮船在静水中的速度及A、B两港之间的航程。例题5、甲、乙两人在8千米的环城公

5、路上跑步，甲每分钟跑220米，乙每分钟跑180米。（1）若两人同时同地反向而跑，经过多少时间首次相遇？（2）若两人同时同地同向而跑，经过多少时间首次相遇？（3）若甲先跑10分钟，乙再从同地反向出发，还要多少时间两人首次相遇？（4）若甲先跑10分钟，乙再从同地同向出发，还要经过多少时间两人首次相遇？【思维拓展训练五】1、甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑道一圈长400米，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑8米。如果甲、乙两人在跑道上相距8米，同时反向出发，那么经过几秒两人首次相遇？实际问题与二元一次方程组（1）要点突破一、列二元一次方程组解决实际应用问题一般步骤（1）审清题目的数量关系，用字母表示未

6、知量；（2）找出能够表示题目全部含义中的两个等量关系；（3）根据等量关系列出方程组；（4）解这个方程组，求出未知数的值；（5）写出答案和答。注意：解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。“设”“答”两步，都要写清单位名称。一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。典例剖析：例1：(2007年黄冈市)某城区中学5月份开展了与农村偏远学校“手拉手”的活动.九（3）班苗苗同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆株笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元.你知道苗

7、苗同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗？思路探索：本题有两个未知数圆珠笔的支数和钢笔的支数，有两个相等关系“圆株笔和钢笔共8支”“共用去了20元钱”，因此我们考虑列二元一次方程组解这个问题。解析：设圆珠笔共买了x支，钢笔共买了y支。 根据题意得：，解得：答：圆珠笔共买了5支，钢笔共买了3支。规律总结：当我们遇到两个量之间出现两种等量关系时，可以考虑列二元方程组解题。虽然本题也可列一元一次方程，而且解起来也方便多了，当相比较而言，列二元一次方程组比列一元一次方程更直接.从算术方法到方程，这次用列方程组代替列方程，这些都是用计算来代替思考，从而减轻思考的难度。 课时达优：1、一个两位数，个位上的数比十位

8、上的数的2倍多1，将十位数字与个位数字调换位置，则比原两位数的2倍还多2，则原两位数是_2、一艘轮船顺流航行时，每小时行32千米，逆流航行时，每小时行28千米，则轮船在静水中的速度是每小时行_千米。3、（2007年辽宁十二市）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为65；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）A、 B、 C、 D、实际问题与二元一次方程组（2）要点突破一、列方程（组）解应用题的注意事项列方程（组）解应用题的步骤可简记为审、设、列、

9、解、检、答，其中审题是前提，列方程组是关键，二列方程组的关键是找出相等关系。设元的方式有两种：一是直接设元，问什么，设什么。另一种是间接设元，所“设”不是所“求”，而是一个中间元，通过中间元，得到所求的未知量。检验应带着两个目的，一是检验所求的未知数是否满足所列方程组，二是检验在未知数的值满足方程组的前提下，考虑未知数的值是否满足生活实际。特别需要注意的是：设未知数时，未知量的单位必须明确写出；列方程组时，务必使等式两边的代数式所表达的意义相同，单位一致，但方程中不出现单位。典例剖析：规律总结：题目出现多个变量的应用题，我们要仔细阅读题目，利用题目中的相等关系转化未知量，从而减少设元，减轻计算

10、量。例：用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽。思路探索：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出一个关于x、y的二元一次方程组。解析：设每块地砖的长为xcm与宽为ycm。根据题意得：，解得：答：每块地砖长为36cm，宽为24cm。规律总结：有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系。课时达优：1、（2007年绵阳市）学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，总计用了112元已

