数学思想辅导

1、 训训 练练 题题 （一）（一）数学的方程思想数学的方程思想 方程和方程组是解决应用题、实际问题和方程和方程组是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未范围非常广泛。很多数学问题，特别是有未知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知数的几何问题，就需要用方程或方程组的知识来解决，在解决问题时，把某个未知量知识来解决，在解决问题时，把某个未知量设为未知数，设为未知数，根据有关的性质、定理或公式根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，建立起未知数和已知数间的等量关系，列列出方程或方程

2、组出方程或方程组来解决，这就是方程思想。来解决，这就是方程思想。具有方程思想就能够很好地求得问题中的未具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。学问题，特别是综合题，是非常需要的。1.1.若单项式若单项式2a2am m+ +2n2nb bn-2m+2n-2m+2与与a a5 5b b7 7 是同类项，则是同类项，则n nm m的值是的值是( )( ) A.-3 B.-1 C.1/3 D.3 A.-3 B.-1 C.1/3 D.3C C【分析】据同类项的定义，运用方程的思想即可求得【分析】

3、据同类项的定义，运用方程的思想即可求得. .31n3n1m72m2n5n2mm 解：解： ，故选择，故选择C.C.ABCDPQ2已知：如图，正方形已知：如图，正方形ABCD的边长的边长为为4，PQA是其内接等边三角形。是其内接等边三角形。 求：求：PB的长。的长。解： 设PB=x 四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB=BC=CD=AD=4,B=C=D=90APQ是等边三角形是等边三角形AP=PQ=AQ在在RtABP和和RtADQ中，中，AP=AQ，AB=AD RtABP RtADQBP=DQ= xCP=CQ=4- x在在RtABP中，中，AP2 = AB2+ BP2=42 x 2在在R

4、tPCQ中中PQ2= CP2 + CQ2=（4- x）2+（4- x）242 x 2=（4- x）2+（4- x）2x 2-16x+16=0解得解得PB的长为的长为348,34821xx3484.3481xx?348x44-x4-xx 3如图，如图，AB为为 O的弦，半径的弦，半径 于于D， （1）若）若CD=2，则，则 O的半径长为的半径长为 （2）若）若OD=3，则，则 O的半径长为的半径长为52OCABABCDOr52r-22在在RtRtAODAOD中，中，ADAD2 2=OA=OA2 2-OD-OD2 2=r=r2 2- -（r-2r-2）2 2在在RtRtAODAOD中，中，ADAD

5、2 2=AC=AC2 2-CD-CD2 2= =（ ）2 2-2-22 2r r2 2- -（r-2r-2）2 2= =（ ）2 2-2-22 2r=5r=552525在在RtRtAODAOD中，中，ADAD2 2=OA=OA2 2-OD-OD2 2=r=r2 2-3-32 2在在RtRtAODAOD中中,AD,AD2 2=AC=AC2 2-CD-CD2 2= =（ ）2 2- -（r-3r-3）2 2r r2 2-3-32 2= =（ ）2 2- -（r-3r-3）2 2r r2 2 -3r-10=0-3r-10=0解得解得r r1 1=5=5，r r2 2=-2=-2（舍去）（舍去）ABC

6、DO3rr-35252552AC4已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，B90AB14cm，AD18cm， BC21cm，点，点P从点从点A开开始沿始沿AD边向点边向点D以以1cm秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点C开始沿开始沿CB边向点边向点B以以2cm秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P、Q分别从分别从A、C同时出发。设移动的时间为同时出发。设移动的时间为t求（求（1）t为何值时，梯形为何值时，梯形PQCD是等腰梯形；是等腰梯形；（2）t为何值时，为何值时，AB的中点的中点E到线段到线段PQ的距离的距离为为7 cm。QCBPADEQCBPADE211814

