第四章动态数列

1、第四章第四章 动态数列动态数列本章内容本章内容 第一节第一节 动态数列的编制动态数列的编制 第二节第二节 动态数列水平分析指标动态数列水平分析指标 第三节第三节 动态数列速度分析指标动态数列速度分析指标 第四节第四节 长期趋势的测定与预测长期趋势的测定与预测 第五节第五节 季节变动的测定与预测季节变动的测定与预测 3/1/20221第四章动态数列影影 响响 动动 态态 数数列变动的因素列变动的因素现象变动的趋势分析就是对影响动态数列变化现象变动的趋势分析就是对影响动态数列变化的各种因素进行分析，目的是发现影响现象变的各种因素进行分析，目的是发现影响现象变化的原因，掌握现象发展变化的规律，为预测

2、化的原因，掌握现象发展变化的规律，为预测和决策提供依据。和决策提供依据。第四节第四节 长期趋势的测定与预测长期趋势的测定与预测（1 1）长期趋势（）长期趋势（T T）（2 2）季节变动（）季节变动（S S）（3 3）循环变动（）循环变动（C C） （4 4）不规则变动（）不规则变动（I I）可解释的变动可解释的变动不可解释不可解释的变动的变动3/1/20222第四章动态数列现象在较长时期内受某种根本性因素现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势作用而形成的总的变动趋势现象现象由于自然季节因素（气候条件）由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯季节因素（节假日）更替或人文习惯季节因

3、素（节假日）更替而呈现的而呈现的有规律的周期性变动（年）有规律的周期性变动（年）现象以若干年为周期、上升与下降交现象以若干年为周期、上升与下降交替出现的循环往复的运动。替出现的循环往复的运动。如：经济如：经济增长中：增长中：“繁荣衰退萧条复苏繁荣衰退萧条复苏繁荣繁荣”商业周期。商业周期。现象现象由于临时性、偶然性的因素引起由于临时性、偶然性的因素引起的非周期性或趋势性的随机变动。的非周期性或趋势性的随机变动。 3/1/20223第四章动态数列（1）加法模式：）加法模式：假定四种变动因素相互独立，数列各假定四种变动因素相互独立，数列各时期发展水平是各构成因素总和。时期发展水平是各构成因素总和。

4、Y=T+S+C+I（2）乘法模型：）乘法模型：假定四种变动因假定四种变动因素之间存在着交互作用，数列各时素之间存在着交互作用，数列各时期发展水平是各构成因素之乘积。期发展水平是各构成因素之乘积。 Y=TSCI3/1/20224第四章动态数列一、长期趋势测定与预测的意义1、长期趋势的概念、长期趋势的概念2、测定长期趋势的意义、测定长期趋势的意义:是研究某种现象在一个相当长的时期内持续向是研究某种现象在一个相当长的时期内持续向上或向下发展变动的趋势。上或向下发展变动的趋势。 A、把握现象随时间演变的趋势和规律；、把握现象随时间演变的趋势和规律； B、探求合适趋势线对事物的未来发展趋势作出预测；、探

5、求合适趋势线对事物的未来发展趋势作出预测； C、便于更好地分解研究其他因素（如季节变动）。、便于更好地分解研究其他因素（如季节变动）。3/1/20225第四章动态数列3、长期趋势的基本形式、长期趋势的基本形式（1 1）直线趋势：变化率或趋势线斜率基本不变）直线趋势：变化率或趋势线斜率基本不变（2 2）曲线趋势）曲线趋势长期趋势测定就是用一定的方法对动态数列进行修长期趋势测定就是用一定的方法对动态数列进行修匀，使修匀后的动态数列排除了季节变动、循环变匀，使修匀后的动态数列排除了季节变动、循环变动和无规则变动等因素的影响，显示出现象变动的动和无规则变动等因素的影响，显示出现象变动的基本趋势，此趋势

6、可作为预测的依据。基本趋势，此趋势可作为预测的依据。测定长期趋势的方法测定长期趋势的方法有有时距扩大法时距扩大法移动平均法移动平均法最小平方法最小平方法3/1/20226第四章动态数列二、间隔扩大法二、间隔扩大法间隔扩大法就是把原有动态数列中各时期资料加以间隔扩大法就是把原有动态数列中各时期资料加以合并，扩大每段计算所包括的时间，得出一个较长合并，扩大每段计算所包括的时间，得出一个较长时距的新动态数列，以消除由于时距较短受偶然因时距的新动态数列，以消除由于时距较短受偶然因素影响所引起的波动，从而显示现象变动的趋势和素影响所引起的波动，从而显示现象变动的趋势和方向。方向。月份月份12345678

