《图形的放大与缩小教案》

1、图形的放大与缩小目标·概览 1. 了解位似图形及其有关概念，了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 2. 能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小. 3. 利用图形的相似解决一些简单的实际问题.思考·交流为了号召同学“保护绿色家园”，环保小组成员要在校园墙壁上绘制宣传图画因某些图案绘制比较困难，故他们利用所学知识，探讨出以下做法：先把所需图案绘制在透明胶片上，再让胶片与墙平行，然后利用可移动光源(手电筒)将胶片上的图案投射到墙壁上，如图4-9-l所示的形式，通过移动光源或胶片，绘制出符合设计要求的图案. 利用上述方式，可以把图形进行缩放，那么其道理

2、是什么呢?学法·指津学习本节知识首先必须弄明白相似图形和位似图形的关系，明确位似图形只是相似图形的一种特殊情况，判断两个图形是否为位似图形是在相似的基础上再判断这两个图形的对应点的连线所在的直线是否经过同一点，若经过同一点，即为位似图形，否则不是位似图形.知识·导学 知识点一：位似图形及其有关概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 思考交流：位似图形是一种特殊的相似图形，那么相似图形是否都能构成位似关系呢? 知识点二：位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位

3、似中心的距离之比等于位似比.如图4-9-2所示，若ABC与ABC是位似图形，且，则 思考交流：上图中的OAB与OAB的周长比、面积比又各等于多少呢?OAB与OAB相似吗? 知识点三：图形的放大与缩小的方法 下面，我们介绍如何把图4-9-3(1)中的多边形ABCDE放大2倍(即新图形与原图形的相似比为2). 如图，(1)任取一个点O. (2)以点O为端点作射线OA，OB，OC， (3)分别在射线OA，OB，OC，上取点A，B，C，使OAOA=OBOB=OCOC=2. (4)连AB，BC，得多边形ABCDE. 利用相似三角形的知识，可以证明这两个多边形相似，并且新图形与原图形的相似比为2. 在图4

4、-9-3(2)中，任取一个点O，不作射线OA，OB，OC，而作直线OA，OB，OC，在点O的另一侧取点A，B，C，使OAOA=OBOB=OCOC=2，也可以得到放大2倍的多边形. 思考交流：试一试，用这里介绍的位似变换方法把一个图形缩为原图形的一半(即新图形与原图形的相似比为1：2).技巧·解悟 考查位似图形的性质 例1 如图4-9-4，已知多边形ABCDE，作一个新图形ABCD，使新图形ABCDE与原图形ABCDE的对应线段的比均为l2. 解析 因为新图形与原图形的相似比为12，所以应把原图形缩小一半，其关键在于选定位似中心的位置，除在图形外以外，位似中心可在图形ABCDE内，也可

5、在AB边上，也可在顶点处，然后根据射线测量原理画出多边形ABCDE 答案 图4-9-4(1)的画法如下： (1)在多边形ABCDE内任取一点O； (2)连OA、OB、OC、OD，OE； (3)在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A、B、C、D、E，使OA= (4)连AB、BC、CD、DE、EA，则所得多边形即为所求图形. 经分析知图(2)的位似中心()在AB上，图(3)的位似中心就是顶点A法与图(1)相同.拓展·探究综 合 题 例2 已知直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点分别是A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1).作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图

6、形对应边长的比为2：l，位似中心是坐标原点. 解析 要使新图形与原图形的对应边长的比为2：1，只要把A、B、C、D的纵横坐标都扩大2倍，然后在直角坐标系中找到A、B、C、D的对应点A、B、C、D的位置即可.答案 因为放大后的四边形ABCD与四边形ABCD的位似比为2：1，则其对应点的坐标分别为A(2，4)、B(4，8)、C(8，10)、D(6，2). 依次连AB、BC、CD、DA，则四边形ABCD即为所求图形，且O为位似中心，如图4-9-5所示. 拓展延伸：如图496所示，将AOB缩小后得到COD. (1)你能求出它们的相似比吗? (2)三角形的顶点坐标发生了什么变化? (1)因为A(2，4)

7、，C(1，2)， 所以 所以OAB与OCD的相似比为 (2)三角形AOB顶点坐标的横、纵坐标都缩小为原来的一半. 应 用 题 例3 某校学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下方案： 方案一 如图4-9-7(1)所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，最后测出DE的距离，则3DE即为AB的长. 方案二 如图4-9-7(2)所示，先过B点作AB的垂线BF，再BF上取C、D两点，使BC=3CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，最后测出了DE的长，则3DE即为AB的长. (1)方案一是否可行? ，理由是 (2)方案