7、2tt21-2tMN33（1）t为何值时，梯形为何值时，梯形PQCD是等腰梯形；是等腰梯形；解：分别解：分别过过P、D作作PMBC于，于，DNBCBC于于N N，得到矩形得到矩形ABND和矩形和矩形ABMPAP=BM=tAP=BM=t，BN=AD=18BN=AD=18，CN=BC-BN=21-18=3CN=BC-BN=21-18=3当梯形当梯形PQCD是等腰梯形时，是等腰梯形时，PQ=DC，PQM=PQM=C CPMQ=PMQ=DNC=90DNC=90PQDPQDDCNDCNQM=CN=3QM=CN=3BQ=BC-CQ=21-2t,BQ=BC-CQ=21-2t,QM=BM-BQ=t-QM=BM

8、-BQ=t-（21-2t21-2t）=3t-21=3t-213t-21=33t-21=3t=8t=8（秒）（秒）当当t t为为8秒时，梯形秒时，梯形PQCD是等腰梯形；是等腰梯形；PAQCBPADE142tt21-2tMN3t-2114（2）t为何值时，为何值时，AB的中点的中点E到线段到线段PQ的距离为的距离为7 cm。F（2）过）过E作作EF PQ于于F,连结连结PE,EQ，当，当EF=7时时。 AE=BE= AB= 14=7（）（）AE=EF=BE，ADBC，B90A90PE=PE,EQ=EQRtAEPRtFEP，RtBEQ RtFEQPA=PF=t，BQ=FQ=21-2tPQ=PF+F

9、Q=21-t在在RtPQM中，中，PM=14,QM=3t- 1PM2+QM2=PQ2142+（3t-21）2=（21-t）2 解得解得t1= ，t2=7当当t为为 或或7时，时，AB的中点的中点E到线段到线段PQ的距离为的距离为7 cm。27272727272121 二、二、分类讨论思想：分类讨论思想：在解答某些数学在解答某些数学问题时问题时,因为因为存在一些不确定的因素存在一些不确定的因素,解解答无法用统一的方法或结论不能给出答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述统一的表述,对这类问题依情况加以分对这类问题依情况加以分类类,并逐类求解并逐类求解,然后综合求解然后综合求解,这种解这种解题的

10、方法叫分类讨论法题的方法叫分类讨论法,它是一种极其它是一种极其重要的数学思想方法重要的数学思想方法.分类讨论设计全分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。归纳，得出正确答案。1已知直角三角形的两条边长分别已知直角三角形的两条边长分别 和和 ，则斜边上的高为，则斜边上的高为 _ ?263

11、62或或63632在在ABC中，中，AB=AC，AB的中垂线与的中垂线与AC所所在直线相交所得的锐角为在直线相交所得的锐角为50，则底角，则底角B的大小的大小为为 。 3如果一次函数如果一次函数y=kx+b的自变量的自变量x的取值范围是的取值范围是 2x6，相应函数值的范围是，相应函数值的范围是-11y9，则这个，则这个一次函数的解析式为一次函数的解析式为 ABCABC505040402020707020或或70 3如果一次函数如果一次函数y=kx+b的自变量的自变量x的取值范围是的取值范围是 2x6，相应函数值的范围是相应函数值的范围是-11y9，则这个一次函数的解析式，则这个一次函数的解析

12、式为为_. 解：（解：（1）当）当k0时，时，y=kx+b中，中，y随随x的增大而增大，的增大而增大， x=-2时，时，y=-11, x=6时，时，y=9, , , 函数解析式为函数解析式为y= x-6。 （2）当）当k0)元，求丁老师这笔稿费元，求丁老师这笔稿费有多少元。有多少元。 750解：设丁老师这笔稿费为解：设丁老师这笔稿费为x元，元，a0, x800, （1）当）当800 x4000时，丁老师应纳税时，丁老师应纳税(x-800)14%元，由已知得元，由已知得 (x-800)14%=a, x= a+800 800a+8004000 0a448, 即当即当00, x800, （1）当）当

