基于优化技术的PID控制器整定方法

1、李山春，梁昔明，HASSAN A. Bashir中南大学信息科学与工程学院，长沙 (410083)E-mail：摘 要：首先将一阶和二阶系统的PI和PID控制器参数估计问题转化为约束非线性规划(NLP)问题，然后应用SQP/IIPM算法确定最优参数。SQP/IIPM算法不同于一般序列二次规划(SQP)算法，它利用不可行内点方法(IIPM)求解二次规划子问题得其搜索方向，采用线搜索和/或二次搜索并依据IIPM的终止条件自适应地估计搜索步长。对一阶和二阶时延系统，在Matlab环境下对比仿真了SQP/IIPM算法、增益-相位裕量(GPM)法及Ziegler-Nichols(ZN)方法，结果表明，S

2、QP/IIPM算法所整定的PID控制器减少了上升时间和过渡过程时间，且超调量明显降低，因此，所给方法提升了数值优化PID控制系统的鲁棒性和有效性。 关键词：PID控制器优化，不可行内点方法，序列二次规划，仿真中图分类号：TP131引言控制系统设计一般包括稳定性和优化两大类。尽管优化方法适合参数估计和控制器优化，而用数值方法仅能获得可接受解的那些挑战性优化问题却经常在控制工程中出现。 在提高PI/PID控制器性能方面已取得了重大进展1。为了获得工业控制问题一致、可靠及鲁棒的最佳解决方案，PID控制器整定方法一般集中在对模型的估计，系统的规范化和最优整定。几十年来，已从众所周知的整定方法调整开发了

3、多种方法来确定PID控制器参数以适合自整定和自适应控制。一些方法使用开环阶跃响应，如科恩-库恩反应曲线，而另一些方法使用知识，如奈奎斯特曲线、齐格勒一尼科尔斯(ZN)等2。虽然ZN方法具有良好的抗扰动衰减性能且可以整定到完全消除超调，但它有较长过渡过程时间的不足。此外，增益-相位裕量已成为重要的度量系统鲁棒性的指标。然而，尽管增益-相位裕量法(GPM)具有很快的瞬态响应，但它通常却有超过5%的超调量1。许多研究试图把基于专家经验和类似遗传算法(GA)和模糊逻辑等随机搜索的特征和 PID增益修正结合起来3。Yau-Tarng J等给出了一个修改三角隶属度函数的模糊PID控制器，并用遗传算法对参数

4、进行微调，以提高系统上升时间、超调和稳态误差等性能指标的质量1。类似地，Carlos等利用混合细胞自动机(HCA)提出了一种PID控制器的拓扑优化算法4，算法包含了一套分布式控制规则，以极小化一个适当机械信号和由KKT最优性条件导出的机械目标之间的误差。文献5利用细菌觅食技术提出了一种智能调整PID控制器的方法。另一方面，Toscano将数值优化算法用于模型预测控制问题中非线性模型的优化6，标准SQP算法已成功地应用于鲁棒PID控制器的设计7，大多数的最优控制问题属于低阶次类型8，SQP/IIPM算法对小到中等规模的非线性约束优化问题在效率和稳健性方面优于标准SQP算法9，应用SQP/IIPM

5、算法建立一个更有效和稳定的PID参数优化方法是本文的主要目的。首先由优化原则推导PID参数整定的优化问题，然后用SQP/IIPM算法求解所得优化问题获得最优PID参数，对1阶系统和2阶系统，分别用PI和PID控制器进行控制，仿真比较了SQP/IIPM算法与GPM和ZN方法的性能。 1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金(20070533131)的资助-1-K(s)=U(s)E(s)=kp+kis+kds (1) 其中kp，ki 和kd分别是比例增益，微分增益和积分增益，可以看出，比例控制器将产生降低上升时间和减少却不能消除稳态(SS)误差的效果，积分控制器有消除稳态(SS)误差的效果，但它

6、可能使瞬态响应变糟，微分控制器可增进系统的稳定性，减少超调，提高瞬态响应性能。值得注意的是这些控制器的累积效应彼此相互严重依赖。3最优PID整定方法优化算法 3.1 SQP/IIPM如9所提出的，SQP/IIPM算法用于求解如下约束非线性规划问题min f(x)其中f(x)是目标函数，hi(x)和gi(x)分别是等式约束和不等式约束函数。SQP/IIPM算法的外循环逐次线性化问题(2)，内循环用不可行内点法IIPM求解如下QP子问题得搜寻方向dkgi(xk)+gi(xk)Td0;i=1,2,.,mminf(xk)Td+dTHd (3)其中H为Hessian矩阵，利用一种改进的Hessian修正

