控制系统稳定性

1、第第4 4章章 控制系统稳定性控制系统稳定性 对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。）的稳定性理论来分析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年出版专著年出版专著运动系统稳定性的一般运动系统稳定性的一般问题问题，使得，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。几个柱石之一。本章的主要内

2、容为本章的主要内容为1. 引言引言2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义李亚普诺夫意义下稳定性的定义3. 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法5. 线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的稳定性4. 线性连续系统的稳定性线性连续系统的稳定性6. 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定7. 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析定义定义：称一个系统的外部稳定（称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入）是指对任何一个有界输入u(t)，即：即：u(t)1， ), 0tt的任意输入的任意输入u(t)，对应的输出，对应的输出y(t)均为有界，即均为有界，即 ),)(02ttty结论结论

3、1：对零初始条件对零初始条件p维输入和维输入和q维输出连续时间线性维输出连续时间线性时变时变系统，系统，t t0,+），），则则t0时刻系统时刻系统BIBO稳定的稳定的充分必要条件充分必要条件为，存在一个有限正常数为，存在一个有限正常数，使对一切，使对一切 t t0,+)脉冲响应矩阵脉冲响应矩阵H(t,)所有元所有元hij(t,)均满足关系式均满足关系式 pjqidthttij, 2 , 1, 2 , 1),(0 稳定性是系统的一个稳定性是系统的一个基本结构特性基本结构特性。系统的稳定性分为。系统的稳定性分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内基于输入输出描述的外部稳定性和基于状

4、态空间描述的内部稳定性。在一定条件下，外部稳定性和内部稳定性才存部稳定性。在一定条件下，外部稳定性和内部稳定性才存在等价关系在等价关系。外部稳定性外部稳定性结论结论2：对零初始条件对零初始条件p维输入和维输入和q维输出连续时间线性维输出连续时间线性时不变时不变系统，令系统，令t0=0,则则系统系统BIBO稳定的稳定的充分必要条件充分必要条件为：存在一个有限正常数为：存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵，使脉冲响应矩阵H(t)所有元所有元hij(t)均满足关系式均满足关系式 pjqit dthij, 2 , 1, 2 , 1)(0结论结论3：对零初始条件对零初始条件p维输入和维输入和q维输出连续时

5、间线性维输出连续时间线性时不变时不变系统，令初始时系统，令初始时刻刻t0=0，则系统，则系统BIBO稳定的稳定的充分必要条件充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵为：真或严真传递函数矩阵G(s)的的所有极点均具有负实部。所有极点均具有负实部。定义定义：称连续时间线性时变系统在称连续时间线性时变系统在t0为内部稳定，是指由时刻为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始任意非零初始状态状态X(t0)=X0引起的零输入响应引起的零输入响应Xou(t)对对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：有界，并满足渐近属性，即： 0)(limtXout内部稳定性内部稳定性结论结论4：设设n维连续时间线性维连续时间线性

6、时变时变自治系统自治系统 ),)()(000ttxttxxAx 系统在系统在t0时刻内部稳定的时刻内部稳定的充分必要条件充分必要条件为：状态转移矩阵为：状态转移矩阵(t,t0)对所有对所有tt0,+为有界，并满足：为有界，并满足： 0),(lim0ttt结论结论5：对对n维连续时间线性维连续时间线性时不变时不变自治系统自治系统 0)0(0txxAxx 内部稳定的充分必要条件为内部稳定的充分必要条件为 0limAtte或矩阵或矩阵A所有特征值均具有负实部，即所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0 , 则称二次型则称二次型f为为正定正定的，的，Q称为正定矩阵，记为称为正定矩阵，记为Q0 。 x

7、 0 , 若若xTQx 0 ,，则称二次型，则称二次型f为为半正定半正定的，的，Q称为半正定矩阵，记为称为半正定矩阵，记为Q0 。若若xTQx 0 (0) ,称称f为负定的为负定的(半负定的半负定的)，Q称为称为负定负定(半负定半负定)矩阵，记为矩阵，记为 Q 0 (i=1,2,n)，则Q为正定的。(2)若i ，则Q为负定的。0 i为偶数0 i为奇数(3)若i ， ，则Q为半正定的。 0 i= (1,2,n-1)= 0 i=n(4)若i ，则Q为半负定的。 0 i为偶数 0 i为奇数= 0 i=nf (x1, x2, , xn)=xTQx正定f (x1, x2, , xn)=xTQx负定f (

8、x1, x2, , xn)=xTQx半正定f (x1, x2, , xn)=xTQx半负定f (x1, x2, , xn)=xTQx4.3 4.3 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法0)(xV定义定义 如果标量函数如果标量函数 ，并且当，并且当 时，时， ；仅当；仅当 时，时， ；则称；则称 为正定的。除了为正定的。除了 以外，还有以外，还有状态使状态使 ，称，称 为半正定的。为半正定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定义定义 如果标量函数如果标量函数 ，并且当，并且当 时，时， ；仅当；仅当 时，时， ；则称；则称 为负定的。

