数学解题的策略

1、数 学 解 题 的 策 略南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹从高考试题谈认识高考命题的基本思想坚持考查坚持考查基础知识基础知识和和重点内容重点内容 试题以课本例习题为主要来源试题以课本例习题为主要来源 源于课本而不高于课本源于课本而不高于课本, 源于课本而略高于课本源于课本而略高于课本, 源于源于课本之外课本之外的不常见新颖题的不常见新颖题 坚持考查基础知识和重点内容坚持考查基础知识和重点内容 小题重在对基础知识的小题重在对基础知识的直接运用直接运用， 大题重在对重点内容的思维探索大题重在对重点内容的思维探索 能力立意能力立意, 强调创新意识强调创新意识 小题重在区分思维层次小题重在区分思

2、维层次, 大题重在解决新问题大题重在解决新问题 淡化在知识网络的交汇处设计命题淡化在知识网络的交汇处设计命题 对综合性有一定要求但不高对综合性有一定要求但不高, 设置小题设置小题, ,梯度合理梯度合理, , 大多数题起点低、思路宽、方法多大多数题起点低、思路宽、方法多, 利于施展才华利于施展才华 试题不过分追求新颖试题不过分追求新颖 新颖而不过分新颖而不过分, , 难度适中难度适中, 表面容易表面容易, , 得满分也非易事得满分也非易事. “小题”对能力的考查 从不同思维层次上进行考查从不同思维层次上进行考查 解题过程蕴涵不同的思维层次解题过程蕴涵不同的思维层次 以简缩思维解题以简缩思维解题

3、直接抓住本质直接抓住本质 甚至于无须动笔甚至于无须动笔 大大节省时间大大节省时间 模仿训练的套路模仿训练的套路 机械作答机械作答 花费时间花费时间 形成简缩思维的最有效途径形成简缩思维的最有效途径 勤于反思，善于勤于反思，善于概括，概括， 获得获得“生成性知识生成性知识”自己的知识自己的知识 大题对能力的考查大题大题解决解决“新问题新问题”的能力的能力“新问题新问题”：情景新情景新 题型新题型新 设问新设问新 方法新方法新 解决新问题解决新问题“从无到有从无到有”探索能力探索能力和创造意识和创造意识 怎样在陌生的情境下怎样在陌生的情境下, 从题意的挖掘开始从题意的挖掘开始, 一步一步找到一步一

4、步找到 解决问题的途径解决问题的途径, 是从不知到知是从不知到知, 从不懂到懂从不懂到懂, 从不会到会从不会到会, 从从 不明白到明白的不明白到明白的“从无到有从无到有”的实现过程的实现过程,这就是这就是探索能力探索能力. 不是说，只能按照不是说，只能按照熟悉的题型熟悉的题型, 习惯的方法习惯的方法, 见过的面孔见过的面孔 去解决问题去解决问题, 自己完全不知道在陌生的情境下自己完全不知道在陌生的情境下, 怎样从条件出怎样从条件出 发找到问题的解决发找到问题的解决.数学解题的基本策略策略策略(1):怎么着手解题怎么着手解题1)它是一个什么问题？它要求它是一个什么问题？它要求(证证)的是什么？的

5、是什么？ 是什么范畴的问题？是什么范畴的问题？ “盯着目标盯着目标”求求(证证)什么？什么？ 2)现有哪些材料现有哪些材料题设中的条件题设中的条件3)有哪些工具有哪些工具已经学过的相关知识和方法已经学过的相关知识和方法4)还缺少什么材料？还缺少什么材料？ 能否从现有的材料和工具中找到它们？能否从现有的材料和工具中找到它们？5)如何利用这些材料和工具？如何利用这些材料和工具？6)是否还有条件没有利用？如何利用？是否还有条件没有利用？如何利用？ 策略策略(2): 运用运用“提示语提示语”理解题理解题意意运用运用提示语提示语理解题意理解题意提高探索能力的要诀提高探索能力的要诀 它它是什么？是什么？如

6、何表示？如何表示？ 它它有什么性质？有什么性质？这些性质如何表示？这些性质如何表示？ 它们之间它们之间有什么关系有什么关系? 这些关系如何表示这些关系如何表示? 它是否与其它问题它是否与其它问题, 方法方法, 信息信息相联系相联系? 理解题意理解题意解题最重要的环节解题最重要的环节 波利亚波利亚：理解了题意，相当于解决了问题的一半：理解了题意，相当于解决了问题的一半. 理解了题意，往往能直接找到问题的解理解了题意，往往能直接找到问题的解法法“它它” 名词、句子、概念、关系、符号、表达式、名词、句子、概念、关系、符号、表达式、 上下标、图形、图中的点线面上下标、图形、图中的点线面，等，等 还可以

