第2章 §5　从力做的功到向量的数量积

1、.§5从力做的功到向量的数量积学习目的：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义重点2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题难点自 主 预 习·探 新 知1向量的夹角定义两个非零向量a和b，作a，b，那么AOB叫作向量a与b的夹角范围0°180°特例0°a与b同向180°a与b反向90°a与b垂直，记作ab，规定0可与任一向量垂直考虑1：ABC为正三角形，设a，b，那么向量a与b的夹角是多少？提示：如图，延长AB至点D，使ABBD，那么a，ABC为等

2、边三角形，ABC60°，那么CBD120°，故向量a与b的夹角为120°.2向量的数量积1射影|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影数量简称为投影2数量积两个非零向量a与b，我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积或内积，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a与b的夹角3规定零向量与任一向量的数量积为0.4几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积5性质假设e是单位向量，那么e·aa·e|a|cos .假设ab，那么a&

3、#183;b0；反之，假设a·b0，那么ab，通常记作aba·b0.|a|.cos |a|b|0对任意两个向量a，b，有|a·b|a|b|，当且仅当ab时等号成立6运算律向量a，b，c与实数，那么：交换律：a·bb·a；结合律：a·ba·ba·b；分配律：a·bca·ba·c.考虑2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影一样吗？提示：如下图，a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，那么OB1|b|cos .|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos 叫作向

4、量a在b方向上的射影根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1两向量的数量积仍是一个向量2假设a·b0，那么a0或b0.3设a与b的夹角为，那么cos >0a·b>0.4对于任意向量a，b，总有a·b2a2·b2.答案1×2×34×2三角形ABC中，·<0，那么三角形ABC的形状为A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形A·|·|·cos B <0，cos B<0，又B为ABC的内角<B<.3向量|a|2，|b|2，a&#

5、183;b1，那么|ab|A B2C2 D3A|ab|2|a|22a·b|b|24246，|ab|.4假设向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120°，那么a·aa·b_. 【导学号：64012127】解析a·aa·b121×1×cos 120°.答案合 作 探 究·攻 重 难求向量的数量积|a|4，|b|5，且a与b的夹角为60°.求：1a·b；2ab2；3ab2；4a2b2.解由题知60°，|a|4，|b|5.1a·b|a|b|cos 4

6、5;5×cos 60°10.2ab2a22a·bb2422×105261.3ab2a22a·bb242205221.4a2b2|a|2|b|242529.规律方法1求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求出|a|和|b|；利用数量积的定义：a·b|a|b|cos 求解要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·连接，而不能用“×连接，更不能省略不写2假设所求形式比较复杂，那么应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积跟踪训练1|a|10，|b|4，a与b的夹角120

7、76;.求：1a·b；2a在b方向上的投影；3a2b·ab；4ab2. 【导学号：64012128】解1a·b|a|b|cos 120°10×4×20.2a在b方向上的射影为|a|cos 120°10×5.3a2b·aba2a·b2a·b2b2a2a·b2b2|a|2|a|b|cos 120°2|b|210010×4×2×1688.4ab2a22a·bb2|a|22|a|b|cos 120°|b|21002×

8、;10×4×161004016156.求向量的模向量a与b的夹角为120°，且|a|4，|b|2，求：1|ab|；2|3a4b|；3|ab·a2b|.思路探究可利用|a|2a2转化进展求解解由a·b|a|b|cos 4×2×cos 120°4，a2|a|216，b2|b|24.1|ab|2ab2a22a·bb2162×4412.|ab|2.2|3a4b|23a4b29a224a·b16b29×1624×416×4304，|3a4b|4.3ab·a

9、2ba2a·b2b21642×412，|ab·a2b|12.规律方法1求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联络，并灵敏运用a2|a|2，最后勿忘开方2一些常见等式应熟记：a±b2a2±2a·bb2；ab·aba2b2等跟踪训练2|a|4，|b|3，2a3b2ab61，求|ab|.解因为2a3b·2ab61，所以4a22a·b6a·b3b261，所以4|a|24a·b3|b|261.又因为|a|4，|b|3，所以4×424a·b3×3261，所以a&

10、#183;b6.|ab|2ab2a22a·bb2422×63213，所以|ab|.向量的夹角与垂直问题探究问题1假设ab，那么a·b等于多少？反之成立吗？提示：a·b0ab.2|a·b|与|a|·|b|的大小关系如何？为什么？提示：|a·b|a|·|b|.因为|a·b|a|·|b|·|cos |.由|cos |1，可得|a·b|a|·|b|.3对于向量a·b，如何求它们的夹角？提示：求夹角时先求两个向量a，b夹角的余弦值然后根据向量夹角的取值范围求角单位向

11、量e1，e2的夹角为60°，求向量a2e1e2与b2e23e1的夹角.思路探究先求|a|，|b|及a·b，再由公式cos 求解解e1·e2|e1|e2|cos 60°cos 60°，a·b2e1e2·2e23e16ee1·e22e.又a22e1e224e4e1·e2e7，b22e23e124e12e1·e29e7，|a|b|，那么cos .0，.母题探究1将例3中的条件变为“|a|1，a·b，abab，试求a与b的夹角解因为ab·ab，所以|a|2|b|2.又因为|a|1，所

12、以|b|，设a与b的夹角为，那么cos .又因为0，所以.2将例3中的条件变为“a，b不共线，且|2ab|a2b|，试证明：abab证明|2ab|a2b|，2ab2a2b2.即4a24a·bb2a24a·b4b2，a2b2.ab·aba2b20.又a与b不共线，ab0，ab0，abab规律方法1求向量a，b的夹角有两步：第一步，利用公式cos 求cos ；第二步，根据0，确定.而求cos 有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算2两向量垂直a·b0，即把垂直关系转化

13、为数量积的运算问题解决当 堂 达 标·固 双 基1对于向量a，b，c和实数，以下命题中正确的选项是A假设a·b0，那么a0或b0B假设a0，那么a0或0C假设a2b2，那么ab或abD假设a·ba·c，那么bcB由向量数量积的运算性质，知A，C，D错误2设向量a·b40，|b|10，那么a在b方向上的射影为A4B4C4 D8Aa在b方向上的射影为|a|cosa，b由a·b|a|·|b|cos 40且|b|10，得|a|cos 4.3|a|，|b|2，a·b3，那么a与b的夹角为_. 【导学号：64012129】解析设a与b的夹角为，cos .又因为0°180°，所以120°.答案120°4单位向量i，j互相垂直，向量a3i4j，那么|a|_.解析因为|a|2a23i4j29i2