9、除了为负定的。除了 以外，还有以外，还有状态使状态使 ，称，称 为半负定的。为半负定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 在平衡状态在平衡状态 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数，具有连续一阶偏导数，并且满足：并且满足：1） 为正定；为正定； 2） 为负定。为负定。 则则 为一致渐近稳定的。为一致渐近稳定的。如果如果 ， ，则，则 是大范围一致渐近稳定的。是大范围一致渐近稳定的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV例例4-24-2 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。系统

10、的状态方程如下，判别系统稳定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx将状态方程代入上式，化简后得将状态方程代入上式，化简后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx选取选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足函数，显然是正定的，即满足00)(00)(xxxxVV可见，可见， 是负定的，即满足是负定的，即满足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致渐进稳定的。是一致渐进稳定的。 0ex当当 ，有，有 ，故系统，故系统 是一致大范围渐进稳定的。是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV例；设系统状态方程为例；设

11、系统状态方程为)()(22212122221121xxxxxxxxxx试确定该系统平衡状态的稳定性。试确定该系统平衡状态的稳定性。 2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV为一负定的标量函数，且为一负定的标量函数，且x，有，有V(x) ，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 )(22221xx解：解：由平衡状态方程得由平衡状态方程得 0)(0)(222121222112xxxxxxxx解得唯一的平衡状态为解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即即xe=0, 为坐标原点。为坐标原点。选选取一正定的标量函数取一正定的标量函数 2221xxx定理定理4

12、-24-2 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡状态在平衡状态 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导具有连续一阶偏导数，并且满足：数，并且满足：1） 为正定；为正定； 2） 为半负定；为半负定；3）除了）除了 平衡状态外，平衡状态外，还有还有 的点，但是不会在整条状态轨线上有的点，但是不会在整条状态轨线上有 则则 为一致渐近稳定的。为一致渐近稳定的。如果如果 ， ，则，则 是大范围一致渐近稳定的。是大范围一致渐近稳定的。 0ex)(xV0)(xV（注：本定理是将定理注：本定理是将定理4-14-1的条件稍

13、微放宽了一点）的条件稍微放宽了一点）对为数不少的系统，对为数不少的系统，4-1中的条件中的条件“李导李导为负定为负定”是构造是构造Lyapunov函数函数V(x)的主要困难，可适当放宽该条件。的主要困难，可适当放宽该条件。例例4-34-3 系统的状态方程为系统的状态方程为1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。为大于零的实数。判别系统的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而221122)(xxxxVx

14、将状态方程代入上式，化简后得将状态方程代入上式，化简后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可见，当可见，当 和任意的和任意的 时，有时，有 ，而，而 和任意和任意 时，时， 。又因为。又因为 ，只要，只要 变化变化 就不为零，因此就不为零，因此在整条状态轨线上不会有在整条状态轨线上不会有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV因此，因此， 是一致渐进稳定的。是一致渐进稳定的。 0ex当当 ，有，有 ，故系统，故系统 是一致大范围渐进稳定的。是一致大范围渐进稳定的。0exx)(xV定理定理4-34-3 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 0ex)(xV

15、x0ex)(xV)(xV0ex在平衡状态在平衡状态 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导具有连续一阶偏导数，并且满足：数，并且满足：1） 为正定；为正定；2） 为半负定；为半负定； 则则 为一致稳定的。为一致稳定的。如果如果 ， ，则，则 是大范围一致稳定的。是大范围一致稳定的。 )(xV（注：本定理只是比定理（注：本定理只是比定理4-2少了第少了第3个条件，不能保证个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）渐近稳定，只能保证一致稳定。）)(xV因为因为 0则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 ，则系，则系统可能收敛

16、到极限环，而不收敛到平衡点。因此统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一致稳是一致稳定的。定的。0)(xV0ex例例4-44-4 系统的状态方程为系统的状态方程为1221xxkxx其中，其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 为为Lyapunov意义下一致稳定。意义下

17、一致稳定。 0ex例：例： 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ， 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。 212211xxxxxx解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选0)(2221 xxxv02222)(22212211 xxxxxxxv可见系统在可见系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。例：例： 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ，试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。 21221xxxxx解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选0)(2221 xxxv)(0222)(222211正半