7、9101112机器机器台数台数414252434551534051495654 季季 度度1234机器台数机器台数135139144159平均机器台数平均机器台数4546.34853表表4-14 某机器厂各月生产机器台数某机器厂各月生产机器台数3/1/20227第四章动态数列 应用间隔扩大法时需要注意：应用间隔扩大法时需要注意： 第一，扩大的间隔多大为宜取决于现象自第一，扩大的间隔多大为宜取决于现象自身的特点。对于呈现周期波动的动态数列，身的特点。对于呈现周期波动的动态数列，扩大的间隔应与波动的周期相吻合；对于扩大的间隔应与波动的周期相吻合；对于一般的动态数列，则要逐步扩大间隔，以一般的动态数

8、列，则要逐步扩大间隔，以能够显示趋势变动的方向为宜。间隔扩大能够显示趋势变动的方向为宜。间隔扩大太大，将造成信息的损失。太大，将造成信息的损失。 第二，扩大的间隔要一致，相应的发展水第二，扩大的间隔要一致，相应的发展水平才具有可比性。平才具有可比性。3/1/20228第四章动态数列是测定动态数列趋势变动的基本方法。是测定动态数列趋势变动的基本方法。对动态数列的各项数值，按照一定的间隔对动态数列的各项数值，按照一定的间隔进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数动态数列，以此削弱形成一个派生的平均数动态数列，以此削弱不规则变动的影响，达到对原

9、序列进行修匀不规则变动的影响，达到对原序列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。的目的，显示出原数列的长期趋势。若原数列呈周期变动，应选择现象的变动若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的间隔长度。周期作为移动的间隔长度。三、移动平均法三、移动平均法(moving average, MA)3/1/20229第四章动态数列奇数项移动平均法奇数项移动平均法1a2a3a4a5a6a7a3321aaa3432aaa3543aaa3654aaa3765aaa2a3a4a5a6a3/1/202210第四章动态数列44321aaaa45432aaaa46543aaaa47654aaaa移动平均2

10、4465435432aaaaaaaa移正平均24454324321aaaaaaaa4212154321aaaaa4212165432aaaaa)4(项例如取nynaaaaaaaaa. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1987654321偶数项移动平均法偶数项移动平均法24476546543aaaaaaaa4212176543aaaaa第四章动态数列 例例 某机器厂各月生产机器台数的移动平均某机器厂各月生产机器台数的移动平均数数月份月份 机器台数机器台数1412423524435456517538409511049115612543项项MA4545.746.746.349.748

11、4846.752535项项MA44.646.648.846.44848.849.8503/1/202212第四章动态数列1、移动平均法对原动态数列具有平滑修匀作用，、移动平均法对原动态数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；移动项数越多，平滑修匀作用越强；2、移动平均项数的选取需视资料特点而定；、移动平均项数的选取需视资料特点而定；3、由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的、由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，移动平均项数与趋势值项数关系为：项数少，移动平均项数与趋势值项数关系为：趋势值项数趋势值项数=原数列项数原数列项数-移动平均项数移动平均项数+1。 不能完整地

12、反映原数列的长期趋势，不便不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。于直接根据修匀后的数列进行预测。3/1/202213第四章动态数列3/1/202214第四章动态数列四、最小平方法 1 1、最小平方法的概念和原理、最小平方法的概念和原理 概念：就是用一定的数学模型对原有的动态概念：就是用一定的数学模型对原有的动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。 原理：原理：动态数列的实际观察值与趋势线的估动态数列的实际观察值与趋势线的估计值的离差平方之和最小，计值的离差平方之和最小， 即：即：2 2、类型、类型 ：直线型、曲线型（抛物线、指数

13、曲线）：直线型、曲线型（抛物线、指数曲线）min)(2cyy原数列的实际值趋势线的估计值yyc3/1/202215第四章动态数列绘制散绘制散点图点图分析数分析数据特征据特征当数据的一阶差分（逐期当数据的一阶差分（逐期增长量）趋近于一常数时，增长量）趋近于一常数时，可以配合直线方程可以配合直线方程当数据的二阶差分当数据的二阶差分（逐期增逐期增长量的增长量）趋近于一长量的增长量）趋近于一常数时，可以配合二次曲常数时，可以配合二次曲线方程线方程当数据的环比发展（增长）当数据的环比发展（增长）速度趋近于一常数时，可速度趋近于一常数时，可配合指数曲线方程配合指数曲线方程3/1/202216第四章动态数列

