三维欧氏空间中一类Sierpinski尘的Hausdorff测度

1、三维欧氏空间中一类Sierpinski尘的Hausdorff测度刘成仕大庆石油学院数学系大庆163318郑维行南京大学数学系南京210093摘要：设E0为边长为1的正四面体，在其上构造压缩比为的Sierpinski尘，记为，它在E0的一个面上的垂直投影记为，则有，当时，本文用相当简单的方法证明了进而利用投影性质证明了。最后在时给出了的另一个证明。关键词：分形，Hausdorff测度，Sierpinski尘MR（2000）主题分类28A78中图分类号O17412§1引言自相似分形集的Hausdorff测度计算是非常困难的问题，精确计算出来的还非常少（123458），本文研究三维欧氏空间

2、中的一类自相似分形集，在压缩比中的的情况下，简化了4中的方法，先得到了二维欧氏空间中一类Sierpinski尘的Hausdorff测度，进而结合投影技巧，得到了三维欧氏空间中一类Sierpinski尘的Hausdorff测度，最后在的情况下给出了三维结果的一个更直接的证明。§2三维欧氏空间中Sierpinski尘的构造及主要结论设E0为三维欧氏空中的正四面体，边长为1，在四个角上各取边长为的正四面体，记这四个闭的正四面体的并为E1，去掉E0E1，如图1。再在E1中每一个小正四面体上施行上述手续，得E2，依此作下去，其极限集记为，称为三维欧式空间中的Sierpinski尘，有。这等价于

3、压缩比为的迭代函数系的吸引子，且满足开集条件，由6中结论易知的Hausdorff维数s等于其自相似维数，满足，即s。把在E0的一个面上作垂直投影，得到另一个自相似分列集，如图2.易见的Hausdorff维数与的Hausdorff维数相等，即s本文的主要结论是定理1：，这里。结合投影技巧，作为定理1的推论有定理2：，这里。用另一种方法得到定理2的改进定理3：，这里。 图1§3记号和引理记中第一级预分形中四个基本三角形中间的一个到另外三个三角形中的一个的距离为，如图3.这里两个集合X和Y之间的距离定义为。又记S2中第n级预测的4n个基本三角形中，位于初始三角形的三个顶角上的分别为An,B

4、n和Cn，局部如图4。中任一集合，记为与U相交的基本三角形的个数。引理1 证明：由初等办法即得。图2引理2 时有, 即 。证明：通过化简知只须证, 即只须易见为增函数。令，有图3而k=3时，有，又由为增函数，知当时，结论成立。图4引理4 设s0，a>0，则在时为减函数，因此有.引理5 关于n为减函数。引理6 设U为任一可测集，记为U的直径，则存在，使得当时有，这里，。证明：由自相似性，不失一般性，可取，又由引理5知，只须找到一个，使，即可，有以下四种情形:101，此时，.20，此时有，因此.而当时，有，又由引理4，有.30，此时有,由引理2知当时，有，又由引理4知。40，不失一般性，设且

5、，图5 此时有，从而有若要结论成立，只须又由，及，因此，只须即，因此结论成立。引理7 设F为垂直投影算子，则有，因此对任何V有证明：由6中Th2.2可知引理89 设F为s维自相似分形集，且满足开集条件，若为F的任一覆盖，则有。§4 定理1和2的证明定理1的证明：由于边长为1的基本三角形本身构成的覆盖，而的直径即为1，因此引理8即知。下证，由7知只须取的开覆盖。设为的一族开覆盖，则由S2（m）的紧性知，存在一族有限的开覆盖，设为，对每个，由引理6知，存在,当时有，令时，上式对所有j成立，对j作和，有又由于，从而，因此有。综上所述。定理2的证明：首先由于边长为1的基本集E0构成的一个覆盖

6、，E0的直径为1，因此由引理8有。又由于为在E0的一个面上的垂直投影，由引理7知从而有。§4 定理3的证明把证明定理1的技巧推广到三维，为此先引入记号，设E0的四个立体角分别记为A、B、C、D；En中的4n个基本四面体Kn中与立体角A、B、C、D重合的分别记为An、Bn、Cn、Dn，局部如图5。为中与相交的基本四面体的个数。由定理2的证明知，只须对证明形如引理6的结论即可。引理8：设为R3中的任何子集，则存在，使得当时，有 。证明：分以下四种情形：10、，则20、，此时，则在时，上式即成立。30、此时若要求，只须。40，不失一般性，设。且，此时有而 ， 从而，只须证只须即。综上所述，

7、对于，引理9成立。定理3的证明，由引理8知；由引理9及类似于定理2的讨论有，因此有。参考文献1周作领，吴敏，一个Sierppinski地毯的Hausdorff测度J，中国科学（A辑），队1999，29（2），138144。2吴敏、周作领，关于Sierppinski地毯的Hausdorff测度J，自然科学进展，1999，11，10321035。3Zhu Yucan. LuoJun. Hausdorff measure of generalited Sierpinski CarpetsJ, Approx, Th。& Appli, 2000, 16(2): 13184黄春朝。Sierppinski地毯的Hausdorff测度的一个初等证明J，数学学报，2000，43（2）：599604。5吴垌圻，广义Sierpinski地毯Hausdorff测度的初等证明J，纯粹数学与应用数学。2003，19（3）。6Falconer K，J，Fractal geometryM,NewYork： John Wi ley and sons, 1990. 7Falconer K，J，The Geometry of Fratal sets M。 Cambridge University Press,Ca