18、定正半定 xxxxxxv由于当由于当x1为任意值，为任意值， x2=0时时 而而，0)( xv 01212 xxxx所以所以x2=0是暂时的，是暂时的， 不会恒等于零，故系统是不稳定的。不会恒等于零，故系统是不稳定的。222)(xxv 例：例： 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ， 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。211221)(1x|x|xxxx解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选0)(2221xxxV)(12)(122|x|xxV系统在系统在xe=0处是处是李亚普诺夫意义下的李亚普诺夫意义下的稳定。稳定。0)(11xV|x|时，当

19、0)(11xV|x|时，当0)(11xV|x|时，当系统在系统在xe=0处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。系统在系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。定理定理4-44-4 设系统状态方程为设系统状态方程为)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某邻域内，标量函数的某邻域内，标量函数 具有连续一阶偏导数，具有连续一阶偏导数，并且满足：并且满足： 1） 为正定；为正定； 2） 为正定或半正定；为正定或半正定； 则则 为不稳定的。为不稳定的。)(xV例例4-54-5 系统的状态方程为系统的状态方程为21221xxxxx分析系统平衡状态的稳定性。分析系统平衡状态的稳定性。解解 系统的平衡状

20、态为系统的平衡状态为 0ex选取选取Lyapunov函数：函数：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV显然它是正定的，即满足显然它是正定的，即满足而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不稳定的。是不稳定的。 0ex 应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数函数的一般方法。因为的一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lya

21、punov函数，函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：系统稳定性的信息（即：inconclusive 没有得出结论）。没有得出结论）。变量梯度法变量梯度法设连续时间非线性时不变系统设连续时间非线性时不变系统 0)(txfx xe=0为系统孤立平衡状态为系统孤立平衡状态， (1)选取候选李亚普诺夫函数选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度的梯度V(x) nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaVVxVxVV2211121211111)()()()()(xxxxx构造原则：构造原则：先按定理条

22、件构造候选李亚普诺夫函数的导数，在此基先按定理条件构造候选李亚普诺夫函数的导数，在此基础上定出李亚普诺夫函数，进一步再判断候选李亚普诺夫函数的正础上定出李亚普诺夫函数，进一步再判断候选李亚普诺夫函数的正定性。若判断成立则构造成功，否则构造失败。定性。若判断成立则构造成功，否则构造失败。其中其中aij=常数或状态变量的函数。常数或状态变量的函数。(2)按稳定性结论给出的条件引入对梯度按稳定性结论给出的条件引入对梯度V(x)的限制的限制jixVxVjiij)()(xx0)(0)(xxxTVdtdVxxxxxxTnnnnVxxxVxVdtdxxVdtdxxVdtxdV)()(,)()()()(011

23、11xxxxxxxx000)(0)()()()()(dVdtVdtdtdVdVVTtTtxV矢量的积分矢量的积分与路径无关矢量的积分与路径无关则旋度则旋度rotV(x)=0设梯度V(x)对应于有势场nnnnnnTxVxVxVxVxVxVxVxVxVV)()()()()()()()()()(212221212111xxxxxxxxxxxnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaVVV221112121111)()()(xxx(n n-n)/2个方程个方程(3)确定确定V(x)的待定系数的待定系数aij（i，j=1，2，n） (4) 定出对应梯度定出对应梯度V(x)的候选李亚普诺夫函数的候选李亚普诺

24、夫函数V(x)xntTtVdVVdtVdtdtdVdVV0100)(0)()()()()()(xxxxxxxxx0)(0)(xxxTVdtdV),(0)0,(022)0(01111113112321)()()(nnnnnxxxxxnnxxxxxxxxxdxVdxVdxVxxx(5)判断判断V(x)计算结果的正定性计算结果的正定性例：试用例：试用变量梯度法变量梯度法确定下列非线性系统的李亚普诺夫函数，并分析平衡确定下列非线性系统的李亚普诺夫函数，并分析平衡状态的稳定性。状态的稳定性。2212211xxxxxx22121222121212111)()(xxxxxxxaxaxaxaVdtxdVT32

25、12222212122222121122111)(xxaxxaxaxxaaxa(1)选取候选李亚普诺夫函数选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度的梯度V(x) 22212121211121)()()(xaxaxaxaVVVxxx(2)按稳定性结论给出的条件引入对梯度按稳定性结论给出的条件引入对梯度V(x)的限制的限制21122112)()(axVxVaxx旋度旋度rotV(x)=0(3)确定确定V(x)的待定系数的待定系数aij（i，j=1，2，n） 0)(0)(xxxTVdtdV21122112)()(axVxVaxx222121)1 ()(xxxxxVxVxxxx是负定的则或当)(, 1,

