解析几何的认知及其在代数中的一些应用

1、解析几何的认知及其在代数中的一些应用解析几何的认知及其在代数中的一些应用摘要：摘要：解析几何是代数的工具，同时，解析几何也为代数提供具体的实例模型，因此它们是不可分割、紧密联系的。代数中的某些问题,如果使用常规的解题方法，其过程可能相当复杂，但如果巧用解析几何的方法，则问题的解决会变得非常简单。而通过几何学习，我们可以养成一种用几何图形来看待一些代数问题的思维习惯，这样是把复杂的问题转换成具体、形象的几何想象，或者如平常人们所说的几何直觉 ，这是我们学好数学甚至是各个分科的重要方法，也是对所有数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作，有着重大的意义。文章将巧用解析几何方法理解代数中的某些问题。

2、关键词：关键词：解析几何解析几何 代数代数 行列式行列式 矩阵矩阵 向量向量 关系理论关系理论Abstract:Abstract: Analytic geometry is algebraic tools, algebra, analytic geometry also provides a concrete example model, so they are inseparable, closely linked. Some algebra problem, if you use a conventional problem-solving methods, the process can

3、 be quite complex, but if the clever use of analytic geometry, the solution of the problem will become very simple. By geometry learning, we can develop the habit of thinking of a geometry to look at some algebra problems, such is the complexity of the problem is converted into a specific image geom

4、etry imagine, or as normal people call geometric intuition, we even learn math in various branches of the method is also a of all mathematical branch of research, even the most abstract work of great significance. Article Using analytic geometry method to understand some of the problems in algebra.K

5、eywords: Analytic Geometry Algebra Determinant Matrix Vector Relations theory目录目录一 解析几何的产生.11 代数的产生.12 几何的产生.13 解析几何的产生.14 代数与解析几何的关系.1二 解析几何的基本认知及其作用.21 代数一些概念的引入.22 代数的一些概念的几何解析.33 解析几何的基本作用.5三 解析几何在代数中的一些运用.6四 总结.9参考文献.9解析几何的认知及其在代数中的一些应用解析几何的认知及其在代数中的一些应用数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100 多个主要分支学科的庞大的“共和国”

6、 。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范畴；这两大类数学是整个数学的本体与核心。文艺复兴使欧洲学者继承了几何学和代数学，科学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法” 。 在他的几何学一书中，提出了解析几何学的基本思想和方法，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合，标志着解析几何学的诞生。笛卡儿的这一天才创见，在近代微积分的创立中有着不可估量的作用。一、解析几何的产生一、

7、解析几何的产生1 1、代数的产生、代数的产生在历史长河中，产生了古老的算术，然而，随着社会的发展，越来越多的问题摆在了数学家面前。为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积累的大量数量问题，古老的算术就必须进行改进和发展。在这个缓慢的过程中，便产生了代数学。至于什么年代产生的代数学这门学科，如果认为“代数学”是指解bx+k=0 这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求像现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了，比如九章算术中

8、就有方程问题。2 2、几何的产生、几何的产生几何学发展历史悠长，内容丰富。几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位， 并且关系极为密切。几何产生于古埃及，其年代大约始于公元前 3000 年。早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前 1500 年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理） ；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）体积正确公式；而巴比伦有一个三角函数表。这被世界认为是几何产生的源头。3 3、解析几何的产生、解析几何的产生解析

9、几何产生于十七世纪的欧洲，当时由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作方法论 ，其中有一篇几何学 ， 几何学共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡

10、尔的几何学作为解析几何的起点。4 4、代数与解析几何的关系、代数与解析几何的关系（1） 、从代数与几何的发展来看，代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景” 。从内容的联系来看，两门课之间存在着工具与对象的联系。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数 n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象） 。 （2） 、解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条