14、建立直线方程：建立直线方程：关键：关键：求出未定参数求出未定参数a和和b。由最小平方法的原理：由最小平方法的原理：btaycmin)()(22btayyyQc令：3/1/202217第四章动态数列分别对分别对a、b求偏导数，并令其为求偏导数，并令其为0min)()(22bta yy yQc令：动态数列的项数动态数列中各期水平动态数列的时间nyt0)(20)1)(2tbtaybQbtayaQ2tbtatytbnay3/1/202218第四章动态数列解方程整理解方程整理 得：得： t byattyttyttnyttynbtty222222)(.)(3/1/202219第四章动态数列对对a和和b简化

15、简化 为了计算方便，如果为了计算方便，如果t适当取值，使适当取值，使 ，那么，那么，a和和b可以简化为：可以简化为： 方法：当时间数列项数为奇数时，方法：当时间数列项数为奇数时，t可可取：取：，-3，-2，-1，0，1，2，3，；当时间数列是偶数时，当时间数列是偶数时，t可取：可取：，-5，-3，-1，1，3，5，。2tytbynya 0t3/1/202220第四章动态数列例如：某地区粮食产量资料见下表：拟例如：某地区粮食产量资料见下表：拟合趋势方程，并预测合趋势方程，并预测2006年的水平。年的水平。3/1/202221第四章动态数列解：利用直线趋势方程计算某地区粮食产量趋势：解：利用直线趋

16、势方程计算某地区粮食产量趋势：年份年份y199721719982301999225200024820012422002253200328020043092005343合计2347t-4-3-2-101234yc203.71217.98 232.25 246.51 260.78 275.05 289.31 303.58 317.852347.02t2169 4 1 0 1 4 91660ty-868-690-450-248025356092713728563/1/202222第四章动态数列tyynyattybttyyntc267.1478.26078.26092347267.1460856,60

17、,856, 8 .2347, 90522即直线趋势方程为：则，项为原点，有取中间项第千克12.3325267.1478.2602006y3/1/202223第四章动态数列2ctbtayc 适用条件：现象发展各期逐期增长量的增长量（即各期适用条件：现象发展各期逐期增长量的增长量（即各期的二级增长量）大体相同，可以配合抛物线方程。的二级增长量）大体相同，可以配合抛物线方程。 抛物线的一般方程：抛物线的一般方程：此抛物线方程的二级增长量是相等的。如下表所示此抛物线方程的二级增长量是相等的。如下表所示:抛物线方程计算表抛物线方程计算表:t逐期增长量逐期增长量二级增长量二级增长量1a+b+c-2a+2b

18、+4cb+3c-3a+3b+9cb+5c2c4a+4b+16cb+7c2c5a+5b+25cb+9c2c2ctbtayc3/1/202224第四章动态数列分别对分别对a、b、c求偏导数，并令其为求偏导数，并令其为0min)()(2 22ctbta yy yQc令：4322322tctbtayttctbtatytctbnay0)(20)(20)1)(22222tctbtaycQtctbtaybQctbtayaQ由最小平方法的原理：由最小平方法的原理：3/1/202225第四章动态数列对对a、b、c简化简化 为了计算方便，如果为了计算方便，如果t t适当取值，适当取值，使使 ， ，则：，则： 方法

19、：当时间数列项数为奇数时，方法：当时间数列项数为奇数时，t t可取：可取：，-3-3，-2-2，-1-1，0 0，1 1，2 2，3 3，；当时间数列是偶数时，；当时间数列是偶数时，t t可取：可取：，-5-5，-3-3，-1-1，1 1，3 3，5 5，。 0t 03t2tcnay2tbty422tctayt3/1/202226第四章动态数列例如：某工业产品产量资料见下表：拟合趋例如：某工业产品产量资料见下表：拟合趋势方程，并预测势方程，并预测2006年的水平。年的水平。 表表4-21 某工业产品产量某工业产品产量单位：吨单位：吨年份年份产品产量产品产量逐期增长量逐期增长量二级增长量二级增长

20、量19979881998101224199910433172000108037620011126469200211795372003123960720041307688200513827573/1/202227第四章动态数列解：二级增长量显示数据近似于二次曲线。解：二级增长量显示数据近似于二次曲线。年份年份tyty199719981999200020012002200320042005-4-3-2-1012349881012104310801126117912391307138216941014916 -3952-3036-2086-108001179247839215528 15808910

21、8417210800117949561176322112 25681161011681256 988.271011.641042.391080.521126.031178.921239.191306.841381.87 合计合计0103566029527017870810355.672tyt24tcy表表4-22 某工业产品产量抛物线方程计算表某工业产品产量抛物线方程计算表3/1/202228第四章动态数列242269.320.4903.112669.320.4903.1126708607017860295260910356708,60,701782952,10356, 9ttycbacabc

