定积分的应用

1、中 国 计 量 学 院教案 2009 2010 学年 第 1 学期 二级学院（部、中心） 理 学 院 1 学 科 （ 专 业 ） 公共教学部 1 课 程 名 称 高 等 数 学 1 授 课 对 象 1 授 课 教 师 张书陶 1 职 称 职 务 讲师 1 教 材 名 称 高 等 数 学 2009年 月 日高等数学 课程教案第六章 定积分的其应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 定积分在几何学上的应用授课类型理论课授课时间教学目标或要求： 1掌握元素法的基本思想2能够应用元素法将平面图形的面积转化为定积分问题3熟练地应用本节公式计算平面图形的面积教学重点：1元素法 2平面

2、图形的面积 3立体的体积教学难点：1平面图形的面积的求法； 教学内容: （一）复习概述上章内容，引出本章 （二）讲授新课1定积分的元素法 2直角坐标系下平面图形的面积（重点用实例说明） 3极坐标系下平面图形的面积（重点用实例说明） （三）总结教学手段与方法：以板书讲授为主，使用电子教案思考题、讨论题、作业：作业：P284 2（1）（2）、4、5（1）、10预习：体积 平面曲线的弧长参考资料（含参考书、文献等）：1、高等数学同济大学应用数学系 高等教育出版社2、新编高等数学学习辅导 西安电子科技大学出版社3、高等数学辅导及教材习题解析 朝华出版社第一节 定积分的元素法定积分是求某种总量的数学模型

3、，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善. 因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法微元法，不断积累和提高数学的应用能力.一、 再论曲边梯形面积计算设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。1分割(化整为零) 用任意一组分点 将区间分成 个小区间，其长度为并记 相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记 ；于是 2采样: 以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 3求和: 积零

4、为整，给出“整”的近似值 4取极限: 使近似值向精确值转化 分析: 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将分成部分区间，则相应地分成部分量，而这表明：所求量对于区间具有可加性。(2)用近似，误差应是的高阶无穷小。只有这样，和式的极限方才是精确值。故关键是确定 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。二、元素法1能用定积分计算的量，应满足下列三个条件(1) 与变量的变化区间有关；(2) 对于区间具有可加性；(3) 部分量可近似地表示成。2写出计算的定积分表达式步骤(1) 根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；(2) 设想将

5、区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，求出它所对应的部分量的近似值 ( 为上一连续函数)则称为量的元素，且记作。(3) 以的元素作被积表达式，以为积分区间，得这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式因此，也称此法为微元法。三、小结：1、元素法的提出、思想、步骤 在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法微元法，这个方法的主要步骤如下： （1）由分割写出微元：根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元 ； （2）由微元写出积分：根据写出表示总量的定积分 2、讲解注意

6、:应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点： （1）所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;（2）使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得. 在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意的合理性. 高等数学 课程教案第六章、定积分的其应用 §6.2 定积分在几何学上的应用（二）授课类型理论课授课时间教学目标或要求：1掌握旋转体体积的求法；2掌握截面面积为已知的立体的体积的求法3掌握平面曲线的弧长的求法教学重点： 1旋转体体积的求法2平面曲线

7、的弧长的求法。教学难点： 1截面面积为已知的立体的体积的求法2旋转体体积的求法 教学内容: （一）复习上节内容（二）讲授新课1旋转体的体积2截面面积为已知的立体的体积的求法3平面曲线的弧长（三）总结教学手段与方法：以板书讲授为主，使用电子教案思考题、讨论题、作业：作业：P285 12、18、21、25、28 预习：定积分在物理学上的应用参考资料（含参考书、文献等）：1、高等数学同济大学应用数学系 高等教育出版社2、新编高等数学学习辅导 西安电子科技大学出版社3、高等数学辅导及教材习题解析朝华出版社§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1直角坐标情形 设平面图形由上下两条

8、曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为 . 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为 . 例1 计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积.解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间：0, 1. (3)确定上下曲线： . (4)计算积分：. 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.解 (1)画图. (2)确定在y轴上的投影区间： -2, 4. (3)确定左右曲线：. (4)计算积分：. 例3 求椭圆所围

9、成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为0, a. 因为面积元素为ydx, 所以.椭圆的参数方程为:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素: 由曲线r=j(q)及射线q =a, q =b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为. 曲边扇形的面积为. 例4. 计算阿基米德螺线r=aq (a >0)上相应于q从0变到2p 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解: . 例5. 计算心形线r=a(1+cosq ) (a>0) 所围成的图形的面积. 解: .