11、件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的向量积、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。总的来说，一方面解析几何是以代数为主要研究工具的几何学，没有代数这个主要工具，就没有解析几何，而解析几何又反过来为代数提供了几何背景、解释和研究课题，促进代数的发展，因此，把它们结合起来是十分有必要的，另一方面两门课的合并又有利于“数”与“形”的结合，从数学思想方法来看，两知识点也具有统一性。拉格朗日说过：“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共

12、同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。 ” 华罗庚先生也说过：“数缺形时少直观，形缺数时难细微” ，可看出数形结合是研究数学问题的有效策略，化数为形是理解代数题的常用技巧之一。那么，用解析几何的方法研究问题的思路是什么？ 上述流程图是解析几何最核心的部分，理应沉淀下来并在后续的学习中体现认识的螺旋上升。二、解析几何的基本认知及其作用二、解析几何的基本认知及其作用解析几何的核心计算工具就是代数。作为数学的一个重要分支，代数有着一些重要的特点：逻辑推理的严密性，研究方法的公理性，代数系统的结构性。而在学习中，其教学内容主要有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、线性变

13、换等。另一方面，解析几何主要研究二维实空间中的直线与二次曲线、三维实空间中的平面与二次曲面、空间曲线和空间曲面的位置关系、平移变换和旋转变换。由此可以看出，两门课程的内容重复之处较多，而这种重复基本上是一般与特殊的关系。因此从学生的认知角度来看，两门课程合并理解能让学生在具体的几何背景下更直观地接受数学思想与方法，能充分地发挥两门课内容的互补作用，符合“数”与“形”结合的认知规律，几何的讨论给代数提出了相关问题，而代数研究的结果又可应用到几何中去，它们互为问题、互为方法、相互交融，根据代数与解析几何的密切关系，我们认为在进行代数与解析几何的一体化学习中，首先应介绍解析几何方法，然后用它去解决一

14、些问题，这样既可以轻松地完成解决代数的学习，同时学生也体会了几何的妙处，加深了对代数的理解。1 1、代数一些概念的引入、代数一些概念的引入大多数学生都难以适应代数的抽象概念的引入、推导和应用。下面我通过一些实例，特别是几何实例，引入代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。序号 实例代数的相关概念及理论1中学代数的多项式四则运算多项式及其加、乘运算的严格定义，并在此基础上，介绍多项式的整除理论和最大公因式理论2中学代数的多项式因式分解方法用不可约多项式的严格定义解释“不可再分解”的含义，给出了不可约多项式的性质、唯一分解定理及不可约

15、多项式在三种常见数域上的判定3中学代数的一元一次方程、一元二次方程的解法以及一元二次方程根与系数的关系给出了一元 n 次方程根的定义、复数域上一元 n次方程根与系数的关系以及根的个数、实系数一元 n 次方程根的特点、有理系数一元 n 次方程有理根的性质以及求法4中学代数的二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法引入行列式的定义，进一步介绍了线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法，给出了线性方程组解的结构5中学几何中的、及其向量2R3R对加法和数乘运算满足 8 条运算规律，、中过原点的直线、2R3R平面推广为 n 维向量空间，通过 8 条运算规律抽象nP出一般线性空间的概念，引入线性空间的子空间6

16、中学几何中的、的直角坐2R3R标系，向量的坐标线性空间的基，向量的坐标7、中有心二次曲线和二次2R3R曲面的分类二次型通过正交替换化为标准形8、中向量在一个给定向量2R3R或平面上的投影，坐标系的旋转线性空间中的线性变换2 2、代数的一些概念的几何解析、代数的一些概念的几何解析代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和定理的几何本质，更容易直观地理解这些抽象的概念和定理，从而可以提高学生运用这些抽象的概念和定理去解题的能力。 2.12.1、线性代数中、线性代数中“线性线性”的几何意义的几何意义线性代数是代数的一个分支，有线性空间、线性映射、线性变换、线性方程组、线性相关性等

