福建省漳州市2020届高中毕业班(5月)第三次教学质量检测理科数学试题(含答案)

1、漳州市2020届高中毕业班第三次教学质量检测理科数学试题本试卷共6页。 满分150分。 考生注意：1 .答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的推考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2 .第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用0. 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3 .考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是

2、符合题目要求的。1 .已知集合 A=X 2 X 3 ,集合B满足A AB=A,则B可能为A. x1x3B. x2x3C. x3x2D. x3x3uuuu2 .已知复平面内点 M, N分别对应复数z1 2 i和z2 1 i ,则向量MN的模长为A.1B. .3C. .5D. 33 .等比数列 an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1=1,则S 4=D.16A.7B.8C.1540.40.44 .已知 alog0.3,b0.2 ,c 0.3 ,则A. a < b < c B. a< c < bC. b< c< aD. b< a<

3、 c5.已知角&的终边过点P (-2m, 8)且cos &则tan a的值为3A.一4B.C.4D.一36 .甲、乙等4人排成一列，则甲乙两人不相邻的排法种数为A. 24B.12C.6D.4一 一、，1、.，,，一,，7 .函数f(x) (x -)sin x在,0)U(0,的图象大致为 x8.如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某三棱锥的三视图，则该三棱锥的内切球表面积为32 .3 A.16 B.27C. 48 兀D. 32M 兀9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球 为了弘扬中国茶文化，某

4、酒店推出特色茶食品 金萱排骨茶”，为了解每壶金萱排骨茶”中所放茶叶量x克与食客的满意率 y的关系， 通 过试验调查研究，发现可选择函数模型 y aebx c来拟合y与x茶口1员克12345hi(100y)4, 344. 364.444, 454. 51的关系，根据以下数据:可求得y关于x的回归方程为3“0.043 x 4.291A. ye入10.043x 4.291C. y e1000.043x 4.291B. ye10.043 x 4.291D. ye1001上运动,一.一22 一 过点Q作圆（x 1） y 1的两条切线,22x y10 .已知点Q在椭圆84点分别为A , B,则AB的最小值

5、为2,5A.326D. 6B.4,6 C. 3直线OA与平面a所成角的正弦值的最大值为.37373与水平地面所成角记为以直线OB与水平地面所成角记为8,当0 < 0 J时,20 + 6为定值.其中正确结论的个数为A. 1B.2C.12.已知函数 f(x) 2sin( x )为M,则M的最小值为A. 22B. .2二、 填空题：本大题共4小题，13 若向量：=(1, 2), b =(2,D. 4h的最小正周期为C. 1每小题5分, r r1),则 a + b 与 a 20f(x)在0N2 ,2D.2分。的夹角等于上的最大值11 .如图， 大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园.游客坐在

6、圆形的座舱中，面向外.通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年五一，小明去某游乐园玩 火摆锤”，他坐在点 A处， 大摆锤”启动后， 主轴OB 在平面a内绕点。左右摆动， 平面a与水平地面垂直，OB摆动的过程中， 点A在平面 3内绕点B作圆周运动， 并且始终保持 OB，& BC 0已知OB = 6AB,在 大摆锤”启 动后，给出下列结论：点A在某个定球面上运动； 线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值；220,b 0)的渐近线方程为y 2x,则双曲线的离心率，一x y 14 .已知双曲线 C：= 2 1(a a2

7、 b2为。15 .勤洗手、常通风、戴口罩是切断新冠肺炎传播的有效手段 .经调查疫情期间某小区居民 人人养成了出门戴口罩的好习惯，且选择佩戴一次性医用口罩的概率为 P,每人是否选择佩戴一次性医用口罩是相互独立的.现随机抽取5位该小区居民，其中选择佩戴一次性医用口罩的人数为 X,且P(X = 2) < P(X = 3), D(X) = 1.2,则P的值为。n202016 .已知数列 an 满足 an 1 an an 2,n N ,ai 5,则 a 1 1i 1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考