10、 二、体 积 1旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴；常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体。 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a 、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。 设过区间a, b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x), 当平面左右平移dx后, 体积的增量近似为DV=pf (x)2dx , 于是体积元素为 dV = pf (x)2dx , 旋转体的体积为. 例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线x=h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径

11、为r、高为h的圆锥体；计算这圆锥体的体积。 解：直角三角形斜边的直线方程为. 所求圆锥体的体积为 . 例7. 计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积。 解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 体积元素为dV= p y 2dx , 于是所求旋转椭球体的体积为 . 例8 计算由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, 直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 =5p 2a 3. 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线

12、左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y). 则 =6p 3a 3 . 2平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a, b, 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为 . 例9 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角a. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 解：取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴, 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为及. 因而截面积为. 于是所求的立体体积为 .

13、例10 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x轴上的点x (-R<x<R)作垂直于x轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为 . 于是所求正劈锥体的体积为 . 三、平面曲线的弧长 设A, B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB上任取分点A=M0, M1, M2, × × × , Mi-1, Mi, × × ×, Mn-1, Mn=B , 并依次连

14、接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段Mi-1Mi都缩向一点时, 如果此折线的长的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB的弧长, 并称此曲线弧AB是可求长的. 定理 光滑曲线弧是可求长的. 1直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 y=f(x) (a£x£b)给出, 其中f(x)在区间a, b上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度. 取横坐标x为积分变量, 它的变化区间为a, b. 曲线y=f(x)上相应于a, b上任一小区间x, x+dx的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x, f(x)处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的

15、长度为 , 从而得弧长元素(即弧微分). 以为被积表达式, 在闭区间a, b上作定积分, 便得所求的弧长为 . 在曲率一节中，已经知道弧微分的表达式为, 这也就是弧长元素。 例11. 计算曲线上相应于x从a到b的一段弧的长度. 解: , 从而弧长元素 . 因此, 所求弧长为 . 例12. 计算悬链线上介于x=-b与x=b之间一段弧的长度. 解: , 从而弧长元素为 . 因此, 所求弧长为 . 2参数方程情形 设曲线弧由参数方程x=j(t)、y=y(t) (a£t£b )给出, 其中j(t)、y(t)在a, b上具有连续导数. 因为, dx=j¢(t)d t , 所

16、以弧长元素为 .所求弧长为 . 例13. 计算摆线x=a(q-sinq), y=a(1-cosq)的一拱(0 £q £2p )的长度. 解: 弧长元素为. 所求弧长为=8a. 3极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 r=r(q) (a £ q £ b )给出, 其中r(q)在a, b上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得 x=r(q)cosq , y=r(q)sinq(a £q £ b ).于是得弧长元素为 . 从而所求弧长为 . 例14. 求阿基米德螺线r=aq (a>0)相应于q 从0到2p 一段的弧长. 解: 弧长元素

17、为 .于是所求弧长为 . 高等数学 课程教案第六章、定积分应用 §6.3 定积分在物理学上的应用授课类型理论课授课时间教学目标或要求：会利用定积分的元素法将功、水压力和引力等物理问题转化为定积分来计算教学重点：用定积分解决物理问题：功、水压力教学难点：1功、水压力、引力； 2定积分的元素法教学内容: （一）复习上节内容（二）讲授新课 1功 2水压力 3引力 （三）总结 教学手段与方法：启发式教学法，使用电子教案思考题、讨论题、作业：作业：P291 6、 8、12 复习：本章内容参考资料（含参考书、文献等）：1、高等数学同济大学应用数学系 高等教育出版社2、新编高等数学学习辅导 西安电

18、子科技大学出版社3、高等数学辅导及教材习题解析朝华出版社第三节 定积分在物理学上的应用一、变力沿直线所作的功例1 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?解：建立如图所示的坐标系将高为的球缺取出水面，所需的力为：其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。由球缺公式 有 从而 十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。 取为积分变量，则，对于上的任一小区间，变力从到这段距离内所作的功。 这就是功元素，并且功为 另解： 建立如图所示的坐标系取为积分变量， 则 。在 上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为 由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为 将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。故功元素为 二、水压力在水深为处的压强为，这里是水的比重。如果有一面积为的平板水平地放置在水深处，那未，平板一侧所受的水压力为 若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计