高中数学基本不等式难点剖析

1、基本不等式-难点剖析【例1】 已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.思路分析:由于x<,即4x-5<0,故使用基本不等式求最值时,需调整符号与积为常数,所以需对4x-2进行拆分、配凑.解:x<,5-4x>0.y=4x-2+=-(5-4x)+3-2+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1. 思维启示:基本不等式a+b2成立的条件之一是各项必须全为正数,这一点非常重要,希望同学们特别注意.【例2】求y=+的最小值. 思路分析:本题符合基本不等式求最值的条件:一正、二定,但“等号”取不到,于是考虑换元,将换元成t,

2、然后利用函数的单调性求解. 解:令=t(t2), 则y=t+,t2,+. 由函数单调性定义可以证明y=t+,t2,+为增函数.当t=2时,ymin=2+=,当且仅当x=0时,等号成立. 思维启示:(1)对于本题有的同学这样解:y=+2,ymin=2. 上述解法错误的原因是没有验证“等号”是否能取到,从而导致错误.(2)又如:求y=sinx+,x(0,)的最小值.有的同学给出下面的错解:x(0,),sinx>0. 故sinx+2=6.y=sinx+的最小值为9. 上述解法错误的原因还是没有验证“等号”是否取到.正确的解法如下: 设t=sinx,x(0,t(0,1),则y=t+. 设t1、t

3、2(0,1且t1<t2,则y1-y2=t1+-t2-=(t1-t2)+=.t1、t2(0,1,t1t2-9<0.0<t1<t21,t1t2>0,t1-t2<0.>0.y1>y2.y=t+在t(0,1)上是减函数.ymin=10,当且仅当t=1即x=时,函数取到最小值.(3)利用基本不等式求最值的关键在于“一正、二定、三相等”,一正:各项为正;二定,要求积的最大值,则其和必须为定值,要求和的最值,其积必须为定值;三相等:必须验证等号是否成立,否则容易导致错误,这一点同学们做题时最容易忽略.【例3】 已知x>0,y>0,且+=1,求x+y

4、的最小值. 思路分析:要求x+y的最值,可根据条件减元,转化为只关于x的函数或只关于y的函数,然后构造适合不等式的条件求最值.解法一:+=1且x>0,y>0,y=(x>1).x+y=x+=x+=x+9=x-1+102+10=16. 当且仅当x-1=,即x=4,y=12时,取等号.当x=4,y=12时,x+y的最小值为16. 解法二:+=1,x+y=(x+y)·(+)=10+.x>0,y>0,+2=6. 当且仅当=,即y=3x时,取等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时,x+y取最小值16. 思维启示:消元化归是常见的一种求最值的方法,通过

5、消元转化为基本不等式求最值.【例4】 当x>3时,求y=的最小值. 思路分析:本题是分式函数,又分子、分母次数相同,故需先化简,然后再求最值.解:(1)x>3,x-3>0.y=2(x-3)+122+12=24.当且仅当2(x-3)=时,即x=6或x=0时,y最小值=24. 思维启示:对于分式函数求最值应首先通过分离常数的方法,转化为基本不等式类型,求函数的最值.【例5】 一船由甲地逆水行驶至乙地,甲、乙两地相距s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a).已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度的平方成正比,比例系

6、数为k,问:船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最少? 思路分析:首先将全程燃料费表示成静水中速度的函数,然后求其最值. 解:设船在静水中的速度为v(km/h),则船每小时的燃料费用为kv2, 而全程所需时间为, 故全程的燃料费用为y=·kv2=ks(v-a)+2av(a,b).(1)当2ab时,y=ks(v-a)+2a4aks. 等号当且仅当v-a=,即v=2a时成立.当v=2a时,其全程的燃料费用最少.(2)当2a>b时,令t=v-a,z=t+, 则0<tb-a. 设0<t1<t2b-a<a, 则0<t1t2(b-a)2<a2,

7、>1,t1-t2<0.z1-z2=t1+-(t2+)=(t1-t2)(1-)>0, 即z1>z2.z=t+在(0,b-a)上递减. 故当t=b-a,即v=b时,y有最小值. 综上所述,要使全程的燃料费用最少,则应:当b2a时,v=2a;当b<2a时,v=b. 思维启示:解应用题时应注意两个问题:一是建模问题,即通过建立数学模型把应用问题转化为单纯的数学问题;二是建模后的求解问题,如何用相关的知识将其具体解出.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少? 思路分析:年平均费用等于总费用除以年数,总费用包括:购车费用、保险费、养路费、汽油费总和以及维修费用总和,因此应先计算总费用,再计算年平均费用. 解:设使用x年平均费用最少. 由条件知:汽车