高中数学选修11导数及其应用测试题解析版

1、第83套题高中数学一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)2(文)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f (x)的图象大致形状是()4(文)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,75对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)<2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)>2f(1)6设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A

2、1 B.C2 D28已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x±1处的切线斜率均为1，给出以下结论：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A0个 B1个C2个 D3个9若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，) B2，)C(，2 D(，211函数f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf(x)f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，12设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yx

3、·f(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()Af(1)与f(1) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(2)与f(2)第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_14(文)函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_15已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_16(文)对正整数n，设曲线yxn(

4、1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是_三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直，(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间m，m1上单调递增，求m的取值范围18(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)2x3ax2bx3在x1和x2处取得极值(1)求f(x)的表达式和极值(2)若f(x)在区间m，m4上是单调函数，试求m的取值范围19(本小题满分12分)(文)设函数f(x)x22tx4t3t23t

5、3，其中xR，tR，将f(x)的最小值记为g(t)(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间1,1内的单调性；(3)若当t1,1时，|g(t)|k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围21(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf (x)的图象经过点(1,0)，(2,0)如右图所示(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值2(文)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f (x)的图象大致形状是()答案B解析因为二次函数在(，0)上递增，在(0，)递减，所以其导函数在(，0)大于0，在(0，)小于0，故选B.(理)下面四图都是在同一

6、坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A BC D答案B解析因为三次函数的导函数为二次函数，其图象为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数，当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定不正确4(文)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7 B(，20C(，0 D12,7答案B解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20，综上可知应选B.(理)已知实数a，b，c，d

7、成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2B1C1 D2答案A解析a，b，c，d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或，ad2.6设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B.C2 D2答案A解析yf1，由条件知1，a1，故选A.8已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x±1处的切线斜率均为1，给出以下结论：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A0个 B1个C

8、2个 D3个答案C解析f(0)0.c0.f (x)3x22axb，即，a0，b4，f(x)x34x，f (x)3x24.令f (x)0得x±2,2极值点有两个f(x)为奇函数，f(x)maxf(x)min0.正确，故选C.9若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，) B2，)C(，2 D(，2答案A解析由条件h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)11函数f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf(x)f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有()Aaf(b)<bf(a

9、) Bbf(a)<af(b)Caf(a)<f(b) Dbf(b)<f(a)答案B解析构造函数y(x>0)，求导得y，由条件知f(x)<0，y<0，函数y在(0，)上单调递减，又a>b>0，<，即bf(a)<af(b)12设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yx·f(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()Af(1)与f(1) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(2)与f(2)答案C解析由图象知f(2)f(2)0.x>2时，yx·f(x)>0，f(x)&g

10、t;0，yf(x)在(2，)上单调递增；同理f(x)在(，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减，yf(x)的极大值为f(2)，极小值为f(2)，故选C.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_答案4解析y3x26ax3b，y3x26x，令3x26x0，则x0或x2，f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.(理)定积分2dx_.答案解析设y，即(x3)2y225(y0)2dx表示以(3,

11、0)为圆心，5为半径的圆的面积的四分之一2dx.14(文)函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的取值范围是_答案a>2或a<1解析f (x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x22axa20有两个不相等的实根，即4a24a8>0，解得a>2或a<1.(理)函数y(sintcostsint)dt的最大值是_答案2解析y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)| cosxcos2xcosx(2cos2x1) cos2xcos

12、x(cosx1)222. 当cosx1时取等号15已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_答案b<1或b>3解析yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<1或b>3.16(文)对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是_答案2n12解析yxn(1x)，y(xn)(1x)(1x)·xnn·xn1(1x)xn.f (2)n·2n12n(n2)&