7、还可以如何表示如何表示6. 抛物线抛物线 y = 4 x2上的一点上的一点 M 到焦点的距离为到焦点的距离为1, 则点则点 M 的的纵坐标纵坐标是是( ) (A) (B) (C) (D) 0 y0 =1- -M与与F 距离为距离为 1,准线准线“是什么是什么”画图画图 MF = MG =1,(B)16151617161587走弯路走弯路常规方法常规方法, 两点距离两点距离抛物线抛物线“是什么是什么”定定义义.161y策略策略(3): 画一张图画一张图161纵坐标是什么纵坐标是什么?16. 若若 3a = 0.618, ak, k+1, kZ . 则则 k= . 3- -1 = 0.33 a-

8、-1, 0 k =- -1. 3a函数函数图象图象y = 3x ak, k+1是什么是什么?3a = 0.618是什么是什么?是什么是什么? 3a a 是什么是什么?问题问题数学数学符号符号怎么表示？怎么表示？还可以还可以怎么表示？怎么表示？用用“函数思想函数思想” 3a = 0.61830 = 1抽象符号具体化抽象符号具体化 0.6183aa3- -13a 30 - -1a 0 观察观察 f (x) = (xR)，区间，区间 M= a, b (a b)，集合，集合N = yy = f (x)， xM ，使，使 M = N 成立的实数对成立的实数对(a , b)有有( ). (A) 0个个 (

9、B) 1个个 (C) 2个个 (D) 无数个无数个1.它是什么它是什么?每个对象的意义每个对象的意义 (数学表示数学表示?)2.它有何性质它有何性质?每个对象的性质每个对象的性质 (数学表示数学表示?)3.它们有什么关系它们有什么关系? (数学表示数学表示? )xx1它有什么性质它有什么性质? 它们有什么关系它们有什么关系?它是什么它是什么? M, N, (a, b) 每个对象的意义是什么？每个对象的意义是什么？M 与与 N 不可能不可能 相等相等. 选选 A. a, b 数集数集; (a, b)数对数对M, N 都是数集都是数集, 表示不同表示不同.理解题意理解题意 理解什么理解什么 MM的

10、象集合的象集合f (x)N f (x) 与对应与对应 x 反号反号(“反号性反号性”) f (x): (+) (- -), 或或 (- -) (+) f (x): M(跨跨原点区间原点区间) N, 缩小缩小|f (x)|1 |f (x)|x|(“收缩收缩性性”) 问题是什么？问题是什么？策略策略(5)：生成知识生成知识 迁移方法迁移方法 简缩思维简缩思维 虽然虽然, , 通法是基本的通法是基本的, , 但随着解题但随着解题的的深入深入, , 不断形成新的概括不断形成新的概括, , 从而从而不断不断生成生成 新知识新知识, , 新方法新方法, , 新认识新认识, , 新体验新体验, , 思维层次

11、也应随之提高思维层次也应随之提高. . 如果知识和方法不具有如果知识和方法不具有 生成生成力力, , 迁移力迁移力, , 始终停留在最初的层面始终停留在最初的层面, ,那么那么思维层次思维层次就只能就只能 停留在较低的水平上停留在较低的水平上, ,达达不不到提高能力的作用到提高能力的作用立几题立几题: 正方体正方体 ABCD- -A1B1C1D1 的棱长为的棱长为 4, O是上底面中心是上底面中心, P 在在CC1上上, CC1 = 4 CP .(2)点点O在面在面APD1上的射影是上的射影是H , 求证求证HD1AP .OC1D1B1CA1ABDPHH是点是点O的射影的射影D1H是是 D1O

12、的射影的射影.D1O面面 AC1D1OAPO, H是什么是什么? 射影有什么性质？射影有什么性质？三垂线定理三垂线定理D1H, D1O, AP有什么关系有什么关系?D1HAP (2)Q 是是已知椭圆已知椭圆上一点上一点, 过过Q点点和和焦点焦点F 的的直线直线 l 交交 y 轴于轴于点点 M, , 求直线求直线 l 的的斜率斜率M(0, km), 图形语言图形语言QFMQ21342222mymx文字语言文字语言QFMQ2有有 |x| = 2| - -m- - x| , 得得 x = 2 (m + x) .x1 = - -2m322mxy1 =- -km32kmy 将将 (x1, y1), (x

