不是我不小心例谈高考数学常考

1、不是我不小心：例谈高考数学常考、易错、失分点（三）【易错点1】解答直线有关问题时,易犯以偏概全类的错误.例1. 已知点P（2，1），求：过P点与原点距离为2的直线l的方程；【易错点分析】误认为经过点P的直线方程可表示为y+1=k（x2）,易忽视对直线斜率不存在情况的讨论.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0.由已知，得=2，解之得k=.此时l的方程为3x4y10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x4y10=0.【迷津指

2、点】在解答有关直线一类问题时易出现一些以偏概全类或概念类错误如:用点斜式表示直线方程时忽视直线斜率不存在这一特殊情况,用截距式表示直线方程或在两坐标轴截距相等易忽视截距为零这一特殊情况,两直线的位置关系的判断易忽视其系数为零情况的讨论等.【适应性练习】 若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是A、-1<m B、m1 C、<m<1 D、m1过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条下列四个命题：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0=k（xx0）表示；经过任意两个不同的点P1（x1，y1）

3、、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2x1）（xx1）=（y2y1）（yy1）表示；不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3解析：对命题，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线.只有正确.答案：B (上海卷)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；解析:设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2

4、).当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中,由得 又 ,综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3是真命题；已知两直线l1：xm2y60，l2：（m2）x3my2m0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合.答案:（1）当m1，m3且m0时，l1与l2相交；（2）当m1或m0时，l1l2；（3）当m3时，l1与l2重合.【易错点2】易忽视圆锥曲线定义中的限制条件,导致产生错误结论.例2.已知点M(3，0)、N(3，0)、B(1，0)，O与MN相切于点B，过M、N与O相

5、切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为_.【易错点分析】易由双曲线定义得出动点轨迹是双曲线,而忽略了定义中的“差的绝对值”.解析:如图，|PM|PN|=|PA|+|AM|PC|CN|=|MA|NC|=|MB|NB|=42=2.P点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b2=8.方程为=1(x>1).【迷津指点】在双曲线的定义中要注意：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，和定义中的“差的绝对值”;：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.在抛物线的定义中需强调的是，点

6、F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。【适用性练习】已知M（2，0）、N（2，0），PMPN4，则动点P的轨迹是A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 答案：C与圆x2+y24x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是_.解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.答案：y2=8x（x>0）或y=0（x<0）（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.

7、某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上._.解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|PF1|=2a，|PF2|=17.答案：|PF2|=17（06北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x>0）（2）提示:分直线斜率不存在和存在两种情况分别讨论.答案:的最小值为2【易错点3】对圆锥线

8、方程及其基本量的意义易混淆和遗忘.例3.试讨论方程（1k）x2+（3k2）y2=4（kR）所表示的曲线；【易错点分析】易混淆和遗忘各种曲线方程的特点及焦点位置解：（1）3k2>1k>0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；（2） 1k>3k2>0k（，1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；（3）1k=3k2>0k=1，表示的是一个圆；（4）（1k）（3k2）<0k（，）（1，），表示的是双曲线；（5）k=1，k=，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.【迷津指点】在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭

9、圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。双曲线的渐近线方程为,而的渐近线方程为, 【适用性练习】设a0，aR，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为A.（a，0） B.（0，a） C.（0，） D.随a符号而定答案：C若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距C的取值范围是A、（0，1） B、（1，2） C、（1，+） D、与m有关（06辽宁卷）曲线与曲线的(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同答案

10、:A。（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A B C D答案:A.【易错点4】在判断直线与圆锥曲线交点个数时,易忽视二次项系数为0这种情况.例4.已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2x21各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.求l1的斜率k1的取值范围；【易错点分析】只是由判别式的符号判断根的个数,而忽视了方程是否为二次方程这一前提.解：显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为yk1（x）.联立得消去y得（k121）x22k12x2k1210.根据题意得k1210,10，即有12k1240.完

11、全类似地有10，20，即有12·40，从而k1（，）（，）且k1±1.【迷津指点】注：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点, 故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点, 故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。【适用性练习】过定点P(0,2)作直线L，使L与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线L共有_条。解法1：如右图，这样的直线共有3条：一条L1是过P且平行对称轴的；另两条L2，L

