南京邮电大学 概率论 期末试卷（课堂PPT）

1、.11期末试卷一期末试卷一一、填空题一、填空题(共共48分，每格三分分，每格三分) 1. 若随机变量若随机变量 满足满足 则称则称 是来自总体是来自总体X的一个简单随机样本。的一个简单随机样本。nXXX,21nXXX,21), 1( nF)(ntT2T3. 已知随机变量已知随机变量 ，则，则 。n 21 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 2 ),(2 N2, 4. 设总体设总体 X 服从服从 ， 未知，则样本容量为未知，则样本容量为n的总体方差的总体方差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为 1独立同分布独立同分布 2)32(SaXa X 2. 设总体设总体X

2、服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布， 是简单是简单随机样本，均值为随机样本，均值为 ，方差为，方差为 ，则，则 已知已知 为为 的无偏估计量，则的无偏估计量，则a= 。nXXX,21 2S )(XE )(XD, .220 )(),cos()( ttAtX 6. 设随机过程设随机过程 ，其中，其中 为常数，为常数，A是服从标准正态分布的随机变量，则是服从标准正态分布的随机变量，则X(t)的均的均值函数为值函数为 ，协方差函数为，协方差函数为 。2121coscos),(ttttCXX 2 0),( ttX 7. 设设 是强度为是强度为 的泊松过程，且对于任的泊松过程，且对于任意意 ，有

3、，有 ，则，则 。 )(2)()(stsXtXE 0 st 3)4(, 2)1(XXP812 e ts,min2 2 ),(tsCX 8. 设设 是参数为是参数为 的维纳过程，其协方差的维纳过程，其协方差函数为函数为 。 0),( ttX1649. 02SXt 5. 设矿石中某种元素含量服从正态分布，但均值和设矿石中某种元素含量服从正态分布，但均值和方差和均未知。现测定容量为方差和均未知。现测定容量为16的样本，的样本， 为样本均为样本均值和样本方差，试在显著性水平值和样本方差，试在显著性水平 下检验下检验 时时所用的检验统计量为所用的检验统计量为 。2,SX 49. 0:0 H.33 10.

4、 对平稳过程对平稳过程X (t) 若若 以概率以概率1成立，则称成立，则称X (t)的自相关函数具有各态历经性。的自相关函数具有各态历经性。 )()()()()( XRtXtXEtXtX 39. 0 ,61. 0 9 . 01 . 01 . 09 . 0P 9. 设马尔可夫链设马尔可夫链 的状态空间的状态空间I=0,1则一步转移概率矩阵为则一步转移概率矩阵为 ，初始分布为，初始分布为 则则 的分布律为的分布律为 。 , 2 , 1 , 0, nXn)31,32()0( P2X )2(P122 11. 已知平稳过程已知平稳过程X (t)自相关函数为自相关函数为 ，则，则X (t)的谱密度的谱密度

5、 ，X(t)的均方值的均方值 。|)( eRX )( XS )(2tXE1.44解：由题意提出假设：解：由题意提出假设：)15(|005. 0tt nSXt2000 95. 2 |t,2000:,2000:10 HH488.27)15(996.24)15(95. 2)15(,60. 2)15(2025. 0205. 0005. 001. 0 tt二、二、(10分分)已知某厂生产的灯泡寿命服从已知某厂生产的灯泡寿命服从 ，其中，其中 和和 未知，现随机抽取未知，现随机抽取16只进行测试，测得它们的平均只进行测试，测得它们的平均寿命为：寿命为： 小时，样本标准差为：小时，样本标准差为： 。 2 4

6、00 S1800 x ),(2 N检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：样本计算值为样本计算值为95. 2 不在拒绝域内，接受原假设，故平均寿命是不在拒绝域内，接受原假设，故平均寿命是2000小时。小时。 1. 在显著水平在显著水平 下，能否认为这批灯泡的平均下，能否认为这批灯泡的平均寿命为寿命为2000小时？小时？01. 0 1640020001800 2 .55解：由题意要检验假设：解：由题意要检验假设：222300)1(Sn 996.24 67.26 221220300:,300: HH检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：样本计算值为样本计算值为996.24 在拒绝域内拒绝原假设认