8、二是否可行? ，理由是 (3)方案二中作BEAB，EDBF的目的是 ；若仅满足ABDBDE90°，方案(2)是否仍可行? 解析 方案一实际上把ABC的边长缩小为原来的号；方案二的做法在于保证ABCEDC. 答案 (1)可行 (2)可行 由条件易知ABCEDC，得 (3)保证ABCEDC 可行 经验技巧：解答测量问题时，应看条件是否满足三角形相似.创 新 题例4 如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形也是位似三角形，它们的相似比是位似比，这个点是位似中心利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大. (1)如图498(1)，点O是等边三角

9、形PQR的中心，P、Q、R分别是OP、OQ、OR的中点，则PQR与PQR是位似三角形，此时PQR与PQR的位似比、位似中心分别为( ). A. 2点P B. C. 2、点O D. 5、点O (2)如图4-9-8(2)，用下面的方法可以画AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题. 画法：在AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上； 连OE并延长，交AB于点E，过点E作ECEC，交OA于点C，作EDED，交OB于点D； 连CD，则CDE是AOB的内接三角形. 试说明CDE是等边三角形. 解析 依据位似三角形的定义及三角形的中位线等知识可使问题得以解决. 答案 (1) D (2)因

10、为EDED.所以，CEO=CEO. 因为EDED. 所以 所以 因为CDE是等边三角形， 所以CE=ED，CED=60°. 所以CE=ED，CED=60°. 所以 CED是等边三角形. 方法规律：对于位似图形的有关问题，常用相似多边形的性质及判定加以解决.习题·解疑 随堂练习(课本第139页) 1. (1)略. (2) DEF的三边是ABC相应三边的2倍. 习题4.12(课本第140页) 1. 平行. 理由：因为CODOAB，所以OCDOAB，所以ABCD. 2. 本题仅仅要求学生“尝试”说明理由. 说明理由时要抓住两点：(1)放大前后的两个图形是位似图形(本节课

11、已指出，尽管目前无法证明)；(2)所系橡皮筋的个数决定了放大比例(运用本节课中的有关结论说明). 习题4.13(课本第143页)1. 如图所示. 2. 都能得到与原多边形位似的多边形，而且这两个新多边形是全等图形.自主·评价基 础 题 1. 如图所示，如果ABC与DEF是位似图形，O是位似中心，且OE=BE，那么DEF与ABC的位似比为( ). A. 11 B. 12 C. 21 D. 14 2. 如图所示，已知ADE与ABC是位似图形，且位似比为12，若ABC的面积为12 cm2，则ADE的面积为( ). A. 2 cm2 B. 3 cm2 C. 4 cm2 D. 6 cm2 3.

12、 如图所示，已知OAB与ODC是位似图形，则下列比例式中，正确的是( ). A. = B. =C. = D. = 4. 如果将多边形的每边都缩小为原来的，那么它的面积缩小为原来的 . 5. 如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影的示意图.已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面1 m，灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为 . 6. 在直角坐标系中，作出以A(1，2)，B(3，1)，C(4，4)为顶点的ABC的位似图形ABC，使得ABC与ABC对应边的比为12，位似中心是坐标原点.资料·交流听课思路把握法 思路就是思考问题的线索，上课时一定要

13、理清思路，教材本身有一条思路，老师讲课有一条思路，这两条思路都反映了某种思维形式、思维规律和思维方法.理清楚这两条思路，并把自己的学习思路融入这两条思路，有助于从根本上掌握学习内容，并培养自己良好的思维品质.经常使用的思维方法有分析综合法、归纳法和演绎法，还有比较法、分类法等.经常使用的思维规律有同一律、矛盾律、排中律、对立统一、量定到质定、否定之否定等.掌握了科学的思维方法和思维规律，也就掌握了最根本的学习方法.归 纳 整 合知识·构架专题·解读专题一 比例线段 比例线段及其性质一直是近年来中考的必考内容对比例的性质要在牢固掌握的基础上加以灵活应用，要分清各性质的不同点及

14、其用途. 例1 已知三个数1、2、，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 . 解析 这是一道开放性的试题，旨在考查发散思维能力由于题中没有明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的数的位置有很大的灵活性，可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此本题便有多种确定方法，从而产生多种不同的答案 答案 设所添的数为x，则由1：2=：x，求出x=；由1：2=x:，求出x=由1：x=：2，求出x=；故这个数为2， 点拨：本题只要求填一个数，因此我们在做题中不要被这种灵活性所困扰，而应避繁就简. 例2 已知的值. 解析 本题主要考查比例的基本性质的应用. 答

