数学中的“形”---尺规作图

1、2013年度安庆市数学学科教学论文评选参评论文数学中的“形”-尺规作图刘 进 安庆田中尺规作图是起源于古希腊的一个数学课题。在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。在这以前，许多作图题是不限工具的。自伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在几何原本之中。下面将简单地介绍一下尺规作图：一、尺规作图的基本要求直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两

2、个点连在一起，不可以在上画刻度。 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。 只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次。二、五种基本作图作一个角等于已知角 平分已知角 作已知线段的垂直平分线 作一条线段等于已知线段 过一点作已知直线的垂线 三、尺规作图基本方法通过两个已知点可作一直线。 已知圆心和半径可作一个圆。 若两已知直线相交，可求其交点。 若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 若两已知圆相交，可求其交点。 四、尺规作图中的著名古典难题三等分角不能问题； 立方倍积不能问题； 化圆为方不能问题。 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几里得几

3、何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837年，法国数学家万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，首次证明了“立方倍积不能”不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。而后在1882年德国数学家林德曼证明是超越数后，“化圆为方不能”也被证明为尺规作图不能问题。而“三等分角不能”的证明最难，所用的方法要用到群论知识。群论是由只活了21岁的伽罗瓦和只活了27岁的阿贝尔两人创立的。还有，若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多“不可能”的证明依然是利用了群理论。近日在网上不断有人声称他“破解”了“三等分角不能”这个难题，现举两个流传较为广泛的例子，

4、笔者通过认真验算，将提出一点儿不同的看法。例1：将三等分作法：作的平分线连接，交于，过作，与交于，作取的中点，作与交于作关于的对称点连接、，则、即为所求。反证：设显然，假设成立，那么由卡丹判别式：，所以必有不同的三个实数根。又由令则，构造函数令时，00解得：，均不合题意，舍去。所以，这就说明当时，这种三等分角的作法才有意义。例2：将三等分作法： 建立平面直角坐标系，作半径为的，使得顶点在原点，落在x轴上在第四象限内，截取作，连接，过作，与交于作，与交于连接，则即为所求。原证明如下：作，与交于，连，作，则四边形为矩形四边形为矩形与阿基米德的作法相似，且避免了取点的漏洞！乍一看，真是一个了不起的证

5、明，简单明了！但仔细推敲，问题在于“四边形为矩形”这一论断未必成立，究其原因是作法中弓形与弓形不是相似弓形！反证：设假设成立，则这与的任意性矛盾！也就是说，当知道的具体度数时，还要通过具体的计算，这时这种三等分角的作法才有意义。三等分角看上去最简单，尝试的人可能也是最多的，但它又是一个的的确确不可能的问题。为什么不能三等分？高中选修36三等分角与数域扩充中的群理论会告诉你：尺规作图是有边界的，三等分角在这边界之外。北京师范大学钱珮玲教授在她编著的数学思想方法与中学数学(第二版)第8章中，特意选择了关于三等分角的案例，来着重说明“实数数域的二次扩充”的理论是不能支持三等分角的。换句话说：我们用尺

6、规作图可以作任意角的平分线，而这个步骤又可以一直进行下去。于是就可以得到这个角的 ，而，可以知道这 与尺规作图中的“有限步”相矛盾！即便这样，还是丝毫不会影响人们对未知世界的探索，这里面仍旧包括三等分角的问题。所以说，尺规作图必然是一个有研究价值和研究前途的数学内容。在我国民间早有画正五边形的口诀:“九五顶五九,八五两边分。” 下面就来介绍一下圆内接正五边形的尺规作法： 以为圆心，定长为半径画圆，并作互相垂直的直径平分半径，得以为圆心，为半径画弧与交于，那么即为正五边形的边长。 以为弦长，在圆周上截得各点，顺次连接这些点即得正五边形如图。笔者通过反复验算，现给出如下证明：连接，设的半径为，正五

7、边形的边长为，即正五边形，即，即解出：由垂径定理易知：解出：故，于是为正五边形的边长。人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作？得不出结论来！这个悬案一直悬而未决两千余年。17世纪的费马，他研究了形如的数之后，提出了一个著名猜想：都是素数。对于时，容易算出验证一下，这五个数的确是素数。是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现是两素数之积：。欧拉还发现，不仅不是素数，也不是素数，等还不是素数，甚至对于也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道。至今，人们还只知这样5个数是素数。由于除此而外还未发现其他素数，于

8、是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想：的素数只有有限个。但对此也未能加以证明。当然，更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现不是素数60多年之后。年仅20岁高斯发现，当正多边形的边数是费马数时是可以尺规作图的，并给出了一般的结论：正边形可尺规作图的充要条件是或。就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连。高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何尺规作图的正三边形、正五边形，进而还知道了它们为什么能用尺规作图？因为3和5都是费马数；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为、而。对

9、于很久以来未找到办法来作出的正七边形，甚至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能尺规作图！因为7、11、13都不是费马数；顺便说一下，根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形。对于正65537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它是可以尺规作图的（证明还是利用了伽罗瓦的群理论）。高斯最初的一项成就就是作出了正17边形，高斯本人对此也颇为欣赏，其图形完美、好看，而且在他的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案。下面我们来论证正十七边形尺规作图的可行性： 先证明可以根式解： 设正17边形中心角为，则，那么 由积化和差公式，得： 且 令 则 经计算

10、知： 再由令: 再由它是实数的加减乘除平方根的组合，故正17边形可以尺规作图。下面介绍正十七边形尺规作图：作的两条互相垂直的半径，在上作点使，在上作点使作反向延长线上点，使得；作中点，并以为圆心作一圆过点， 此圆交于点，再以为圆心，作一圆 过点，此圆交直线于和两点；过作垂直线交圆于，过作垂直线交圆于；以为基准圆，为正十七边形第1顶点，为第4顶点，为第6顶点；以为半径，在此圆上截出正十七边形的所有顶点。 尺规作图之所以吸引人们的注意，还有一个重要的原因，就是它在生活中的广泛运用。例如下面这个例题：如图，为内任意一点，过点作一直线将的面积一分为二。先给出作法：连作，使得 过作交于三点作圆，与交于连，交于，则直线即为所求。再给出分析证明：当恰在任意一边的中线上时，那么显然这条中线就是要作的直线。若不在任何一条中线上，如图（9）不妨设在内，且过直线恰平分。若落在上，即，由可知：不可能与相交，所以一定在线段上，一定在线段上。连接 用尺规作图来画图十分方便！尺规作图不仅仅工具简单，使用方法也最简便，免去了度量，准确度更高。这种只限于用尺、规，作出符合一定条件的几何图形，无疑是一种很强的约束力，这种约束力要求学习者具有较强的数学思维能力和操作能力。这种约束