11、知每张甲票比乙票贵2元，则甲票、乙票的票价分别是A、甲票10元张，乙票8元张 B、甲票8元张，乙票10元张C、甲票12元张，乙票10元张 D、甲票10元张，乙票12元张2、一农户有鸡、羊若干只，共计有头40个，脚136只，该农户养鸡、羊各多少只？3、甲、乙两地相距140千米，一艘货轮在其间航行，已知顺流时用了7小时，逆流时用了10小时，求这艘货轮在静水中的速度和水流的速度各是多少？ 实际问题与二元一次方程组（3）要点突破一、列二元一次方程组解决实际问题的常用方法；（1）多变量的问题常用列表的方式解决，因为利用表格可清楚地反映数量之间的变量关系，从而容易看出多变量之间的联系，从而达到少设未知数，

12、减少计算量的目的。解决应用题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂。我们应该根据具体的题目选择设的未知数的个数。（2）借助“线段图”分析复杂的行程问题，列二元一次方程组解行程问题常见类型有两种，一是速度已知，这种类型知，时间和路程以相等关系的形式给出，我们可以根据时间关系或路程关系来列出二元一次方程组；二是时间已知，路程和速度以相等关系的形式给出，这时我们可以根据路程和速度列出二元一次方程组。不可能路程已知，如果已知路程，那么列出的方程必是分式方程。（3）形积变化问题，常常利用变化前后图形的面积和体积不变来列出方程。典例剖析：例1：政

13、府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年4月份起对自来水价格进行调整 调整后生活用水价格的部分信息如下表： 用水量（m3）单价（元/m3） 5m3以内（包括5m3）的部分 2 5m3以上的部分 x 已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍请你通过上述信息，求出表中的x.思路探索：本题的两个相等关系分别为小晶家水费19元和小磊家水费31元。解析：设小晶家5月份用水y m3，则小磊家5月份用水1.5y m3。可列方程组，解得 ，即答：表中的x的值为3。规律总结：根据本题中的相等关系虽然列出的是二元二次方程组，但我们可以把这个方程组看作

14、是关于xy和y的二元一次方程组，然后求解。例2：某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由思路探索：（1）本题有两个未知数“1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐”，两个相等关系“同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐”“同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐”（2）计算出“5个大餐厅和2个小餐厅”能够提供的吃饭的人数，然后跟5

15、300相比较。解析：（1）设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得 解这个方程组，得答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐（2）因为960×5360×255205300，所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐 规律总结：题中出现多个相等关系的题目就要考虑使用二元一次方程组，尽管题目的问题可能问的不是直接求未知数的值。 探究：教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨&#

16、183;千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？设问1.如何设未知数？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此设产品重x吨，原料重y吨设问2.如何确定题中数量关系？列表分析产品x吨原料y吨合计路运费（元）路运费（元）价值（元）由上表可列方程组解这个方程组，得毛利润=销售款原料费运输费因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_元课时达优：1. 如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，BAD比BAE大48°.

17、设BAE和BAD的度数分别为x,y，那么x,y所适合的一个方程组是 （ ）A. B. C. D.2. 植树节这一天，某小学生去植树，如果每人植树6课，只能完成原计划植树棵数的；如果每人植树的效率提高50，那么可比原计划多植树40课。求参加植树的人数及原计划植树的棵数.课后作业：8.3实际问题与二元一次方程组自测题夯实基础1、列方程组解应用，一般有以下几个步骤：列方程组；解方程组；审题；检验作答；设未知数，其基本顺序是 （ ） A、 B、 C、 D、2、小明去郊游，早上9时下车，先走平路，然后登山，到山顶又沿原路返回到下车处，此时正好是下午2时，若他走平路时每小时走4千米，爬山时每小时走3千米，下山时每小时走6千米，则小明从上午到下午一共走了_千米 .3、一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则x、y的值为 （ ）A、 B、 C、 D、4、某工厂在预定期限内生产一批零件，如果按每天生产20个，则到期还差100个未完成；如果按每天生产25个，结果到期可多生产50个.计划生产零件的个数和预定期限各是多少天？ 5、甲、乙两人练