15、案 解法一：由等比性质，得 所以，所以 则，x=2k,y=3k,z=4k, 点拨：解法一是利用比例的有关性质求解；解法二是利用方程的观点求解；解法三是用“k值法”求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这个内容.专题二 相似三角形的性质及判定 这部分内容是中考常考的内容在探索图形相似的基本性质、判定条件的过程中，体验图形相似与现实世界的密切联系，体会相似与全等之间的内在联系，进一步培养从图形相似的角度分析现实问题、提出有关的数学问题并加以适当解决的意识和能力. 例3如图4-l所示，已知ABC中，BAC90°，ADBC，E是AC的中点，ED交AB延长线于F.试证明：AB

16、：ACDFAF. 解析 要证明AB：ACDF；AF，需证明ABCFDA，而从图形上结合条件判定是不可能的，因此要转移比例线段由条件知AB：ACBD：AD，故转证BDADDFAF，变为证明FADFDB.这里要避免犯虚构条件，强行说明ABCFDA的错误，要学会转移比例线段. 答案 因为BAC90°，ADBC， 所以C1，故RtADBRtCAB. 所以ABAC=BDAD. 又因为E是AC中点， 所以AEDEEC，所以13. 因为FF，所以FDBFAD. 所以BD：ADFD：FA，所以AB：ACFD：FA. 点拨：用三点定形法确定的三角形不相似时，应考虑用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似

17、，得到比例线段，最后通向结论. 例4 人民公园中有一荷花池.现要测量此荷花池两端A、B两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案. 要求：(1)画出你设计的测量平面图； (2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a,b,c,表示，角度用，表示)； (3)根据你测量的数据，计算A、N两棵树间的距离. 解析 这是一道全开放性题目，着重考查如何借助相似角形等知识解决一类测量问题，测量设计方案并不唯一. 答案 方案一：(1)测量平面图如图42所示.(2)先测量出ACb m，BCc m，再找出AC的中点D，BC的中点E，最后再测量出DE=a m.(3

18、)根据相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似知，所以AB=2DE=2am. 方案二：(1)测量平面图如图43所示. (2)在陆地上找到可以直接到达点A、B的一点O，在AO的延长线上取一点C，并测得OCOA，在BO的延长线上取一点D，并测得OD=OB，这时测出CD的长为a m，则AB的长就是a m.(3)因为由测法可得OCOA，ODOB.又CODAOB，所以CODAOB，所以CD=AB=a m.专题三 感触中考 新课程标准强调数学与实际生活的联系，突出分析问题和解决问题的能力，加强了试题与社会实际和学生生活实际的联系在中考中设置了解决实际问题的开放性和探究性问题，引导学生对

19、创新意识和实践能力的培养 相似形是数学中的主要内容之一，它是全等形的延拓，是研究相似比由k1变为k1的一般情形例5 (2005年·绍兴市)E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上的三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图44(1) (1)在图(2)中，画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在图(1)、(2)中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表.AQ长度 BQ长度AQ、BQ间的关系图(1)中图(2)中 由上表可猜测AQ、BQ间的关系是 (2)上述(1)中猜想AQ、BQ间的关系成立吗?为什么? (3)若将平行四边形ABCD改为梯形(ABCD)其他条

20、件不变，此时(1)中猜测AQ、BQ间的关系是否成立?(不必说明理由) 解析 先由测量数量猜测AQ与QB的关系，再利用平行四边形的性质及相似三角形的性质加以说明 答案 (1)可根据图形实际测量猜测：AQ3QB (2)成立 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以DCAB.从而可得PDFQBF，所以 因为E、F为BD的三等分点，所以. 同理 所以.所以即AQ=3BQ. (3)成立.习题·解题 复 习 题(课本第144页)A组 1所求比值分别为1、1. 2由a,b,c,d成比例，得，即所以a=1(cm). 3由矩形ABCD与矩形EADF相似得 又因为AB=2AE，故AD2=2AE2，即ADAE=:1. 所以矩形ABCD的长与宽之比为 ：1 4ABCADE，ABCAFG，ADEAFG. 都是根据两个角对应相等的两三角形相似判断的 5(1)因为ADEABC，所以ADE=B. 又B50°，所以ADE50° (2)因为A70°，ADE50°，所以AED=180°-70°-50°=60°. (3)由ADEABC，得，即所以DE=6.6(