平行线的判定及性质

1、授课主题时间：2021.03.01创作：欧阳语平行线教学目的1. 理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2. 掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的左义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给左的命 题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一.平行线1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a/7b. 要点诠释：(1) 平行義的定义有三个特征：一是在同一个平而内：二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可：(2) 有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并

2、不意味着它们就 平行.(3) 在同一平而内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属 于上述任何一种位宜关系.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.3推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.要点诠释：(1) 平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.(2) 公理中“有”说明存在：“只有”说明唯一.(3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法X同位角相等，两直线平行如上图，几何语言： VZ3=Z2 ABCD (同位角相等，两直线平行)判定方法厶内错

3、角相等，两直线平行如上图，几何语言： VZ1 = Z2 ABCD (内错角相等，两直线平行)判定方法3：同旁内角互补，两直线平行如上图，几何语言: VZ4+Z2=180° AB/CD (同旁内角互补，两直线平行) 要点诠释：平行线的判左是由角相等或互补，得岀平行，即由数推形.要点三.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等;性质2：两直线平行，内错角相等;性质3：两直线平行,同旁内角互补.要点诠释：(1) “同位角相等、内错角相等”.“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切 不可忽视前提“两直线平行”（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判左；从平行线得到角相等或互补

4、关系，是平行线的性质. 要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条 平行线的距离.要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两 条平行线的距离.（2）两条平行线的位置确左后，它们的距离就是个左值，不随垂线段的位垃的改变而改变，即平行线间的 距离处处相等.要点五、命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句，叫做命题.要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推岀的事 项.（2）命题的表达形式："如果，那么，也可写成：&quo

5、t;若，则（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一泄成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一左成立的命题，叫做假命题.2. 定理：圧理是从真命题（公理或其他已被i正明的泄理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理 也可以作为继续推理的依据.3. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能''想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的宦义、基本 事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明：判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可.要点六、平移1

6、. 定义：在平而内，将一个图形沿某个方向移动一泄的距离，图形的这种移动叫做平移.要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离.（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体 来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等：（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一.平行线例1下列说法正确的是()A不相交的两条线段是平行线.B. 不相交的两条直线是平行线.C. 不相交的两条射线是平行线D. 在同

7、一平而内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D例2.在同一平而内，下列说法：(1)过两点有且只有一条直线：(2)两条直线有且只有一个公共点：(3) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正 确的个数为：()A1个B. 2个C. 3彳、D. 4丿卜【答案】B【解析】正确的是：(1)(3).【变式1】下列说法正确的个数是0(1) 直线养 b、c、d,如果 &b、cb、cd,则 ad(2) 两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.(3) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等.(4) 在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么

8、这两直线平行.A1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B类型二.两宣线平行的判定例3如图，给出下列四个条件：(1) AC=BD： (2) ZDAC=ZBCA：(3) ZABD=ZCDB： (4) ZADB=ZCBD，其中能使 AD/BC 的条件有()A. (1) (2) B. (3) (4) C. (2) (4) D(1) (3) (4)【答案】C【变式2 一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是()A. 第一次向左拐30°B. 第一次向右拐50°C. 第一次向右拐50°D. 第一次向左拐50°,第二次

9、向右拐30°,第二次向左拐130。,第一次向右拐130° 第二次向左拐130。例4如图所示，已知ZB=25° , ZBCD=45° , ZCDE=30° , ZE=10°试说明ABEF的理由.解法1：如图所示，在ZBCD的内部作ZBCM = 25° , 在ZCDE的内部作ZEDN=10°VZB=25° , ZE=10° (已知),AZB = ZBCM> ZE=ZEDN(等量代换). ABCM, EFDN(内错角相等，两直线平行). 又V ZBCD=45° , ZCDE=30

10、76; (已知)，AZDCM = 20° , ZCDN=20° (等式性质). ZDCM = ZCDN (等量代换) CMDN(内错角相等，两直线平行).V ABCM, EFDN (已证), ABEF(平行线的传递性).解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.VZB=25° ,A ZCNB=180° -ZNCB-ZB = 20° （三角形的内角和等于 180° ）. 又 V ZCDE=30° , AZEDM=150° 又 V ZE=10° ,AZEMD=180° -Z

11、EDM-ZE=20° （三角形的内角和等于180° ） ZCNB = ZEMD（等量代换）.所以ABEF（内错角相等，两直线平行）.【变式3已知，如图，BE平分上ABD, DE平分ZCDB,且Z1与Z2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由.解：ABCD,理由如下： BE平分ZABD, DE 平分ZCDB, ZABD=2Z1, ZCDB = 2Z2.又 VZ1 + Z2=9O° ,AZABD+ZCDB=180° ABCD（同旁内角互补，两直线平行）.【变式4】已知，如图，AB1BD于B, CD1BD于D,【答案】证明：TAB丄BD于B, CD1

12、BD于D,ABCD 又 V 21+22=180° ,ABEFZ. CD/EF Zl+Z2=180° ,求证：CD/EF.类型三、平行线的性质例5.如图所示，如果ABDF, DEBC,且Zl=65°那么你能说出Z2. Z3、Z4的度数吗?为什 么解：V DEBC,.Z4=Z1=65° （两直线平行，内错角相等）. Z2+Z 1 = 180° （两直线平行，同旁内角互补）.AZ2=180° -Zl = 180° -65° =115° 又 DFAB（已知）,AZ3=Z2（两直线平行，同位角相等）. .Z3=11