17、概念。那究竟这里的“线性”的直观理解是什么？简单地说，就是因变量与自变量之间的关系可以描述为一条直线，例如线性函数,最简单的情形就是过原点的直线。( )yf xaxb( )yf xax而对于过原点的直线，其满足加法线性和数乘线性，即，( )yf xax1212()()()f xxf xf x而且；或者这么概括：；一句话，线性组合的函数，()( )f kxkf x1 1221122()( )()f k xk xk f xk f x等于函数的线性组合。2 22 2、行列式的几何意义、行列式的几何意义（1）二阶行列式的几何意义二阶行列式是平面上以行向量和为邻边的平行四边形的12212aaDbbxoy

18、12,aa a12,bb b有向面积：若这个平行四边形是由向量沿逆时针方向转到而得到的，面积取正值；若这个平行四边形ab是由向量沿顺时针方向转到而得到的，面积取负值。ab如上图所示，,而。另外，二阶行列式的另一个几何( , )sin()S a ba b1 22 1sin()aba ba b意义就是两个行向量或列向量的叉积的数值。a b（2）三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积，我们可以引用混合积这个概念来表示。向量、和的混合积。从三阶行列式中，我们abc123123123( , , )()aaaa b ca bcbbbccc 还可以得到一些简单

19、的结论。推论 1：三点、和共面的等价条件是。abc1231231230aaabbbccc推论 2：过平面上两点, ,的直线方程为。 11( ,)x y22(,)xy12121101xyxyxy2.32.3、矩阵乘积的几何意义、矩阵乘积的几何意义对于矩阵的乘积的几何意义，我们首先要简单了解矩阵的发展历程：1801 年，德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体；接着，在 1844 年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换” （矩阵）及其乘积；然后，于 1850 年，英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词；之后，在 1858 年，英国数学家凯莱发表关于矩阵理论的研究报告 。他首先将矩阵作为一个独立

20、的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。矩阵实质上就是一个线性变换。矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看平面中的一个简单例子。例：给定一个线性变换，可以简单记为，其中 11111 112222221 1222:xyya xa xXYxyya xa x YAX； 另有一个线性变换，简记为，其11122122aaAaa111111122222211222:yzyb yb yYZyzyb yb y ZBY中。则通过复合

21、，我们得到一个新的线性变换11122122bbBbb，即, ,其中 11111 111221111 121222222221 112221121 1222222()():()()xzzb ab axb ab axXZxzzb ab axb ab ax ZCX。另一方面，又有，于是我们可以定义11 11122111 12122221 11222121 122222b ab ab ab aCb ab ab ab aZBAX11 11122111 12122221 11222121 122222b ab ab ab aBAb ab ab ab a2.42.4、向量组线性相关、向量组线性相关( (无关

22、无关) )与几何中向量共面、共线之间的关系与几何中向量共面、共线之间的关系若是三维空间的向量,则:线性相关; 线性相关; 线性相关对应几何直观分别为,为零向量; 共线; 共面。因此,一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是,空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中 3 个不共面的向量组成的。2.52.5、向量组正交化的几何解释、向量组正交化的几何解释线性无关的向量组可以由 Schmidt 正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为：如果有 3 个线性无关的向量, , ,则可以通过 Schmidt 正交化得到相应的 3 个正交向量, , ,。这里, ,12312311, ,其中为在

23、上的投影向量; 为在,所确定的平面上的垂直投影2223332213312向量。3 3、解析几何的基本作用、解析几何的基本作用前面通过一些简单的介绍，说明了我们可以将一些抽象的代数概念直观化、几何化。另一方面，一些几何问题，我们可以通过引入坐标系，转化为代数问题来解决，这个就是解析几何的基本思想。下面举些例子具体说明。我们拟从直线与封闭曲线（圆、椭圆） 、直线与非封闭曲线（抛物线、双曲线）两方面探索直线与圆锥曲线的位置关系。例 1.已知直线，椭圆，试判断直线和椭圆的位置关系。:2l ykx22:12xcy意图 1：体会几何特征是怎样转化成代数形式的；意图 2：通过实例总结判断直线与圆锥曲线交点个

