高中数学——圆锥曲线

1、数学定义几何学基本概念:从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行；有无穷多解时，二直线重合；只有一解时，二直线相交于一点。常用直线与 X 轴正向的 夹角（ 叫直线的倾斜角 ）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为

2、一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。 空间直线的方向空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。 关系式直线的斜率：k=(y2-y1)/(x2-x1) （x1x2） (1)一般式:适用于所有直线 Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 两直线平行时：A1/A2=B1/B2C1/

3、C2 两直线垂直时：A1A2+B1B2=0 两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2 两直线相交时：A1/A2B1/B2 (2)点斜式:知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为 y-y0=k(x-x0) 当k不存在时，直线可表示为 x=x0 (3)截距式:不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线 知道直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为 x/a+y/b=1 (4)斜截式: Y=KX+B (K0)当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。 两直线平行时 K1=K2 两直线垂直时 K1 X K2 =

4、-1 (5)两点式 x1不等于x2 y1不等于y2 (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)    （6）法线式 x·cos+ysin-p=0 （7）点到直线方程    注意：各种不同形式的直线方程的局限性： 点斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直线； 两点式不能表示与坐标轴平行的直线； 截距式不能表示与坐标轴平行或过原点的直线； 直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零    （8）两平行直线间的距离 IC1-C2I / 根号下A的平方加上B的平方椭圆     椭圆作图范例椭

5、圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。 椭圆在方程上可以写为标准式x2/a2+y2/b2=1，它还有其他一些表达形式，如参数方程表示等等。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，即行星轨道是椭圆，以恒星为焦点。   椭圆的第一定义tuyuán 平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即：PF+PF'=2a 其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离FF'叫

6、做椭圆的焦距。 椭圆的第二定义平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数） 其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a2/c或者y=±a2/c)。 椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况 切线与法线的几何性质定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，则AP

7、F1=BPF2。 定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线，则AB平分F1PF2。 上述两定理的证明可以查看参考资料1。 计算机图形学约束椭圆必须一条直径与X轴平行，另一条直径Y轴平行。不满足此条件的几何学椭圆在计算机图形学上视作一般封闭曲线。 标准方程    高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。 椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴： 1）焦点在X轴时，标准方程为：x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0) 2）焦点在Y轴时，标准方程为：x

8、2/b2+y2/a2=1 (a>b>0) 其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称    F点在Y轴轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a2-b2)0.5，焦距与长.短半轴的关系:b2=a2-c2 ,准线方程是x=a2/c和x=-a2/c ，c为椭圆的半焦距。 又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，mn)。既标准方程的统一形式。 椭圆的面积

9、是ab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acos ， y=bsin 标准形式的椭圆在(x0，y0)点的切线就是 ： xx0/a2+yy0/b2=1 lk一般方程Ax2;+Bxy+Cy2;+Dx+Ey+F=0 (A.C不为0) 公式椭圆的面积公式S=(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如 L = 0,/24a * sqrt(1-

10、(e*cost)&sup2;)dt2(a&sup2;+b&sup2;)/2) 椭圆近似周长, 其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则 e=PF/PL 椭圆的准线方程x=±a2/c 椭圆的离心率公式e=c/a(0<e<1,因为2a>2c) 椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a&sup2;/C)的距离,数值=b&sup2;/c 椭圆焦半径公式焦点在x轴上：|PF1|=a+

11、ex0 |PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 焦点在y轴上：|PF1|=a-ey0 |PF2|=a+ey0 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b2/a 点与椭圆位置关系点M（x0，y0） 椭圆 x2/a2+y2/b2=1 点在圆内： x02/a2+y02/b2<1 点在圆上： x02/a2+y02/b2=1 点在圆外： x02/a2+y02/b2>1 直线与椭圆位置关系y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相离<0无交点

12、 相交>0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 椭圆的斜率公式过椭圆上x2/a2+y2/b2=1上一点（x，y）的切线斜率为 -(b2)X/(a2)y 椭圆焦点三角形面积公式 若F1PF2=, 则S=b2tan/2 椭圆参数方程的应用求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解 x=a×cos， y=b×sin a为长轴长的一半 相关性质 由于平面截圆锥（或圆柱）

13、得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。 例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点 用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 例：已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b&

14、gt;0）的离心率为6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为3. （1）求椭圆C的方程. （2）直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求PAB面积的最大值. （3）在（2）的基础上求AOB的面积. 一 分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等(椭圆的定义），可知a=3，又c/a=6/3,代入得c=2，b=(a2-c2)=1,方程是x2/3+y2/1=1， 二 要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x2/3+y2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有(1+k2)x2-x1(中括号表示绝对值）弦长=32/

15、2,对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以 发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m,利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5), 三 直线方程x-y+1=0,利用点到直线的距离公式求的2/2,面积1/2*2/2*32/2=3/4,双曲线   双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即

16、圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线 定义1：    平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离1）的点的轨迹称为双曲线。 定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线。 定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。 定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