13、5° （等量代换）.【变式.&5】如图,4=/已知IJUJIl且Zl=48° ,则Z2=, Z3=, ZAABD的面积为S2,则（）A. Si>Sz B Si = S2 C S【答案】B类型四、命题例6.判断下列语句是不是命题,画直线AB：两条直线相交,【答案】48。，132° , 48°【变式6】如图所示，直线hb点A. B在直线b上，点C、D在直线h上，若AABC的而积为S, <S2 D.不确定如果是命题，是正确的?还是错误的？ 有几个交点；若ab, b/c,则a/c；直角都相等：相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不

14、是对顶角.【徐不是命题：是命题；是正确的命题：是错误的命题.【变式8】把下列命题改写成“如果，那么”的形式.（1）两直线平行，同位角相等；（2）对顶角相等：（3）同角的余角相等.【答案】解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.类型四、平移例7.（湖南益阳）如图所示，将AABC沿直线AB向右平移后到达ABDE的 位置，若ZCAB = 50° , ZABC=100° ,则ZCBE的度数为.【答案】30° 【变式9】（上海静安区一模）如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得

15、到三角形ABC0A. 沿EC的方向移动DB长B. 沿BD的方向移动BD长C. 沿EC的方向移动CD长D. 沿BD的方向移动DC长【答案】A类型五、平行的性质与判定综合应用例 8、如图所示，ABEF,那么 ZBAC+ZACE+ZCEF=（）A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°【答案】C【解析】过点C作CDAB,VCD/7 AB,.ZBAC+ZACD=180° （两直线平行，同旁内角互补）又 VEF/7ABEFCD AZDCE+ZCEF=180a俩直线平行，同旁内角互补）又 V ZACE= ZACD+ZDCEA ZBAC+

16、ZACE+ZCEF= ZBAC+ZACD+ZDCE+ZCEF=180° +180° =360°【课后作业】一、选择题1 下列说法中正确的有（） 一条直线的平行线只有一条 过一点与已知直线平行的直线只有一条. 因为ab, cd,所以ad 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A. 1个B. 2个C3个D. 4个2. 如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（）A.相等B.互补C.互余D.相等或互补3. 如图，能够判定DE/7BC的条件是 0B G CA Z DCE+ Z DEC = 180 °B Z EDC = Z DCBC ZBG

17、F=ZDCB D CD丄AB, GF丄AB4. 一俩汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度 可能是0A. 第一次向右拐40° ,第二次向右拐140°B. 第一次向右拐40° ,第二次向左拐40°C. 第一次向左拐40° ,第二次向右拐140°D. 第一次向右拐140° ,第二次向左拐40°5. 如图所示，下列条件中，不能推出AB/7CE成立的条件是 0A ZA=ZACE B ZB = ZACE C ZB = ZECD D ZB+ZBCE=180°6. （绍兴）

18、学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张 半透明的纸得到的（如图，（1）一）：（1）（2>伺从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.A. ®® B. C. D.二填空题7. '在同一平而内的三条直线，它们的交点个数可能是8. 如图，DF平分ZCDE, ZCDF=55° , ZC=70° ,则9. 规律探究：同一平面内有直线a” a?, a3-s aK）o»若a】丄a2, a2/a3，a3丄山，按此

19、规律，和aioo的位置是10. 已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40° ,则另一个角的度数是11直线/同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确左的直线厂与B、C两点确龙的直线厂都与/平行， 则A、B、C三点，其依据是12. 如图，AB丄EF于点G, CD丄EF于点H, GP平分ZEGB, HQ平分ZCHF,则图中互相平行的直线 有三、解答题13如图，Zl=60° , Z2=60° , Z3=100° ,要使ABEF, Z4应为多少度?说明理由.14. 小敏有一块小画板（如图所示），她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能 帮助她解

20、决这一问题吗？15. 如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知ZADB=20° ,那么ZBAF为多少度时，才能使 ABZ BD?B916. 如图所示，由Z1 = Z2, BD平分ZABC,可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条 线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变？【答案与解析】一、选择题 1 【答案A只有正确，英它均错.2. 【答案】D3. 【答案B【解谥】内错角相等，两直线平行.4. 【答案】B5. 【答案B【解谆】ZB和ZACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角.6. 【答案C【解谆】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折

21、痕与虚线垂 直二、填空题7. 【答案】0或1或2或3个；&【答案】BC, DE：【解析】ZCFD=180° -70° -55° =55° ,而ZFDE= ZCDF=55° ,所以ZCFD=ZFDE.9. 【答案】aiaioo：【解析】为了方便，我们可以记为aa?a3丄a4as丄a&a7丄as创丄aw创7丄妣&时丄aioo,因 为aa2/7a3,所以a【丄a3，而巧丄生，所以/同理得剧站网、知a】2ai3，接着这样 的规律可以得aia”aioo,所以ai aioo.10. 【答案】40。或140°11【答案】共线，平行公理：【解