13、800 x4000时，丁老师应纳税时，丁老师应纳税(x-800)14%元，由已知得元，由已知得 (x-800)14%=a, x= a+800 800a+8004000 0a448, 即当即当04000时，丁老师所纳税时，丁老师所纳税x12%元，元， 12%x=a, x= a, a4000, a480。 即即a480时，时，x= a= a。 答：当丁老师所纳税答：当丁老师所纳税a(元元)不超过不超过448元时，丁老师的稿元时，丁老师的稿费是费是( a+800)元，当丁老师所纳税元，当丁老师所纳税a(元元)超过超过480元时，元时， 丁老师获得的稿费是丁老师获得的稿费是 a。 7503253251

14、21001210012100 7.7.在下图三角形的边上找出一点，使得该点与在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！三角形的两顶点构成等腰三角形！A AC CB B505011011020201、对、对A进行讨论进行讨论2、对、对B进行讨论进行讨论3、对、对C进行讨论进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110（分类讨论）（分类讨论）A AC CB B50501101102020CABCAB5080508.8.如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一

15、边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个? ?150a9. 如图，直线如图，直线AB经过圆经过圆O的圆心，与圆的圆心，与圆O交于交于A、B两点，点两点，点C在在O上，且上，且AOC=30度，点度，点P是直线是直线AB上的一个动点（与点上的一个动点（与点O不重不重合），直线合），直线PC与圆与圆O相交于点相交于点Q，问点，问点P在直线在直线AB的什么位置时，的什么位置时，QP=QO？这样的点？这样的点P有几个？并相应地求出有几个？并相应地求出OCP的度数。的度数。ABCPOQ解：解：OQ=O

16、C，OQ=OP OQC=OCQ，QOP=QPO 设设OCP=x度度 , 则则有：有：（2）如果点）如果点P在线段在线段OB上，显然有上，显然有PQOQ，所以点，所以点P不可能在不可能在线段线段OB上。上。（1）如上图）如上图,当点当点P在线段在线段OA上时，上时，OQC=OCP=x, QPO= （180OQP）= （180 x)又又QPO=OCP+COP， (180 x)=x+30, 解得解得x=40, 即即OCP=40度度212121ABCPOQ30 xX+30 x+x+x+30+30=180 x=40 xX+30QPOCBA30 x180-x180-x180-x-30180-x-30+18

17、0-x-30+180-x=180X=100OQCPBA30 x30-x+30-x=xX=2030-xx30-xQPOCBA（3）如图，当点在的延长线上时，）如图，当点在的延长线上时， OQC=OCQ=180， OPQ= 180-（180 x)= x. 又又QCO=CPO+COP， (180 x)= x+30, 解得解得x=100 即即OCP=100度度2121（4）如图当在的延长线上时，）如图当在的延长线上时， OQC= OCQ=x,OQC=QPO+QOP, QPO= OQC= x, 又又COA=OCP+CPO, 解方程解方程30=x+ x, 得到得到x=20 即即OCP=20度度212121

18、21OQCPBA1. 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，动点中，动点P从点从点B出发，沿出发，沿BC、CD、DA运动至点运动至点A停止，设点停止，设点P运动的路运动的路程为程为x，ABP的面积为的面积为y，如果，如果y关于关于x的函数的函数图象如图图象如图2所示，则所示，则ABC的面积是（的面积是（ ） A、10 B、16 C、18 D、20A2. 如图，如图，C为线段为线段AE上一动点（不与点上一动点（不与点A，E重重合），在合），在AE同侧分别作正三角形同侧分别作正三角形ABC和正三角和正三角形形CDE、AD与与BE交于点交于点O，AD与与BC交于点交于点P，BE与与CD交于点交于点Q，

19、连结，连结PQ.以下五个结论：以下五个结论： AD=BE；PQAE；AP=BQ； DE=DP；AOB=60. 恒成立的结论有恒成立的结论有_（把你认（把你认为正确的序号都填上）。为正确的序号都填上）。?Q?P?O?B?E?D?C?A 3一组线段一组线段AB和和CD把正方形分成形状相同，把正方形分成形状相同，面积相等的四部分，现给出四种方法，如图所示，面积相等的四部分，现给出四种方法，如图所示，请你从中找出线段请你从中找出线段AB，CD的位置关的位置关系：系： ；线段；线段AB，CD存在的规律：存在的规律： ； 符合这种规律的线段共有无数符合这种规律的线段共有无数 组。组。ABCD 无数无数 A