17、 1. a,b,c不都是0。 2. b2 - 4ac > 0。 在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2/a2 - y2/b2 = 1。 上述的四个定义是等价的。 重要概念和性质以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。 双曲线有两个分支。 在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和

18、一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。） 双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。 双曲线有两条渐近线。 双曲线的简单几何性质1、轨迹上一点的取值范围：xa,x-a（焦点在x轴上）或者ya,y-a（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且AA'=2a. B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且BB'=2b. 4、渐近线： 焦点在x轴

19、：y=±(b/a)x. 焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线=ep/1-ecos当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，为弦与X轴夹角 令1-ecos=0可以求出，这个就是渐近线的倾角。=arccos(1/e) 令=0，得出=ep/1-e, x=cos=ep/1-e 令=PI，得出=ep/1+e ,x=cos=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标。 求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） x=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 （注意化简一下） 直线cos=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交

20、的对称轴。 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是 则=-PI/2-arccos(1/e) 则=+PI/2-arccos(1/e) 代入上式： cos+PI/2-arccos(1/e)=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 即：sinarccos(1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 现在可以用取代式中的了 得到方程：sinarccos(1/e)-=(ep/1-e)+(-ep/1+e)/2 现证明双曲线x2/a2-y/b2=1 上的点在渐近线中 设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则 y=(b/a)(x2-a2) (x

21、>a) 因为x2-a2<x2,所以y=(b/a)(x2-a2)<b/ax2=bx/a 即y<bx/a 所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此 5、离心率： 第一定义： e=c/a 且e(1，+). 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离PF 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点PF/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 左焦半径：r=ex+a 右焦半径：r=ex-a 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2

22、a=2b 且 e=2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 8、共轭双曲线 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达：S：(x2/a2)-(y2/b2)=1 S'：(y2/b2)-(x2/a2)=1 特点：（1）共渐近线 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线： 焦点在x轴上：x=±a2/c 焦点在y轴上：y=±a2/c 10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦） d=2b2/a 11、过

23、焦点的弦长公式： d=2pe/(1-e2cos2) 12、弦长公式： d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = (x1 - x2)&sup2; + (y1 - y2)&sup2; 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|(1 + k&sup2;)

24、或 |AB| = |y1 - y2|(1 + 1/k&sup2;) ·双曲线的标准公式与反比例函数 X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的对称轴是x轴，y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a0,顺时针） (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = /4 则 X2 - Y2 = (

25、xcos(/4) + ysin(/4)2 -(xsin(/4) - ycos(/4)2 = (2/2 x + 2/2 y)2 -(2/2 x - 2/2 y)2 = 4 (2/2 x) (2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X2/(2c) - Y2/(2c) = 1 (c>0) Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式. 双曲线焦点三角形面积公式若F1PF2=, 则SF1PF2=b2;·cot（/2) ·例：已知F1、F2为双曲线C：x2;-y;

26、=1的左右焦点，点P在C上，F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得SF1PF2=b2;·cot（/2)=1×cot30°， 设P到x轴的距离为h，则SF1PF2=&frac12;×F1F2×h=&frac12;22×h=3， h=6/2抛物线   抛物线抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线

27、的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。    抛物线定义平面内，到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。且定点F不在直线上另外 , F 称为"抛物线的焦点"，l 称为"抛物线的准线"。 定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0. 以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。 标准方程抛物线的标准方程有四个：    抛物线右开口抛物线：y2=2p

28、x 左开口抛物线:y2= -2px 上开口抛物线：x2=2py 下开口抛物线:x2= -2py p为焦准距（p>0） 在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x= -p/2； 在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线l的方程是x=p/2； 在抛物线x2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y= -p/2； 在抛物线x2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线l的方程是y=p/2； 相关参数(对于向右开口的抛物线) 离心率：e=1 焦点:(p/2，0) 准线方程l:x=-p/2 顶点：(0，0) 通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）

29、中，过焦点并垂直于轴的弦定义域（X0） 值域（YR) 解析式求法以焦点在X轴上为例 知道P（x0，y0) 令所求为y2=2px 则有y02=2px0 2p=y02/x0 抛物线为y2=(y02/x0)x 光学性质经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。 面积和弧长公式    抛物线面积 Area=2ab/3 弧长 Arc length ABC =(b2+16a2 )/2+b2/8a ln(4a+(b2+16a2 )/b) 其他抛物线：y = ax2 + bx + c （a0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a <

30、0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x-h）2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程：y2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 对称性解题我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a 0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的

31、问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。 例1已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 分析设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。 y = -（

32、x+1）（x-3），即 y = - x2 + 2x +3。 例2已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。 分析要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。 由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。 y = -(x-1)2+ 6，即 y = - x2 + 2x +5。 当x =0时，y = 5。 例3已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求ABC的面积。 分析要求ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4或y = a（x+3）（x-1）。 点（1，0）在抛物线上， 4a + 4 = 0。a = -1。 y = -（x+1）2