24、数的方法：分析：直线和椭圆的位置关系，实际上就是指直线与圆锥曲线在图像上交点个数。而直线或椭圆的图像，在代数上就是其各自的方程，从而：图像上交点个数直线与圆锥曲线组成的方程组解的个数。这样，我们最终将问题转化为一元二次方程的根的个数问题例 2.已知直线，椭圆 ，22yx14522yx（1）试判断直线和椭圆的位置关系；（2）若相交，求交弦的长；AB分析：（1）直线上的点在椭圆上，从而我们很容易知道两者是相交的。这个问题说明直线与圆锥(0, 2)曲线的位置关系还可以利用数形结合、以形助数的方法来解决，体现衔接。（2）方法 1：直接联立方程，求出交点坐标，用两点间距离公式求弦长方法 2：设交点, ,

25、，则有弦长公式：11( ,)A x y22(,)B xy，对联立的方程组利用韦达定理，对交点设而不求，222121212114ABkxxkxxx x简化运算。回顾处理圆中弦长问题的方法，由于椭圆没有圆的完美对称性，故在圆中利用半径、半弦、边心距组成的直角三角形求弦长的方法失效了。需要说明的是，上述弦长公式也适用于求与圆有关的弦长。例 3：已知直线，椭圆，相交于、两点，若弦的中点为，求中点的2ykx2212xyABABPP轨迹方程。分析：设交点, ,，中点，则，同上例解法，对联11( ,)A x y22(,)B xy( , )P x y122xxx122yyy立的方程组利用韦达定理，对交点设而不

26、求。以上一些例子就是把几何问题，引入坐标系，转换为代数问题来解决。其解决问题的方法就是运用解析几何处理具体问题的基本方法。三、解析几何在代数中的一些运用三、解析几何在代数中的一些运用著名数学家、哲学家笛卡尔通过坐标系，将图形转化为代数的方程，从而将几何问题转化为代数问题来研究。这种处理方法推动了近代数学的发展。既然通过坐标系可以把图形和代数方程联系起来，那么，我们也可以把代数方程看成是某种图形来加以研究，也就是我们常说的笛卡尔方法。例 1. 解方程。2210 38010 38020 xxxx分析：我们知道要去根号，需经两平方才行，我们不妨试一试从几何上进行分析。先将方程左端根号下的二次三项式配

27、方，得到。再将方程225 355 3520 xx左端有根号的两项表示成两个距离，即 。222225 35 3205xyxyy后面这个方程组具有明显的几何意义：方程组中第一个方程表示到两个定点及距离之(5 3,0)( 5 3,0)和为定数 20 的动点的轨迹，即半长轴,半焦距 (因而短半轴)的椭圆；10a 5 3c 5b 12510022yx组中第二个方程表示平行于 x x 轴的两条平行线。上述椭圆与两条平行线的交点的坐标，就是方程组的解，交点的横坐标就是原方程的解。由方程组可得，解得,此即原方程的解。2221100255xyy4 5x 例 2. 已知，适合, ,求函数的最大值和最小值？xy22

28、68240 xyxy22( , )3()f x yxy对于这个问题，我们同样从几何上加以分析：方程表示一个圆，圆心,半径22(3)(4)1xy(3,4)Q为 1。，适合方程，表示点在圆上。而所求函数表示长的平方的 3 倍，即,此处xy( , )P x yOP23OP为坐标原点。于是本题转化为求当点在已知圆上变动时，的最大值和最小值。为此，需先求OP23OP出的最大值和最小值，即求坐标原点与已知圆上的点的距离的最大值和最小值。连结与圆心，OPOOQ线段及其延长线分别交圆于及,则及即为的最大值和最小值（这是因为，对于圆OQBAOAOBOP上任意一点，,).由POPQPOQQAOQOAOPQPOQQ