22、attyttyync即抛物线方程为：代入联立方程组得：由上表可知：吨28.1464569. 3520.4903.112622006y3/1/202229第四章动态数列建立指数曲线方程：建立指数曲线方程：求解过程：一般是将指数方程通过取对数转化为直求解过程：一般是将指数方程通过取对数转化为直线方程，然后按直线方程办法求出参数，再对所线方程，然后按直线方程办法求出参数，再对所得结果查反对数还原。得结果查反对数还原。将上式取对数：将上式取对数：tcaby btayclglglgBbAaYyclg,lg,lgc令：BtAYc则：3/1/202230第四章动态数列分别对分别对A、B求偏导数，并令其为求偏

23、导数，并令其为0min)()(22BtAYYYQc令：0)(20) 1)(2tBtAYBQBtAYAQ由最小平方法的原理：由最小平方法的原理：20tBtYnAYt，则简化为：令：2lglglglgtbytany即：2tBtAtYtBnAY3/1/202231第四章动态数列06373.00455.1704614.462730.66704614.4lg2730.6lg2BABAntyttYyY，年份年份净产值净产值ytY=lgytlgyt2lgycyc20005.3-50.7243-3.6215250.72695.331520017.2-30.8573-2.571990.85437.1500200

24、29.6-10.9823-0.982310.98189.5889200312.911.11061.110611.109212.8197200417.131.23303.699091.236717.2461200523.251.36556.8275251.364223.1313合计合计75.3-6.27304.461470-75.2675ttcccabytbtayYbbBaaA1581. 11045.1106373. 00455. 1lglglg1581. 106373. 0lg1045.110455. 1lg指数曲线方程为：则对数趋势方程为：例：某地区工业净产值指数曲线方程计算例：某地区工业净

25、产值指数曲线方程计算千万元则：千万元03.3149161. 1706373. 00455. 1lglglg03.311581. 11045.112006200672006ybtayory3/1/202232第四章动态数列第五节第五节 季节变动的测定与预测季节变动的测定与预测季节变动季节变动：指客观现象由于受自然因素或社会条件的：指客观现象由于受自然因素或社会条件的影响而形成的有规律的变动。季节变动不仅仅是指影响而形成的有规律的变动。季节变动不仅仅是指随一年中四季而变动，而是泛指有规律的、一定周随一年中四季而变动，而是泛指有规律的、一定周期（年、季、月、周、日）重复出现的变化。期（年、季、月、周

26、、日）重复出现的变化。测定目的：一是为当前的决策提供依据；测定目的：一是为当前的决策提供依据； 二是对现象未来的季节变动作出预测；二是对现象未来的季节变动作出预测； 三是为了消除季节变动对动态数列的影响。三是为了消除季节变动对动态数列的影响。测定方法：测定方法：1、不考虑长期趋势影响、不考虑长期趋势影响 按月平均法；按月平均法；2、考虑长期趋势因素，先剔除长期趋势、考虑长期趋势因素，先剔除长期趋势移动平均移动平均趋势剔除法。趋势剔除法。3/1/202233第四章动态数列%100. .全期各月平均数各月平均数IS 资料：时间越长越好，至少应具备有三年的各月份（季度）资料：时间越长越好，至少应具备

27、有三年的各月份（季度）发展水平的资料。发展水平的资料。 步骤：步骤： 列表。将各年同月（季）的数值列在同一栏内；列表。将各年同月（季）的数值列在同一栏内； 将各年同月（季）的数值加总，并求出月（季）将各年同月（季）的数值加总，并求出月（季）平均数；平均数； 将所有月（季）数值加总，求出总的月（季）平将所有月（季）数值加总，求出总的月（季）平均数；均数； 求季节比率（或季节指数）求季节比率（或季节指数）S.I.，其计算公式为：，其计算公式为： 作用：作用： 掌握事物年复一年的季节变动规律；掌握事物年复一年的季节变动规律； 根据季节比率绘制季节变动曲线图；根据季节比率绘制季节变动曲线图；1.进行某

28、些预测，以供决策参考。进行某些预测，以供决策参考。一、按月（季）平均法一、按月（季）平均法3/1/202234第四章动态数列某厂某厂3年围巾销售量季节比率计算表年围巾销售量季节比率计算表1 2 0 0 1 2 0 01 .0 0 0 1 4 1 21 21 1 9 9 .8 3 校 正 系 数个 月 季 节 比 率 之 和 181.35% 1.0001412181.38%125.56% 1.0001412125.58%调整后一月份季节比率调整后二月份季节比率年份年份123456789101112合计合计第一年第一年第二年第二年第三年第三年8211012372658162708438404520

