导数中的“端点效应”问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上导数中的“端点效应”问题不等式恒成立求参数的取值范围的题目一般形式是：当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。一般解法主要有两种：一是直接求函数的最值；二是把参数分离出来，得到或的形式，然后再求函数的最值。纵观近几年的高考试题，利用导数求不等式中某一参数的试题可以考虑使用“端点效应”，即对某个端点进行验证。基本原理：设函数𝑓(𝑥)含参数𝜆，且，𝑓(𝑥) > 0恒成立的𝜆的取值范围为𝐵。 若，由𝑓(𝑥0 ) > 0 ，

2、（此时𝐵 𝐶.） 且当时，𝑓(𝑥) > 0恒成立，则𝐵 = 𝐶. 说明：1.“此时𝐵 𝐶”，是因为𝑥 𝐴，𝑓(𝑥) > 0恒成立的取值范围是由𝑥取集合𝐴中每一个值使𝑓(𝑥)成立的𝜆的所有取值范围的交集确定. 2.设函数𝑓(𝑥)含参数𝜆，且，𝑓(

3、9909;) > 0恒成立的𝜆的取值范围为𝐵，则，使得𝑓(𝑥) 0成立的𝜆的取值范围为；所以特称命题转化为全称命题后，也可以考虑用特殊点效应.（一）端点效应给定原始区间的端点效应 例 1.已知9 𝑥 log𝑎 𝑥 2在上恒成立，则实数𝑎的取值范围是_. 例2.已知函数。 （1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数𝑚的取值范围. 根据以上分析可知，若不等式具有如下特点：验证端点时

4、，发现有成立，也就是不等式中等号成立的条件恰好是已知区间的一个端点，那么，不等式成立就化为不等式成立，假设函数在上是单调增函数，就可以确定实数的一个恰发的范围，使成立，即找到一个使不等式成立的充分条件。接下来还需要证明，不在这个范围内的实数，不能够满足条件。这时只需要找到一个以为端点的区间，当时，从而在上是减函数，因此有成立，这与矛盾，而区间的得到只需要通过解不等式。1.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_.2.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.3.已知函数，当时，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.4.【2008江苏】设函数，若对于总有恒成立，则=_.例3.已知函数。（1

5、）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒有，求的取值范围。例4.设函数。（1）若时，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围。函数在端点处的取值有以下三种情形：（1） 在区间的端点和处均有定义且（2） 在区间的端点或处无定义或区间是无限区间；（3） 在区间的端点或处有或。（二）端点处的取值有意义且不为0例5.【2008天津】设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.例6.若在上恒成立，则实数的取值范围是_【变式1】【2013全国卷】已知函数，当时，求的取值范围。【变式2】【2012江西】已知函数在上单调递减，求的取值范围。【变式3】【2010天津】已知函数，若在区间上恒成立，求的取值范围。例7. 设函数。（1）证明：当时，；（2）设当时，求的取值范围。（二）端点处的取值没有意义且趋于无穷 的定义域是，且当趋于0时，趋于负无穷，当趋于时，趋于正无穷，为了后面方便表述，记。然后不管函数在区间的端点处有没有意义，也不管是否为无穷，我们均记为当趋于时的值。这样的记法为了后面的叙述。例8.【2012新课标】当时，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.例9.【2009江西】已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正，则的取值范围是_.【变式1】不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.（三）变形