7、为这批灯泡的标准差超过在拒绝域内拒绝原假设认为这批灯泡的标准差超过300。 2. 在显著水平在显著水平 下，检验假设下，检验假设05. 0 2 )15(205. 0 222300400)116( .66解解: (1)矩估计量矩估计量)(1XE 解之得：解之得：12111 三、三、(10分分)设总体设总体X的概率密的概率密 度函数为，其中未知参数度函数为，其中未知参数 ， 而而 是来自总体是来自总体X的一个简单随机样本，求的一个简单随机样本，求 的矩估计量和最大似然估计量。的矩估计量和最大似然估计量。 1 nXXX,21 ,010,)1();(xxxf 其它其它 );( xfxxdxx 10)1

8、( 21 11A 将将 代入得矩估计量代入得矩估计量121 XX (2)最大似然估计量最大似然估计量 niixfL1);()( 其它其它 ,010,)()1(21innxxxx niixnL1ln)1ln()(ln niixndLd1ln1)(ln 解之得最大似解之得最大似然估计然估计值值为为1ln1 niixn 解之得解之得 最大最大似然估计似然估计量量为为1ln1 niiXn 0 .772S四、四、(10分分)设在正态总体设在正态总体 中抽取一容量为中抽取一容量为16的简的简单随机样本，样本方差为单随机样本，样本方差为 ，其中，其中 均未知，已知均未知，已知),(2 N2, 6 .30)1

9、5(201. 0 解：解：1. 求求04. 222 SP22)( SE2. 若若 已知，求已知，求 。)(),(22SDSE2 3015)1(2222 SDSnD30)(15242 SD 42152)( SD04. 222 SP04. 215)116( 22 SP6 .3015122 SP01. 01 99. 0 解：解：.88 05 . 05 . 05 . 005 . 05 . 05 . 00P2. 求求1|2, 2032 XXXP五、五、(12分分) 已知马尔可夫链的状态空间已知马尔可夫链的状态空间为为I=1,2,3，初始分布为初始分布为 ，其一步转移概率矩阵为其一步转移概率矩阵为 31,

10、31,31)0(p)2()0()2()0()2()0(323222121PpPpPp 25. 0315 . 03125. 031 0025. 0 2212)2(pP 1. 求求22 XP)2(222PXP 解：解：31 5 . 025. 025. 025. 05 . 025. 025. 025. 05 . 005 . 05 . 05 . 005 . 05 . 05 . 0005 . 05 . 05 . 005 . 05 . 05 . 00)2(2PP1|2, 2032 XXXP.993. 证明此链具有遍历性，并求其极限分布。证明此链具有遍历性，并求其极限分布。证明：显然证明：显然P(2)中无零

11、元，故遍历。中无零元，故遍历。设极限分布为设极限分布为),(321 05 . 05 . 05 . 005 . 05 . 05 . 00),(),(321321 1321 15 . 05 . 05 . 05 . 05 . 05 . 0321321231132 解之得：解之得：31321 .10102. 证明证明X(t)具有各态历经性具有各态历经性 。 )sin(0 taE 02cos2a )()(),( tXtXEttRXX)()(tXEtX dta)sin(2020 1. 证明证明X(t)是平稳过程是平稳过程。0 dtta)sin()sin(2000202 六六、(10分分)设随机过程设随机过

12、程 ，其中，其中 为常为常数，数， 。)sin()(0 tatX0, a)2 , 0( 显然均值函数是常数，自相关函数仅与显然均值函数是常数，自相关函数仅与 有关，有关，X(t)是平稳过程。是平稳过程。 )sin()sin(0002 ttaEdttaTtXTTT )sin(21lim)(0 0 dtttaTtXtXTTT)sin()sin(21lim)()(0002 02cos2a 显然，显然， X(t)具有各态历经性。具有各态历经性。)()()(,)()( tXtXRtXtXX3. 求求X(t)的谱密度。的谱密度。 02cos2)(aRX )()(2)(002 aSX.1111期末试卷二期末

13、试卷二一、填空题一、填空题(共共48分，每格分，每格3分分), 1( nF)(ntT2T 1. 已知随机变量已知随机变量 ，则，则 。 niiniixnxnnppxXxXxXP11)1(,2211 2. 设总体设总体Xb(1, p)， 为来自总体的简为来自总体的简单随机样本，则单随机样本，则 的分布律为的分布律为 )2(,21 nXXXn )(2SE),(21nXXX)1(pp X 3. 设设 为来自正态总体为来自正态总体 的简单的简单随机样本，则随机样本，则 的矩估计量的矩估计量 为为 ， 的矩估计量的矩估计量为为 。)2(,21 nXXXn ),(2 N 2 2 niiXXn12)(1 2