20、B和和CD经过正方形经过正方形ABCD的中心且的中心且ABCD，AB=CD 4如图如图1，图，图2，四边形，四边形ABCD是正方形，是正方形，M是是AB延长延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角，且直角顶点顶点E在在AB边上滑动（点边上滑动（点E不与点不与点A，B重合），另一重合），另一条直角边与条直角边与CBM的平分线的平分线BF相交于点相交于点F。如图如图1，当点，当点E在在AB边的中点位置时：边的中点位置时：通过测量通过测量DE，EF的长度，猜想的长度，猜想DE与与EF满足的数量关满足的数量关系是系是 ；连接点连接点E与与AD边的中点边

21、的中点N，猜想，猜想NE与与BF满足的数量关满足的数量关系是系是 ；请证明你的上述两猜想。请证明你的上述两猜想。 图图1 1图2 图图2 2 NE=BF DE=EF证明证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB=AD,A=ABC=90MBC=90BF平分平分CBM，CBF=MBF=45DNE=90+45=135N，E分别为分别为AD，AB的中点，的中点，DN=EB=AE=ANANE=AEN=45EBF=90+45=135DNE=EBFNDE+DEA=90，BEF+DEA=180-DEF =180-90=90，NDE=BEFDNE EBF DE=EF，NE=BF 图图1 1如图如图2，当

22、点，当点E在在AB边上的任意位置时，请你在边上的任意位置时，请你在AD边边上找到一点上找到一点N，使得，使得NE=BF，进而猜想此时，进而猜想此时DE与与EF有有怎样的数量关系。怎样的数量关系。图2 图图2在在DA边上截取边上截取DN=EB（或截取（或截取AN=AE），连结），连结NE，点点N就使得就使得NE=BF成立成立.此时，此时，DE=EF。N5如图，点如图，点A在在Y轴上，点轴上，点B在在X轴上，且轴上，且OA=OB=1，经，经过原点过原点O的直线的直线L交线段交线段AB于点于点C，过，过C作作OC的垂线，的垂线，与直线与直线X=1相交于点相交于点P，现将直线，现将直线L绕绕O点旋转，

23、使交点点旋转，使交点C从从A向向B运动，但运动，但C点必须在第一象限内，并记点必须在第一象限内，并记AC的的长为长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）通过动手测量线段）通过动手测量线段OC和和CP的长来判断它们之间的的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。大小关系？并证明你得到的结论。（2）当）当AOC和和BCP全等时，求出全等时，求出t的值。的值。 （3）设点设点P的坐标为（的坐标为（1,b）,试写出试写出b关于关于t的函数关系的函数关系式和变量式和变量t的取值范围。的取值范围。求出当求出当PBC为等腰三角形为等腰三角形时点时点P的坐标。的

24、坐标。解：（解：（1 1）OC=CPOC=CP证明：过点证明：过点C C作作DEOA于于D，交直线交直线BPBP于点于点E E，直线直线BEBE的解析式为的解析式为X=1X=1，BEOB，AOB=9OAOB=9O四边形四边形DOBEDOBE为矩形，为矩形，OD=BEOD=BE，OA=OB，ABO=OAB=45ABO=OAB=45CBE=BCE=45CBE=BCE=45CE=BEOD=CECE=BEOD=CEOCCP1+2=9O1+2=9O2+3=9O2+3=9O1=31=3ODC=CEP=9OODC=CEP=9OODCODCCEPCEPOC=CPOC=CP1（）23（DE（2）当）当AOC和和BCP全等时，求出全等时，求出t的值。的值。 （2 2）AOCAOCBCPBCPOA=BC=1OA=BC=1，AB=AC+BC=t+1AB=AC+BC=t+1在在RtAOB中，中，OAB=45OAB=45AB2 =OA2+OB2（t+1）2=1=12 2 +1+12 2t t1 1= t= t2 2=- =- （舍去）（舍去）t t的值为的值为12 12 12 1（）23（DE3）