13、2, y2) 代入已知代入已知椭圆椭圆方程方程. 62k得得 k = 0,画画图图(0, km)(x, y),(- -m, 0)解析几何语言解析几何语言解此方程得解此方程得图形语言图形语言符号语言符号语言设设 Q(x, y), 向量语言向量语言焦点焦点F(- -m, 0),直线直线 l: y = k(x + m)还可还可怎么怎么表示表示是什么是什么?怎么表示怎么表示?几何对象性质表示几何对象性质表示22已知已知 aR，函数，函数 f (x) = x2 | x - -a | ()求函数求函数 y =f(x) 在区间在区间1，2上的最小值上的最小值.首先首先 脱去脱去 绝对值号绝对值号, a2(分

14、类特点分类特点:按按 a 与与 x 所在区间所在区间分类关系分类关系)ax(0)怎么脱怎么脱?画画图图a在在1,2右右37a策略(9)：解题回顾 解题回顾是数学学习最重要的环节解题回顾是数学学习最重要的环节 新问题的解决往往在新问题的解决往往在“一念之间一念之间 ” 回顾回顾 思考的过程思考的过程 问题的理解问题的理解 涉及的知识涉及的知识 联系的问题联系的问题 数学的思想数学的思想 方法与策略方法与策略 简缩与优化简缩与优化 元认知体验元认知体验策略(10)：提高悟性是根本学之道在于学之道在于“悟悟”, 教之道在于教之道在于“度度” 达到熟练的程度需要也正常达到熟练的程度需要也正常. 但但“

15、熟能生巧熟能生巧”多指操作而言多指操作而言, 熟练只能培养熟练只能培养 解决已知问题的能力解决已知问题的能力, 而不是而不是解决新问题能力解决新问题能力. 培养培养解决新问题解决新问题能力能力, 最好的办法就是自己感悟最好的办法就是自己感悟. 要独立地学习一点新东西要独立地学习一点新东西 独立地去读点书独立地去读点书, 独立做题独立做题 和和 独立地独立地 研究所做的题研究所做的题, 要学会自己思考和要学会自己思考和感悟感悟. “师傅领进门，修行在个人师傅领进门，修行在个人” 教师不能包办代替，教师只能引导，教师不能包办代替，教师只能引导， 领悟必须也只能靠学生自己领悟必须也只能靠学生自己祝

16、同学们在学习中取得更大进步在高考中获得满意成绩已知已知 i , m , n 是是正整数正整数, 且且 1i mn. 求证：求证： ni Aim mi Ain它是什么它是什么? 抽象符号具体化抽象符号具体化， m, n, i 用具体数代换。用具体数代换。 ni Aim 0) 焦点为焦点为F , 一一直线直线过焦点过焦点F, 交抛物线于交抛物线于A, B. BCx 轴轴 , 且点且点C 在在抛物线准线上。证明直线抛物线准线上。证明直线AC 经过原点经过原点O。 焦点坐标焦点坐标 F ( , 0 ) (2分分) AB方程方程 y = k( x - - ) (2分分) 用代数符号表示用代数符号表示 几

17、何对象几何对象点点,直线直线, 几何性质几何性质平行平行, 垂直垂直, 斜率斜率, 基本量基本量ABCOF2p2p11.点点 P( - -3, 1 )在椭圆在椭圆 = 1 (ab0) 的的左准线左准线上上. 过点过点P且且 方向为方向为 =(2, - -5)的光线的光线, 经经直线直线 y= - -2 反射反射后通过椭圆的后通过椭圆的左焦点左焦点,则这个椭圆的则这个椭圆的离心率离心率是是 (A) (B) (C) (D)P 作作aAB = 33333122212222byaxa5254ca23ace = = 经经y=- -2反反射射交交 x 轴点轴点C,OC = 1, c = 1 = 3, 选选

18、A.BD = DC = AC = 2,画图画图DF 平分平分 BC 椭圆椭圆, P左准线上左准线上, 光线方向光线方向直线直线 y= - -2, 反射反射, 离心率离心率(求求)是是什什么么 平行线平行线a有什么性质有什么性质左准线方程左准线方程 x = - -354a = .交交 x 轴轴B；设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为Sn , 已知已知a1=1, a2=6, a3=11 且且 ()得得 (5n- -8) Sn+1-(-(5n+2) Sn= - -20n - -8 , n =1, 2, 3 ()证明证明 an 是是等差等差数列数列.a1=1,设设 bn=5n- -4, 则则bn是是等差数列等差数列. = 1+ 5猜想猜想a2= 6a3=11 =1+5+5an= 5n- -4(n =1,2,3)1an= 5n+1(n=0,1,2)验证验证2) 35