14、1321 PX 4. 设总体设总体X的概率分布为的概率分布为 ，其中，其中 是未知参数，对总体是未知参数，对总体X的如下样本值的如下样本值2,1,3,2,1,3；则则 的最的最大似然估计值为大似然估计值为 。 31.1212 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 2 ),(2 N2, 5. 设总体设总体 X 服从服从 ， 未知，则样本容量为未知，则样本容量为n的总体方差的总体方差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为 1)2(112121 nntnnyx 211210:HH),(21 N 6. 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的样本，的样本，2,21nYYY

15、1,21nXXX),(22 N是来自正态总体是来自正态总体 的样本，且设两样本独的样本，且设两样本独立，则检验问题立，则检验问题(显著水平为显著水平为 )的拒绝域为：的拒绝域为：982187 e9108 e 4)3(XP 4)3(, 1)1(XXP 7. 设设 是参数为是参数为3的泊松过程，则的泊松过程，则 0),( ttX ),(tsCX,min3ts.1313 cos22a)2 , 0( )(tXE 9. 设随机相位正弦波过程设随机相位正弦波过程 其中其中a 是常数，是常数， 是在区间是在区间 上服从均匀分布的随上服从均匀分布的随机变量，则机变量，则 ， 。 )()( tXtX ),(),

16、cos()( ttatX 0)(0 S 11. 已知平稳过程的功率谱密度为已知平稳过程的功率谱密度为 。则其自相。则其自相关函数为关函数为 。0)(SSX )( XR ttW),( ),(tsRW 8. 设设 是参数为是参数为 的维纳过程，则它的维纳过程，则它的自相关函数的自相关函数 。2 ,min2ts 10. 对平稳过程对平稳过程X (t) 若若 以概率以概率1成立，则称成立，则称X (t)的自相关函数具有各态历经性。的自相关函数具有各态历经性。 )()()()()( XRtXtXEtXtX .1414解：由题意提出假设：解：由题意提出假设：221 . 015. 0 2221SSF ,:,

17、:2221122210 HH82. 4)7 , 9(2 . 4)9 , 7(8946. 1)7(,3646. 2)7(025. 0025. 005. 0025. 0 FFtt2 . 4 检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：样本计算值为样本计算值为 显然不在拒绝域内，接受原假设认为两总体方差相等。显然不在拒绝域内，接受原假设认为两总体方差相等。 1. 在显著水平在显著水平 下，检验两总体方差是否相等？下，检验两总体方差是否相等？05. 0 二、二、(10分分)设设 和和 分别是来自正态总分别是来自正态总体体 和和 的样本，其样本均值和样本方差的样本，其样本均值和样本方差分别为分别为 ， ，

18、， 。设两样本独立。设两样本独立 22115. 0 s),(211 N24. 0 x821,XXX1021,YYY),(222 N21. 0 y2221 . 0 s2221ssF )9 , 7(2 F 或或F)9 , 7(21 F28 . 41 F25. 2 .1515解：由题意提出假设：解：由题意提出假设：)1(|12 ntt 1212 . 0nSXt 3646. 2)7(025. 0 t75. 0815. 02 . 024. 0| t, 2 . 0:, 2 . 0:10 HH检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：样本计算值为样本计算值为 不在拒绝域内，接受原假设，认为均值为不在拒绝域内，

19、接受原假设，认为均值为0.2。 2. 在显著水平在显著水平 下，检验总体下，检验总体X的均值是否为的均值是否为0.205. 0 .1616解：解：)1()1(222 nSn 解：由解：由 则则即即 2. 求样本方差求样本方差 的方差。的方差。2S2100122)(10050)2(1 iixeRxexfx 222)(21)( 1. 写出写出 的联合概率密度函数；的联合概率密度函数；),(10021XXX 100110021)(),(iixfxxxf99212)(442 nSD)1(2)1(22 nSnD 三、三、(8分分)设总体设总体 是来自总体是来自总体X的一个简单随机样本。的一个简单随机样本

