任意项级数敛散性的判别（课堂PPT）

1、.1第三节第三节.2例例如如, , 1211)1(nnn绝绝对对收收敛敛, , 而而 111)1(nnn条件收敛条件收敛. . 定定义义 若若 1|nnu收收敛敛, ,则则称称 1nnu绝绝对对收收敛敛； 若若 1nnu收收敛敛, ,但但 1|nnu发发散散, ,则则称称 1nnu条条件件收收敛敛. . 定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数. .3若若 1|nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. . 证明证明令令 )| (21nnnuuv 即即 1nnv为为 1nnu的所有非负项组成的级数的所有非负项组成的级数, , 显然显然 |n

2、nuv , , 1nnv收收敛敛, , 而而 |2nnnuvu , , 由由 1|nnu的的收收敛敛性性可可知知, , 1nnu收收敛敛. . ， 0 , 00 ,nnnuuu, 2 , 1 n定理：定理：由正项级数的比较判别法可知由正项级数的比较判别法可知, , .4以以上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数( (1 1) ) 定定理理不不可可逆逆, , 如如 111) 1(nnn收收敛敛, , 但但 11nn发散发散; ; ( (2 2) ) 若若 1|nnu发发散散, , 不不能能推推出出 1nnu发发散散, , 但如果是用但如果是用比值判别法比值判别法或或根值

3、判别法根值判别法判定判定 1|nnu发散发散, , 则则立立刻刻可可以以断断定定 1nnu发发散散， 从从而而 nu也也不不趋趋向向于于零零. . 说明说明: :一一般般项项 |nu不不趋趋向向于于零零, , 这是因为它们的依据是这是因为它们的依据是 如上例；如上例； .5因因为为221sinnnn , , 而而 121nn收敛收敛, , 例例1 1例例2 2 12sinnnn 的绝对收敛、条件收敛或发散性的绝对收敛、条件收敛或发散性. . 判定判定解解故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛. . 12)11(31)1(nnnnn判定判定是绝对收敛、条件是绝对收敛、条件收敛还是发散收敛还是发散. .

4、 解解nnnnu)11(31 e31 n，1 绝对收敛绝对收敛. . .6定义定义：正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .nnnu 11)1(定理定理( (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法) ) 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件)0( nu其中其中（1 1）1 nnuu, ,即即nu单单调调减减少少； （2 2）0lim nnu, , 则则交交错错级级数数 11)1(nnnu收收敛敛, , 且且其其和和1uS . . 称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 .7由由条条件件( (1 1) )可可知知, , mmmmuuuuuuuuS21222543212)()()(

5、1u , 即即 2mS有有上上界界, , 故故2mS收收敛敛, , 记记 SSmm 2lim, , 显显然然有有 1uS . . 而而 12212 mmmuSS, , 由由条条件件( (2 2) )可可知知, , 得得 SSnn lim, 且且其其和和1uS . . , )()()(21243212mmmuuuuuuS 证证所以所以2mS单调单调不不减减； kkuu212 , , 另一方面另一方面, , SSmm 12lim即原级数收敛，即原级数收敛，.8nnnu 11)1(定理定理( (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法) ) 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件)0( nu其其中中（1 1）

6、1 nnuu, ,即即nu单单调调减减少少； （2 2）0lim nnu, , 则则交交错错级级数数 11)1(nnnu收收敛敛, , 且且其其和和1uS . . .9 n1单调减少单调减少, , 且且 01lim nn, , 例例3 3 判断下列级数是否收敛；如果收敛，是条件收判断下列级数是否收敛；如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？敛还是绝对收敛？ 41312111)1(11nnn解解原级数是交错级数原级数是交错级数, , 由莱布尼兹定理知，原级数收敛；由莱布尼兹定理知，原级数收敛；,1|1)1( |111 nnnnn发散；非绝对收敛；发散；非绝对收敛；为条件收敛为条件收敛. .10 111

7、)1(npnn 41312111)1(11nnn一般地，一般地，当当10 p时时， 级数条件收敛；级数条件收敛；当当1 p时时， 级数绝对收敛级数绝对收敛. .11判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性. . 解解,1)( xxxf设设)2( x,1单单调调减减少少故故函函数数 xx1limlim nnunnn又又, 0 所以级数收敛所以级数收敛.所所以以数数列列 1nn单单调调减减少少, , 例例4 42)1(2)1()( xxxxf则则,0 .12若若1 , ,则原级数发散；则原级数发散； 若若1 , ,原级数为原级数为 1)1(npnn, , 因因此此当当1 p时时绝绝对对

8、收收敛敛； 当当10 p时时条条件件收收敛敛. . 设设0, 0 p, ,讨论讨论 1)(npnn 的收敛性的收敛性. . 若若1 , ,则则原原级级数数绝绝对对收收敛敛； 例例5 5解解nnnuu1lim nnppnnn)()()1(lim1 .13判断判断级数级数 1ln)1(nnnn是否是否收敛收敛；如果如果收敛收敛，是是条件条件收敛收敛还是还是绝对绝对收敛收敛？ 例例6 6解解,11发发散散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛;xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xxnnnn1ln1lim nnnln11lim ,1

9、 .14,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnnnnnln1lim , )0(ln)( xxxxf令令, ) 1(011)( xxxf则则nnnnln11lim ,0 ,), 1()(上上单单增增在在 xf,1ln1时时单单减减当当故故数数列列 nnn由莱布尼兹定理由莱布尼兹定理, 此交错级数收敛，此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛.15讨讨论论级级数数) 1( 111 xxnn的的收收敛敛范范围围. . 若若1| x, , 则则 0111lim nnx, , 若若1| x, , 则则 1111limlim nnnnnnxxuu 最后最后, ,若若1 x, ,则则 21

10、nu, ,发散发散. . 所以级数的收敛范围为所以级数的收敛范围为1| x. . 例例7 7解解|1x ，1 所以级数发散；所以级数发散；故原级数绝对收敛；故原级数绝对收敛；.16小结小结正正 项项 级级 数数任任 意意 项项 级级 数数判判别别法法4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼兹定理莱布尼兹定理)3. 按基本性质按基本性质;1.;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun2.7.根值法根值法.17思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛 ? ? 反反之之是是否否成成立立? ? 若若是是任任意意项项级级数数呢呢? ? .18解答解答nnnuu2lim nnu lim由比较审敛法知由比较审