26、01:2121试选试选： a11= a22 =1，a12 =a21=0，则，则(4) 定出对应梯度定出对应梯度V(x)的候选李亚普诺夫函数的候选李亚普诺夫函数V(x)(022)0(01111221)()()(xxxxxdxVdxVVxxx)(212221)(022)0(01111221xxdxxdxxxxxxx是正定的，因此，在是正定的，因此，在x1x21的范围内，平衡状态是渐近稳定的。的范围内，平衡状态是渐近稳定的。是否为大范围是否为大范围渐近稳定的？渐近稳定的？2121)()()(xxVVVxxx李亚普诺夫函数的选择是非唯一的。李亚普诺夫函数的选择是非唯一的。0)(0)(xxxTVdtdV

27、221221223)()(3xxVxVxxx2221212221)31 (3)(xxxxxxxxVxVxx是负定的则当)(,310:21再选再选： a11= 1，a22 =3，a12 =x22，a21= 3x22 ，则则)(022)0(01111221)()()(xxxxxdxVdxVVxxx3212221)(022221)0(0112321)33(11221xxxxdxxxxdxxxxxxx是正定的，因此，在是正定的，因此，在1/3 x1x2 0 系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的. 原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位

28、阵正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。线性线性时变时变系统的稳定性判据系统的稳定性判据自阅自阅 4.5 4.5 线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为线性定常离散系统的状态方程为)() 1(kkGxx（8）0ex系统的平衡状态为系统的平衡状态为0ex假设假设G 为为 维非奇异常数阵，维非奇异常数阵， 是唯一的平衡状态。是唯一的平衡状态。nn选取选取Lyapunov函数函数)()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P 为为 正定的对称常数，因此正定的对称常数，因此 是正定的。是正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分为的差分为)()()()() 1

29、() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 处渐近稳定，要求处渐近稳定，要求 为负定的。所以为负定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 为正定。为正定。给定一个正定对称常数阵给定一个正定对称常数阵Q ，求，求P 阵，并验证其正定性。阵，并验证其正定性。QP-PGGT（10）例例4-74-7 线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。)(02110) 1(kkxx解解 系统的平衡状态为系统的平衡状态为 0ex为简单起见，可以令为简单起见，可以令Q 阵为单位

30、矩阵阵为单位矩阵I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各阶主子式均大于零，即的各阶主子式均大于零，即0380035可见，可见， P 为正定的矩阵，故为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。为大范围一致渐近稳定的。0ex4.6 4.6 有界输入有界输入- -有界输出稳定有界输出稳定4.6.1 有界输入有界输入-有界输出稳定有界输出稳定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称定义：对于初始松弛系统，任何有界输

31、入，其输出也是有界的，称为为BIBO系统。系统。如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 uu1K如果输入如果输入 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的线性定常系统。描述的线性定常系统。CxyBuAxx为初始松弛系统。其输出向量的解为为初始松弛系统。其输出向量的解为ttttd)()()(0uHy（11）BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有，有td)(0H3K或者对于或者对于

32、的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K其中，其中，a 为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例例4-8 线性定常系统方程为线性定常系统方程为uaxxcxy atcth e)(分析系统是否分析系统是否BIBO稳定。稳定。解解001dd)(00aaacecha可见，只有当可见，只有当 时，才有有限值时，才有有限值 存在，系统才是存在，系统才是BIBO稳定稳定的。的。3K0a4.6.2 BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统对于线性定常系统CxyBuAxx（12）平衡状态平衡状态 的渐近稳定

33、性由的渐近稳定性由A 的特征值决定。而的特征值决定。而BIBO的稳定性的稳定性是由传递函数的极点决定的。是由传递函数的极点决定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有极点都是的所有极点都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以，的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定就包含处的渐近稳定就包含了了BIBO稳定，而稳定，而BIBO稳定却可能不是稳定却可能不是 处的渐近稳定。处的渐近稳定。)(sG那么在什么条件下，那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？渐近稳定呢？结论是：如果（结论是：如果（

34、12）式所描述的线性定常系统是）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。0ex0ex4.7 4.7 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析4.7.1 用用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性第二法分析非线性系统稳定性到目前为止，尚没有构造到目前为止，尚没有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。1. 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法（12）非线性定常系统的状态

35、方程为非线性定常系统的状态方程为00)()(fxfx 其中其中 和和 均为均为n维向量。维向量。 为非线性多为非线性多元函数，对各元函数，对各 都具有连续的偏导数。都具有连续的偏导数。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni构造构造Lyapunov函数如下函数如下)()()(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 为为 正定对称常数矩阵正定对称常数矩阵nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(ddd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xx

36、fxJ其中其中称为雅可比矩阵称为雅可比矩阵（16）)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如果如果 是负定的，则是负定的，则 是负定的。而是负定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致渐近稳定的。如果是一致渐近稳定的。如果 ， ，则，则是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取 ，这时，这时)(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST例例4-104-10 非线性定常系统状态方程为非线性定常系统状态方程为3221211xxxxxx试分析试