13、#183;2n1.在点x2处点的纵坐标为y2n.切线方程为y2n(n2)·2n1(x2)令x0得，y(n1)·2n，an(n1)·2n，数列的前n项和为2n12.(理)设函数f(x)cos(x)(0<<)若f(x)f (x)是奇函数，则_.答案解析f (x)sin(x)，f(x)f (x)cos(x)sin(x)2sin.若f(x)f (x)为奇函数，则f(0)f (0)0，即02sin，k(kZ)又(0，)，.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)ax3bx2的图

14、象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直，(1)求实数a、b的值；(2)若函数f(x)在区间m，m1上单调递增，求m的取值范围解析(1)f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，ab4.f(x)3ax22bx，则f(1)3a2b，由条件f(1)·()1，即3a2b9，由式解得a1，b3.(2)f(x)x33x2，f(x)3x26x，令f(x)3x26x0得x0或x2，f(x)的单调递增区间为(，2和0，)由条件知m0或m12，m0或m3.(理)已知函数f(x)x3ax，g(x)2x2b，它们的图象在x1处有相同的切线(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(

15、2)如果F(x)f(x)mg(x)在区间，3上是单调增函数，求实数m的取值范围解析(1)f(x)3x2a，g(x)4x，由条件知，f(x)x3x，g(x)2x2.(2)F(x)f(x)mg(x)x3x2mx2，F(x)3x24mx1，若F(x)在区间，3上为增函数，则需F(x)0，即3x24mx10，m.令h(x)，x，3，则h(x)在区间，3上的最小值是h()，因此，实数m的取值范围是m.18(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)2x3ax2bx3在x1和x2处取得极值(1)求f(x)的表达式和极值(2)若f(x)在区间m，m4上是单调函数，试求m的取值范围解析(1)依题意知：f(x)6

16、x22axb0的两根为1和2，f(x)2x33x212x3.f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)>0得，x<1或x>2；令f(x)<0得，1<x<2.f(x)极大f(1)10.f(x)极小f(2)17.(2)由(1)知，f(x)在(，1和2，)上单调递增，在1,2上单调递减m41或或m2.m5或m2，即m的取值范围是(，52，)(理)(2010·广东中山)已知函数f(x)ax3(sin)x22xc的图象过点，且在(2,1)内单调递减，在1，)上单调递增(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意x1，x2m，m3(m0)，不等式|f(x

17、1)f(x2)|恒成立，试问这样的m是否存在？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由解析(1)f(x)3ax2xsin2，由条件可知，sin1，sin1，a，f(x)x3x22xc，又由f(1)得c，f(x)x3x22x.(2)f(x)x2x2(x2)(x1)，易知f(x)在(，2)及(1，)上均为增函数，在(2,1)上为减函数，当m>1时，f(x)在m，m3上单调递增，f(x)maxf(m3)，f(x)minf(m)由f(m3)f(m)(m3)3(m3)22(m3)m3m22m3m212m得，5m1，这与条件矛盾当0m1时，f(x)在m,1上递减，在1，m3上递增，f(x)min

18、f(1)，f(x)max为f(m)与f(m3)中较大者，f(m3)f(m)3m212m3(m2)2>0，(0m1)，f(x)maxf(m3)，|f(x2)f(x1)|f(m3)f(1)f(4)f(1)恒成立，故当0m1时，原不等式恒成立，综上，存在m0,1符合题意19(本小题满分12分)(文)设函数f(x)x22tx4t3t23t3，其中xR，tR，将f(x)的最小值记为g(t)(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间1,1内的单调性；(3)若当t1,1时，|g(t)|k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围解析(1)f(x)(xt)24t33t3，当xt时，f(x)取到其最小值g(t)，即g(t)4t33t3.(2)g(t)12t233(2t1)(2t1)，列表如下：t(1，)(，)(，1)g(t)00g(t)极大值g()极小值g()由此可见，g(t)在区间和上单调递增，在区间上单调递减(3)g(1)g4，g(1)g2g(t)max4，g(t)min2，又|g(t)|k恒成立，kg(t)k恒成立，k4.21(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)ax3bx2