20、。,),(100212XXXNX )1(2)1(242 nSDn 解之得：解之得：.1717 xxexfx01)( niitfL1),;(),( 最大似然函数为最大似然函数为 iixnxxenii011)(求对数求对数 niixnL1)(ln),(ln求导数求导数 0),(ln0)(1),(ln12 nLxnLnii由最大似由最大似然原则知然原则知最大似然估计值为最大似然估计值为1x 1xx 最大似然估计量为最大似然估计量为1X 1XX 四四(10分分).设设 是来自总体是来自总体 X的一个样本，的一个样本，X的密度函数为的密度函数为 nXXX,21 求求 与与 的矩估计和最大似然估计量的矩估

21、计和最大似然估计量 (1)最大似然函数估计量最大似然函数估计量nxxx 21设一组样本值为设一组样本值为.1818)(1XE 解之得解之得 21211 dxxxf)(dxexxc 1 )(22XE dtxfx)(2dxexxc 122222 将将 代入代入2211, AA即即 niiniiXXnXXXn1212)(1)(1 (2)求求 与与 的矩估计量的矩估计量 .1919 3132031313103132P3. 证明此链具有遍历性，并求极限分布。证明此链具有遍历性，并求极限分布。)2()0()2(Ppp 92,2711,27102. 求求 的分布律的分布律2X),(321 P(2)中没有零元

22、，显然中没有零元，显然遍历，设极限分布为遍历，设极限分布为 31949292943191939531,31,31五、五、(12分分)设齐次马尔可夫链设齐次马尔可夫链 具有状态空间为具有状态空间为I=1,2,3，初始概率分初始概率分布为布为 ，其一步转移概率矩其一步转移概率矩阵阵 31,31,31)0(p 0),( nnX1. 求二步转移概率矩阵；求二步转移概率矩阵； 31949292943191939531320313131031323132031313103132)2(2PP 1313132313131323213322321121 51,52,52321 .2020解：解： )cos()s

23、in(tYtXE 0 )()(),( tZtZEttRZZ )()(tZEtZ 1. 证明证明Z(t)是平稳过程。是平稳过程。 dRTTXXTT220)(211lim 六六、(12分分) 随机过程随机过程 ，其中，其中X,Y为为 独立同分布的随机变量，它们的分布律为独立同分布的随机变量，它们的分布律为)cos()sin()(tYtXtZ 0)()( YEXE1)()(22 YEXE均值函数是常数，自相关函数均值函数是常数，自相关函数仅与仅与 有关，有关，Z(t)是平稳过程。是平稳过程。 )cos()cos()sin()sin( tttt cos 2. 证明证明Z(t)的均值具有各态历经性。的均

24、值具有各态历经性。212111PX 212111PY 解：解： )cos()sin()cos()sin( tYtXtYtXE dTTTTcos211lim20 12cos21lim22 tTT 0 均值具有各态历经性。均值具有各态历经性。.2121期末试卷三期末试卷三一、填空题一、填空题(共共60分，每格分，每格3分分)8 ,10(F)10, 8( FF1F 3. 设随机变量设随机变量 ，则，则 。243221)43()2(51XXbXXY 2 2. 设设 是取自正态总体是取自正态总体 的简单随机的简单随机样本，当样本，当b= 时，时， 服从服从 分布，自由度为分布，自由度为 ；4321,XX

25、XX2 251)1 , 0(N 1. 设设 来自总体来自总体 则则921,XXX)5 , 0(2N 11XP1)6 . 0(2 4. 设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布则的泊松分布则 )()(2SEXE 1 XXn )11( , 0(nN nXXXNX,),(212 5.设总体设总体 是取自正态总体的简是取自正态总体的简单随机样本，单随机样本，1)(221 nnSXXn)1, 1( nF.22220 211 8. 设随机变量设随机变量 ，则，则 ，由切比雪夫不等，由切比雪夫不等式式 | XP)1 , 0( NX )1()1(,)1()1(2975. 022025. 02nSnn

26、Sn nXXX,212 6. 设设 是取自正态总体是取自正态总体 的简单随的简单随机样本，则总体方差为机样本，则总体方差为 的置信度为的置信度为95的置信区间的置信区间为为 )1 , 0(N nX1 7. 对于随机变量序列对于随机变量序列 ，若对于任意，若对于任意 则当极则当极限限 时，称时，称 依概率收敛于常数依概率收敛于常数a。 aXPnnlim nX0 2) 1 (|6)4(XXP 7)6(, 6)4(, 2)1(XXXP30424810155 e 9. 设设 是强度为是强度为5的泊松过程，则的泊松过程，则 0),( ttX1542415 et2 ,min2ts 10. 方差为方差为 的