29、BOQOB, ,得, .所以的最大值, , 5OQ 1 QBQA6OA4OB ( , )f x ymax( , )108f x y的最大值。( , )f x ymin( , )48f x y以上都是些简单的例子，那么对于复杂些的例子，我们要怎么来入手解决呢？下面我们就来介绍解三次和四次代数方程的笛卡儿方法，看一看笛卡儿又是如何创造性地把解析几何用于研究解决代数问题的。首先，我们指出，任意一个三次和四次代数方程，都可以化成解如下形式的四次方程： （1）420 xpxqxr这是因为，对于任意一个三次方程,只要令，就可以得到320zazbzc3azx0)3()3()3(23caxbaxaax把上式展

30、开，合并同类项，由于项的系数互相抵消，我们得到。这个方程各项乘以2x30 xpxq，使它增加一个根,我们就得到形如（1）的方程，其中。x40 x 0r 对于四次方程，只要令,可得4320zazbzczd4azx0)4()4()4()4(234daxcaxbaxaax同理，由于项的系数互相抵消，我们就得到形如（1）的方程。3x那又如何来解形如（1）的四次方程呢？笛卡儿考虑以为中心，为半径的圆与抛物线的交点，( , )a bR222()()xaybR2yx即解方程组。2222()()xaybRyx将第二个方程代入第一个方程，得到的四次方程。如x42222(1 2 )20 xb xaxabR果适当选

31、取使，即只需取, ,a b R1 2bp2aq222abRr则我们得到的正是方程（1） ，为此只须取 ,， (2)2qa21pbrpqR4)1 (4222在方程（1）有实根的情形下，上述是正数。这时方程 表示圆，且方程2R222()()xaybR（1）的全部实根都是上述圆与抛物线的交点的横坐标。特别地，当时，2yx0r 222Rab上述圆通过坐标原点，因此它与抛物线的诸交点中，有一个交点是原点，横坐标为零，即当2yx时，方程（1）的诸根中有一个根为零。0r 我们再来看一个例子。例. 用笛卡儿方法解四次方程：。025424xxx分析：这里 , , , 。 由公式（2）得到4p 1q 25r ，

32、，21a25b425425412R画出以为中心，2 2 为半径的圆及抛物线 y=xy=x2的图形，可知图中四个交点的横坐标, , , ,)25,21(1x2x3x,即为上述四次方程的四个实根。4x我们再来看看以下两个例子，就更能清楚直接的体会到用解析几何怎样巧解一些代数问题了。例 1：已知实数， 满足,求证：对于任意实数,有 abcd22()()0acbdmn。 （1）222222()()()()()()ambncmdnacbd分析：本题若通过代数一般运算来解，要经过两次平方才能去掉根号，过程很繁琐，但如果我们转而从几何上来分析，也就是用解析几何的眼光来看待式（1） 。那就是把此式放到坐标系中

33、考察，看其是否具有某种几何意义。通过坐标系我们容易看出，式（1）所包含的三个根式各表示一个两点间的距离。只要把, ,及分别为设为三个点, , ,的坐标，则代数不等式（1）就转化成几何不等式( , )a b( , )c d( , )m nA B P ( 2 )ABBPAP已知条件说明，即和两点不重合。从几何可知，当点不在22()()0acbd0ABABP线段上时，式（2）中的大于号成立；当点在线段上时，式（2）中的等号成立。于是对于所ABPAB有的点 P P，式（2）成立，即对于任意实数,，式（1）成立。mn例 2：若 0 0, , ,求证01x01y ， （1）222222221(1)(1)(1)2 2xyxyxyxy并求等式成立的条件。分析：从几何上来分析，也就是将式（1）放在坐标系中考察其是否具有某种几何意义。式（1）左端各项皆表示两点间的距离，我们只要设,，就可将代数不等式(0,0)O(1,0)A(1,1)B(0,1)C( , )P x y（1）转化为几何