8、题，考生根据要求作答。(一)必必考题题：共60分。17 .(12 分)ABC内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,满足（2b J3c）cosA VSacosC（2）如图， 若AB =4, AC=V3, D为 9BC所在平面内一点,DBXAB , BC = CD, 求 ABCD 的面积.18 .（12 分）已知三棱柱 AiBiCi ABC 中，AB=AC=J2,BC = BBi=2, 点 M 为 CCi 的中点， BiN = 2NA.(1)求证：AiCi / 平面 BMN ;(2)条件：直线ABi与平面BBiCiC所成的角30°,条件 ：/ BiBC为锐角， 三棱锥 Bi

9、 ABC的体积为 O在以上两个条件中任选 3个，补充在下面的问题中,并解决该问题：若平面ABC，平面BBiCiC, ,求平面BMN与平面BB iCiC所成的锐二面角的余 弦值.注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19 . (12 分)已知抛物线C: x2 2py(p 0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线与C交于A, B两点，AB 8求C的方程；(2)过点D(1 , 2)的直线l交C于点 M, N, 点Q为MN的中点，QR ±x轴交 C于 uur uuu点R,且QR RT ,证明： 动点T在定直线上.20 . (12 分)某工厂的一台某型号机器有

10、2种工作状态：正常状态和故障状态若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布N ( , 2),其中科近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x用该组区间中点值为代表 处于正常状态，否则,02近似为这1000个产品的质量指标值的方差S2 (同一组中的数据).若产品的质量指标值全部在(厂3 b,科+ 3 b)之内，就认为机器 认为机器处于故障状态.图2(1)下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值

11、:294555636773788793113请判断该机器是否出现故障？(2)若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一： 加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二： 常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元；现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i(i = 1, 2,，7)天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率 .已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？附：188 13.71, 208 14.4

12、2, . 228 15.10 .21 . (12 分)已知函数 f(x) ex ax 1 sin x当a= 2时，证明：f (x) 0(2)当a >1时，讨论函数f(x)的零点个数.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一 个题目计分.22 选彳44:坐标系与参数方程(10分)x t 1在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为t(t为参数).,21y t针4(1)求曲线C的普通方程；(2)以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=6( R),直线l与曲线C交于A, B两点，求AB 23.选彳4 5:不等式选讲(

13、10分) 已知函数 f(x) 2x 1 x 2,g(x) 2x m 2x 1 (1)求不等式f (x) 2的解集求m的取值范围(2)若存在 xi, x2e R,使得 f (Xi) gd) 0 ,漳州市2020届高中毕业班第三次教学质量检测理科数学答案及评分标准评分说明：1 .本招答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本斛答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标泄制定相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后组却分的解答未改变该题的 内窈和唯度，可视影响的程度决定后婚跖分的终分.但不得超过技部分正确解容应给分破的 一生；如果后继部分的偎答有较严重的错误，就

14、不再给分.3 .偶答右姐所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分散.4 .只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分6()分“I.D2.C3. C4. A5. B6. B7. A8. B9. D10. D11. C12. D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分，13 . y14.615. J16.5三、解答题：本大题共6小题，共70分°解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤°17 .解：(1)因为 AABC 中，(26 - -./Jc)。/八=>/3acn»C,由正弦定理

15、可得，I2sin。- TTsinG - - I'3si!t4 cosC, 2分得 2tunB , co*4 = .(siriA cnsC + ccM »inC),得 2sin£ , coa4 = TJsinfi. 4 分因为 > 0. 所以corA = 亨，5 分因为()< 4 < 7T,所以A = , 6分6(2)因为48C 中，A = , 48=4, 4c =",6所以 BC' = AB' + AC2 - 2AB - AC - cns4 = 4, + (6)？ - 2 x 4 x 力 x ccs； = 7,所以8C =

16、 ". 7分sin Z ABC吟mi nA且 /.da AC . . 73Iv2lW 6mL ABC = 8in4 = x ,BC 万2148分理科数学答案及评分标准 第1页(共10页)因为08 1 AB./yr所以8CO 中，（DBC =/.ABC, rasZPC = sinZ.4fiC = - 21411分9分 所以 sinzi DBC = x 1 - co< L DBC =因为DC = BC =耳,作CE JL BD于点E,则E为BD的中点，CE =RC 7in£DBC = -Jl x 怖"二;，BD = 2BE = 2BC cm 乙 DBC = 2