12、3是过P的曲线的切线。解法2：可知点P在曲线开口外，如右图可知过P和曲线y2=4(x-1)有且只有一个公共点的直线L的斜率k存在，所以可设L的方程为：y-2=kx, 把其代入 y2=4(x-1)中，整理有：k2x2+4(k-1)x+8=0当k2=0, 即k=0时，x=2,y=2，此时L和y2=4(x-1)有且只有一个交点(2,2).当k20，即k0时，由=4(k-1)2-32k2=0,有， 此时L和y2=4(x-1)相切。综上，所求的直线共有三条，分别为：y=2及已知双曲线C：，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有_条。可知kl存在时，令l: y-

13、1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0, 当4-k2=0即k=±2时，有一个公共点；当k±2时，由=0有，有一个切点。 另：当kl不存在时，x=1也和曲线C有一个切点， 综上，共有4条满足条件的直线，如右图。【易错点5】在解答有关圆锥曲线最值时,易忽视圆锥曲线上点的坐标的范围这一性质.例5.设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.【易错点分析】由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，但忽视二次函数的定义域限制

14、即双曲线的点的横坐标或纵坐标的取值范围.解：依题意，设双曲线的方程为=1（a>0，b>0）.e=，c2=a2+b2，a2=4b2.设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|2=x2+（y5）2=b2（1）+（y5）2=（y4）2+5b2（|y|2b）.若42b，则当y=4时，|PM|min2=5b2=4，得b2=1，a2=4.从而所求双曲线方程为x2=1.若4<2b，则当y=2b时，|PM|min2=4b220b+25=4，得b=（舍去b=），b2=，a2=49.从而所求双曲线方程为=1. 【迷津指点】在确定与圆锥曲线上点的坐标有关的最值时, 常常体现解析几何与函数、三角知识

15、的横向联系，解答中要注意曲线上点的坐标的取值范围的限制.【适用性练习】（05重庆卷）若动点（）在曲线上变化，则的最大值AB C D2（06全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因为|y|1,a>1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值;若1<a<,则当y=1时, |PQ|取最大值2.设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，

16、离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.解设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中ab0待定.由e2=1（）2可知=，即a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y）2=a2（1）+y23y+= 4b23y23y+=3（y+）2+4b2+3，其中byb.如果b，则当y=b时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=，与b矛盾.因此必有b成立，于是当y=时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.由y=及求得的椭

17、圆方程可得，椭圆上的点（，），点（，）到点P的距离都是.点A、B分别是椭圆长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解:（1）易得点P的坐标是(,)(2) 直线AP的方程是xy+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又6m6,解得m=2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x2)2+y2=x4x2+4+20x2=(x)2+15,由于6m6, 当x=时,d取得最小值【易错点6】在解答圆锥曲线综合题时,易忽视直线与曲线相交,判断别大于

18、零这一限制条件.例6.（答案需订正）（06山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.【易错点分析】易忽视“直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点”这一条件.解：设椭圆方程为（）易得所求椭圆方程为.（）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：由直线与椭圆相交于A、B两点，解得又由韦达定理得原点到直线的距离.对两边平方整理得：（*），整理得：又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得

19、所以，所求直线方程为：.【迷津指点】取值范围问题，存在性问题以及有关弦长、对称问题时等,重点是构造不等式，要注意由已知挖掘不等关系，如直线和圆锥曲线恒交两点，则>0是在解题中经常要使用的一重要条件.在解题过程中切不可忽视. 【适用性练习】已知双曲线x2=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.解：（1）设过P（1，2）点的直线AB方程为y2=k（x1），代入双曲线方程得（2k2）x2+（2k24k）x（k44k+6）=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，由已知

20、=xp=1，=2.解得k=1.又k=1时，=160，从而直线AB方程为xy+1=0.（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，0，所以这样的直线不存在.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.剖析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，0，即可求得k的范围.解：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=ky+m，代入y24x，得y24ky4m=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y02k，x02k2+m.

21、点M（x0，y0）在直线l上，2k=k（2k2m）+3.m=.又BC与抛物线交于不同两点，16k216m0.把m代入化简得0，即0，解得1k0.（06四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得,得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为到的距离为的面积【易错点7】易忽视

22、圆锥曲线定义的应用例7.（06江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题（）的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上； 的内切圆必通过点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）【易错点分析】解：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故A、D正确。【适用性练习】（黄冈模拟）设P(x,y)是曲线