27、维纳过程的协方差函数的维纳过程的协方差函数 ),(tsC.2323 11. 已知平稳过程已知平稳过程X (t)的自相关函数为的自相关函数为 ，则，则X(t)的谱密度的谱密度 。222aa |)( aXeR )( XS 12. 若若 以概率以概率1成立，则称平稳过成立，则称平稳过程程X (t) 的均值具有各态历经性。的均值具有各态历经性。 XtXEtX )()(241 2, 2, 1210XXXP ,41,21,41 )2(12p125 13. 已知马尔可夫链的状态空间为已知马尔可夫链的状态空间为I=1,2,3，初始分，初始分布为布为 ，一步转移概率矩阵为，一步转移概率矩阵为 则则 ， 2121

28、031313102121P 14. 随机相位正弦波过程随机相位正弦波过程 ， 其中其中 为常数，为常数， 为为 上服从均匀分布的随机变量，则上服从均匀分布的随机变量，则0)cos()( tatX )(tX ,a )2 , 0( )()( tXtX cos22a.24240117)(ln dLd)(1XE 87 )1ln(ln72ln)(ln L)1(2)(32 (1)求求 的矩估计值；的矩估计值； 二、计算与证明题二、计算与证明题(共共40分分)231 解：解：解之得：解之得：最大似然函数最大似然函数 1121)(4321 XPXPXPXPL )10( 1. (8分分)设总体设总体X的概率分布

29、为的概率分布为 其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X的如下样本值的如下样本值1，2，1，1；22)1()1(2321 PX22)1(3)1(221 23 87225. 1323 X 即即(2)求求 的最大似然估计值；的最大似然估计值； )1(27 解之得：解之得：.2525解：由题意要检验假设：解：由题意要检验假设：)2(212 nnt 0:, 0:211210 HH检验统计量：检验统计量：拒绝域：拒绝域：样本计算值为样本计算值为228. 2)10(025. 0 t 不在拒绝域内，接受原假设，认为两种的尼古丁含不在拒绝域内，接受原假设，认为两种的尼古丁含量无显著差异。量无显著差

30、异。05. 0 2. (4分分)某卷烟厂生产甲乙两种香烟，分别对它们的尼古某卷烟厂生产甲乙两种香烟，分别对它们的尼古丁作了六次测定，得样本观察值为丁作了六次测定，得样本观察值为(毫克毫克): 甲：甲：25 28 23 26 29 22 乙：乙：28 23 30 25 21 27 假设两种香烟的尼古丁含量服从正态分布且方差相等，假设两种香烟的尼古丁含量服从正态分布且方差相等，问两种香烟的尼古丁有无显著差异？问两种香烟的尼古丁有无显著差异？2111nnSYXt 2111|nnsyxt 58. 005. 37 .255 .25| t179. 2)12(95. 0)10(975. 0)96. 1(95

31、. 0)645. 1(025. 0025. 0 tt068.117 .255 . 75 .252221 sysx11. 0 228. 2 .2626 0002),(2xxxexfx 是来自总体是来自总体X的简单随机样本。的简单随机样本。nXXX,213. (8分分)设总体设总体X服从威布尔分布服从威布尔分布 01)(ln122 niixndLd (1)求参数求参数 的最大似然估计。的最大似然估计。 niiniixxnnL121lnln2ln)(ln 0002);()(22221211iixxxnnnniixxexxxxfLn 最大似然函数为最大似然函数为设设 是来自总体是来自总体X的简单随机样

32、本值。的简单随机样本值。nxxx,21最大似然估计值为最大似然估计值为nxnii 12 最大似然估计量为最大似然估计量为nXnii 12 .2727(2)问最大似然估计量是否是无偏的。问最大似然估计量是否是无偏的。 nXEEnii12)( niiXEn121)(112 niiXEn)(12XnEn )(2XE dxxfxXE)()(22 0222dxxexx )(E最大似然估计量是无偏的。最大似然估计量是无偏的。(3)问最大似然估计量是否是问最大似然估计量是否是 的相合的估计量。的相合的估计量。 )(2XE1|lim Pn得证是相合的估计量。得证是相合的估计量。由大数定律由大数定律.2828 323103203103231P2. 此链是否遍历此链是否遍历四、四、