17、x 犷 x ；： = Q,所以 S&bb = BD CE = 3T x , 乂5=；厅, 12 分18 .解：（I）延长6N交4%于点已连接PM,因为力4人名./?PV = 2/V4.所以照=怒=；,所以叫:加分iJlJ 4 w £j /又儿=% 所以=24P,即为44的中点， 2分因为时为CC1的中点,aa,£cc,所以PA&C,则四边形P.4.CrW为平行四边形.所以4 c / PM. 3分又因为4£（Z平面BPM, PM C平面BPK. 4分所以4a 平以8PM即-C.平所以MN 5分注：本小题思路二：设= 可先证明A堀再证明4G 平面 BM

18、N.思珞三：取6卅的中点匕 连揉A，CF.可先证明平面8HN 平面 ?G儿，从而得到4G 平面BMN.如果考生按思路二或思路三作答本小题，并且证明过程正确.应相应给分；若 用其它解法作答，只要过程正嘀，也相应给分.（2）选择条件，解答过程如下；取AC的中点O.连接40, B、0,因为 ”3= AC =71. BC = 2,理科数学答案及评分标准第2页（共10页）所以LABC为直角三角形，所以 40= I,且 40 _18c./'/ 因为平面A8C 1平面8&GC平面.44。n 平面/?4GC = bc.二不 1/AO 1 3c.4。C 平面A8C,所以AO ±平面BB

19、£C. 6分NA&O为4从与平面84GC所成的角.乙地0 = 30。, 7分RtA.40!中，A0 = I, B、0=Q,因为 80 = 1, £?.()= 73, BB, = 2,所以幺。'+=眄:所以8。1 &0. 8分如图.以。为坐标原点，以加，西，HT为x轴、；y帕、c轴正方向建立空间直 角坐标系，则 A(0, 0, 1) , 3(1, 0. 0) , C(- L (), 0) , &(), 0 0), 所以前:元二(-1.(),-I) .正二(-2. (). 0),丽=(-1, Q,(),所以嬴=懿+方=正+ ；珂=(-2, 0,

20、0) +设平面BMN的法向量为， =(x,八z).取力=/I,则 y = 5. z =-/J,则 m = (j3,5, - /J) , 10 分因为平面8'GClz轴.所以平面8'GC的一个法向量为 = (0, 0, 1),所以cns < m»i ji - J3 -/93mn x |31II分所以平面BMN与平面881GC所成的锐二面隹的余弦值号工 12分J I(2)选择条件，解答过程如下： 取6c的中点0.连接.40,星。.因为 46="=含，BC = 2,所以成+耐=8。:所以A8J.4C,所以&48C为直角三角形，所以.40= I,且,4

21、0 1 BC,因为平面A8C 1平面88GC平面A8C n平面3&C|C;BC,AO 1 BC. AO C 平面 46c, 所以AO 1平面BB£C. 6分所以.4。为三棱锥R-ABC的高.因为 S&Bcj = BB sinZC/?/?! = 2sin ,2/j所以 qtbc =匕电= S&网=ysinzLCBB)=,所以 AnLCBBl = , 7 分因为Z./4C为锐角,所以Z.CZ& =60：因为4c =64=2,所以34（为等边三角形，所以OB 1 0B、. 8分如图，以。为坐标原点，以方，西，M为x轴、夕粕、？轴正方向建立空间直 角坐标系.则

22、40, 0, I）, 6（1, 0. 0）, CQ1,（）,（）, /?,（）, 0 0）,所 1乂丽=就=(-1. (). - 1) .就=(-2.(), 0) 煦=(一 I. 3.()，所以前=就 +品=1 + ；就=(-2. 0, 0) + | - -, , 0 12 2llr- z9 T设平面8MA的法向量为， =（*. y,BM m = 0, 一即，RW - w =(),取 x=.'3,则 y = 5.占=一月，则 m =5, - 7J） , 10 分因为平面861GC_L:轴,所以平面的一个法向量为 =（0, 0. I）.m w -，3J 93.,公所以 cce <