29、28455793454561113158096949014816185134144552720812合计合计31521821612393211215392703993632084月平均数月平均数10572.7724131745139013312157.9季节比率（季节比率（%）181.35125.56124.3570.8153.5412.096.918.6422.45155.44229.71208.981199.83调整后季节比调整后季节比率（率（%）181.38125.58124.3770.8253.5512.096.918.6422.45155.46229.75209.01200.0105

30、100%100%181.35%57.972.7100%100%125.56%57.9一月份平均数例如，一月份季节比率总月平均数二月份平均数二月份季节比率总月平均数月份月份3/1/202235第四章动态数列根据季节比率绘制季节变动曲线图根据季节比率绘制季节变动曲线图3/1/202236第四章动态数列根据季节变动资料进行经济预测：根据季节变动资料进行经济预测：（万条）月份销量（万条）月份销量21.162%75.229%82.70501176.109%46.155%82.705010 例如：已知今年例如：已知今年4月份围巾销量为月份围巾销量为50万条，万条，预测今年预测今年10月、月、11月的销量。

31、月的销量。 解：解： 优点：计算简便优点：计算简便 缺点：没有考虑动态数列中长期趋势的影响。缺点：没有考虑动态数列中长期趋势的影响。某季度预测值某季度预测值 该季季节指数年度预测值4某季的预测值某季的预测值 该季的季节指数已知季度的季节指数已知季度的实际值3/1/202237第四章动态数列 根据动态数列的两种经典模式：从原数列根据动态数列的两种经典模式：从原数列中剔除长期趋势，然后求出季节变动。中剔除长期趋势，然后求出季节变动。 对于对于Y=TSCI 的现象，应采用原数列除以的现象，应采用原数列除以长期趋势的方法剔除长期趋势长期趋势的方法剔除长期趋势T；即：；即：Y/T=SCI 对于对于Y=T

32、+S+C+I的现象，应采用原数列减的现象，应采用原数列减去长期趋势的方法剔除长期趋势去长期趋势的方法剔除长期趋势T；即：；即：Y-T=S+C+I二、移动平均趋势剔除法二、移动平均趋势剔除法3/1/202238第四章动态数列1、除法剔除趋势值求季节比率、除法剔除趋势值求季节比率cyy 对于对于Y=TSCI 的现象，剔除长期趋势的现象，剔除长期趋势T的的步骤：步骤： 1）用移动平均法求出长期趋势）用移动平均法求出长期趋势T. 如为季节资料，用如为季节资料，用4项移动平均后，再用一次项移动平均后，再用一次2项移正平项移正平均，便得趋势值均，便得趋势值yc ； 2）将原数列实际数值除以同时期趋势值，）

33、将原数列实际数值除以同时期趋势值，求求 ； 3）将）将 比率重新按年按月（季）编排，比率重新按年按月（季）编排，求出各年同月（季）的平均季节比率；求出各年同月（季）的平均季节比率； 4）计算校正系数，用校正系数乘上各月）计算校正系数，用校正系数乘上各月（季）的平均季节比率，使其总和等于（季）的平均季节比率，使其总和等于1200%或或400% ，得校正后的各月（季），得校正后的各月（季）季节比率。季节比率。cyy3/1/202239第四章动态数列年年份份季季度度销售量销售量（万条）（万条）y第第1年年12162633184255第第2年年12452753224378第第3年年1288299326

34、43994项项MA138145.25148.25149.25180190.75196.75197.752032项移正平项移正平均均yc141.625146.75148. 75164.625185.375193.75197.25200.375除法剔除趋势值除法剔除趋势值y/ yc （%）12.71173.76164.7145.5611.87195.097146.0149.41表表4-27 某厂围巾销量除法剔除长期趋势计算表某厂围巾销量除法剔除长期趋势计算表3/1/202240第四章动态数列季节指数季节指数(%)155.5347.5412.30184.63400.00年份年份季季 度度合计合计12

35、34第第1年年12.71173.76 第第2年年164.7145.5611.87195.097第第3年年146.0149.41表表4-28 季节比率计算表季节比率计算表合合 计计310.7294.9724.58368.857校正系数校正系数1.001091.001091.001091.00109平平 均季节比率均季节比率155.3647.48512.29184.429399.5643/1/202241第四章动态数列季节变动图示季节变动图示3/1/202242第四章动态数列2、减法剔除趋势值求季节变差、减法剔除趋势值求季节变差cyy 对于对于Y=T+S+C+I 的现象，剔除长期趋势的现象，剔除长期趋势T的步骤：