7、BFGS程序来近似，该算法自适应地调用线搜索和/或二次搜索来估计步长k，图1给出了SQP/IIPM算法的流程。Fig.1 Flow chart of SQP/IIPM algorithm 3.2 PID控制器参数整定的优化方法对具有时延的一阶和二阶过程G(s)，下面分析PI和PID控制器所对应的系统性能。 一阶过程的PI控制器的参数优化对PI控制的过程，灵敏度函数可以定义如下6：S(s)=+K(s)G(s)=+L(s)-2- (4)G(s)=ket0s+s) K(s)=kp+kiskkpkT(s)=s+tTit003(t0+)2(1+kkp)ks+s+s+Tit0t0t0 (5) 其中t0为时

8、延，是时间常数，若取et0s+t0s)并令Ti=ki, 则闭环系统传递函数为 (6) 它是一个三阶系统，因此其控制器参数可通过与下列标准三阶系统系数的比较来确定，2) (7) T(s)=K(s+a)(s+a)(s2+20s+0其中K是系统的增益常数，和0分别为过程G(s)的阻尼因子和固有振荡频率，因而可得：a=(t0+)(t0)20 (8a) kp=(0+2a)0t01k (8b) 为确保闭环系统稳定，要求系统所有极点位于s-平面的负半平面13，若取=m可推得：b=(t0+)(0t0), b2, 0=(t0+)(bmt0), a=(t0+)(t0)2m0, a0 (9) 由(4)和(6)式的定

9、义，灵敏度函数及传递函数的最大值可以在频域中定义如下Ms=maxS(j) MT=maxT(j) 2tk (8c) ki=a00 (10) 其大小度量了控制过程抗扰动的鲁棒性6,14，小的MS对应一个经得起较大扰动变化的系统，较小的MT对应较小超调的鲁棒系统。1/S(j)与+L(j)大小相等，表示开环传递函数L(s)的奈奎斯特曲线与频率2/处临界点间的距离，其最小值是系统稳定裕度的一个度量 15 。然后在满足如下约束和界的条件下最大化所得结果， 通过先在域内对1/S(j)极小化，即可确保系统瞬态响应、稳定性裕度、鲁棒性和抗干扰性方面的改善，因而得如下优化问题：max min|1+L(j,b)|s

10、.t. L(s)=k(1+kpTis)Tis(1+s)(1+t0s)0=(t0+)(bmt0)a=(t0+)t0)2m0kp=(0+2am)0t01k2 ki=a0t0, b2,a0 (11)二阶过程的PID控制器的数值优化设G(s)是一个二阶时延滞后系统，采用如下PID控制器K(s)，G(s)=ket0s(s2+a1s+a0)，K(s)=kp+kis+kds (12) 同样地，取et0s(1+t0s)并令Ti=ki，系统的闭环传递函数T(s)可写为T(s)=k(1+kpTis+kdTis2)Tis(s2+a1s+a0)(1+t0s)+k(1+kpTis+kdTis2) (13)2进行比较，可

11、得如下等式约束， 将其特征方程与四阶特征方程(s) = (s+a)2(s2+20s+0)a=(a1+10)2m0kp=2(am+0)a0t0a0k2ki=a0t02a)takd=(a2+4am0+00012 (14)为确保系统稳定，需参数a0，取=m，从而有b=(a1+0)0m)，b1，类似得到如下PID参数整定的数值优化问题-3-中国max min+L(j,b)s.t. L(s)=k(1+kpTis+kdTis2)Tis(s2+a1s+a0)(1+t0s)0=(a1+10)2bma=(a1+t0)2m0kp=(2(am+0)a0t0a0)k4最优PID整定的仿真下面利用数值优化问题(11)和

12、(15)计算控制器参数，并对SQP/IIPM算法、增益相位裕量法(GPM)和Ziegler-Nichols (ZN)方法所整定的PID控制器进行性能比较。4.1 实例1: PI控制的一阶过程考虑如下一阶时延过程和PI控制器，G(s)=es+s)， K(s)=kp+kis (16) 比较(16)和(5)有：t0=1，=1，k=1。为得到稳定的瞬态响应，取m=0.75得优化问题： max min1+(ki+kp)(1+)(1+)s.t. L()=(ki+kp)(1+)(1+)0b2.8571=0ab2b+4=0(kp+1)b24ab8.1633=0kib28.1633a=0, b2,a0 (17)

13、问题(17)的求解办法是先对自然频率极小化1+L(j)，然后在满足约束的条件下最大化所得结果获取PI参数。4.2 实例2: PID控制的二阶过程考虑如下二阶时延过程和PID控制器， G(s)=e1.58s(s2+2s+1)，K(s)=kp+kis+kds (18) 对比(18)和(12)可知：t0=1.58，a1=2和a0=1。令m=0.76，则PID参数整定问题如下： max min1+(ki+kp+kd2)(2+2+1)(1+1.58)s.t. L()=(ki+kp+kd2)(2+2+1)(1+1.58)0b1.7553=0ab1.3165b+1.3165=0(kp+1)b24.16a2b

14、9.7359a=0(kd1.58a2+3.58)b28.32ab4.86797=0kib24.86796a2=0, b1,a0 (19)4.3 仿真结果表1给出了SQP/IIPM算法、GPM方法和ZN方法所得的PID控制器参数。表2比较了三种方法下系统的性能(上升时间、过渡过程时间和超调量)。从表2可以看出，对PI和PID控制的过程，SQP/IIPM算法比GPM方法和ZN方法大大减少所需的过渡过程时间。-4-中国GPM方法；PID: 1.993PI: 2.262Am=Am=kp实例 1.实例 2. kikd- kpkikdkpkikd0.4929 0.4680 0.5200 0.5200 -

15、0.3979 0.3333 - 0.6989 0.3184 0.3817 0.6600 0.3300 0.3300 0.6021 0.2370 0.9479表2 三种方法整定的PI/PID控制器性能比较Tab.2 Performance comparison on the PID controller tuned by three methods1st Order PI Controlled Plant (Case Study 1) 2nd Order PID Controlled Plant (Case Study 2)SQP/IIPMRise-time (sec) 2.09 Settlin

16、g-time (sec) 3.97Overshoot (%) 1.18 GPM ZN SQP/IIPMGPM ZN 1.79 4.25 2.82 2.82 7.67 6.04 9.22 5.58 9.55 12.5 5.38 0 1.01 5.48 0.49图3和图4的仿真结果清楚地表明了SQP/IIPM算法优化的PID控制器明显改进了被控系统的阶跃和脉冲响应。由图3，控制器SQP/IIPM_PI比ZN_PI的阶跃响应更快和更稳定，但SQP/IIPM_PI的响应速度慢于GPM_PI，这正是选择高阻尼系数m=0.75的结果，实质上，对所有PI控制的系统，存在一个响应速度和稳定的瞬态响应之间的权衡

17、问题。图 3. 实例1的仿真结果Fig.3 Simulation result on Example 1图 4. 实例2的仿真结果Fig.4 Simulation result on Example 2另一方面，图4所示的PID控制结果表明，将微分控制器引入PI系统可有效地抑制系统的超调并改善其过渡过程时间，且几乎或根本不影响其上升时间和稳态误差。图4(a)中ZN方法对应的系统响应在早期阶段出现的扰动(驼峰)，这是由于存在比主导极点具有更大负实部的复极点而导致衰变加快，在开始足够长时间后便引起了驼峰，这正是ZN方法试图消除系统超调时存在的共同问题。由SQP/IIPM算法优化的PID控制器的极佳

18、响应，不仅显示出了其与GPM方法和ZN方法的竞争优势，而且还突出了PID控制器相对于PI控制器的系统优势。-5-参考文献1 YAU T J, YUN T C and CHIH P H. Design of fuzzy PID controllers using modified triangular membership functions J. Journal of Information Science, 2008, 178(12): 1325-1333.2 HWANG C and HSIAO C Y. Solution of a non-convex optimization arisi

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27、sed on optimization techniqueLI Shan-chun, LIANG Xi-ming and Hassan A. BashirSchool of Information Science & Engineering, Central South University, Changsha 410083AbstractAn approach for parameter estimation of proportional-integral-derivative (PID) controller system using a new nonlinear programming algorithm is proposed. SQP/IIPM algorithm is a kind of sequential quadratic programming method. It derives its search directions by solving quadratic