23、m, n > = -nr = =- -TT-, 11 分tn I n 7JT x 131所以平面8I/N与平面8仇GC所成的锐二面隹的余弦值密 12分J I19 .解法一：（1）设力）.B&,力）,因为F 0.。，所以过/且斜率为1的直线方程为八r + -j-, I分代入 x' - 2py,得 - - 2Px - p- = 0. 2 分所以式+ x> =2p, 3分理科数学答案及评分标准 第#页（共10页）%+力+孙+ P = 3p，所以 IA81=% +力 + p = 4p = 8, 4 分解得P = 2, 所以C方程为/=小5分(2)证明：因为直线/斜率A存在.

24、设/方程为 =乂X -1)+2,消y得r-4h +必-8 = 0.所以 = 16(好 一 A + 2) > 0,相 + a = 4".x3 x4 = 4k - 8 7分 宿+宿，所以 4 = = 2k,= Mx。- 1) + 2 = 2A* - * + 2,即。，2A- - A + 2) , 8 分由点H在曲线£上且。K_L式独.而=而,得R(2A,犬)，A为。丁的中 点，所以 T 为(2k, K-2) , 10 分因为2k-2(k -2) -4 = 0,所以T在定直线式-2y-4 = ()上.12分解法二：(I)同解法一8分(2)设 T(x, y).时(小，力)./

25、V(x4,九)，二 4) 4 ,由 ，'作差得(巧+”.)(/-/) = 4(力,民 = 4以所以！8分4 %一叫设05.九).因为点0的横坐标* =± 一2/所以直线肘N的斜率A =巴二丁.又因为乙二上=上X - Ix -x4所以之二"二，所以h=4(%- 1) +2, 10分2 x - I2因为点a为的中点，所以口考？ 因为点A在C上，代人得r = 2(/, +r), 即一七 + 4 + 2? = (%12分所以r在定直线式-27 - 4 = 0 ±.2().解法一：(I)由图I可估计MMX)个产品质量指标值的平均数第和方差J分别为x =40x 0.0

26、4 + 50 x 0. ()8 60 x 0. 24 + 70 x 0. 30 + 80 x 0. 20 + 90 x 0. 1()+ 100 X 0. (H =70. 2 分=(- 30)2 X o. 04 + ( - 20)2 X 0.08 + ( - 10)2 x 0.24 + 02 x 0.30 + IO2 x (). 2() + 20 x 0. |() + 3(尸 x 0, 04 = 188. 4 分依题意知.m = 70, cr = /188 = 13. 71, 所以 -3。= 28. 87 9 3。r 111.3.所以产品质量指标值允许落在的范围为(28. 87, 111.13)

27、, 5分又抽取产品质量指标值出现了 113,不在(28.87, 111. 13)之内， 故可判断该机器处于故障状态. 6分(2)若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收拉之和为700 + 2(X) = 900 元；8分若安排常规检修，工厂需要要支付检修赍为200元， 设损失收益为X元.则的可能取值为200, 400 . 60(), 800, I(XX), 1200. 1400. 9 分X的分布列为：A2(X)4006008(X)KXX)12001400P0. ()70.180.25(). 2()0. 150. 120. ()3EX = 200 x 0.07 + 400 x 0. 18 + 6

28、00 x 0.25 + 800 x 0. 20 + 1000 x 0. 15 + 12IX) xQ 12 + 14(X) x 0.03 = 14 + 72 + 15() + 160 + 15() + 144 + 42 = 732 元故需要支付检修费和损失收益之和为200+之2 = 932元. 11分因为900 < 932,所以当机器出现故障.选择加急检修更为适合12分解法二：(1)同解法一6分(2)机器出现故漳，为了选择方案，考虑七天内的收益与支出检修费的代数 和.若安排加急检修，该机器的维修费与近7天收益的代数和为理科数学答案及评分标准 第1页(共10页)-70() + 1200 =

29、50()元；8分若安排常规检修，该机器的检修费为200元，设七天内的收益为'元. X的可能取值为1200, 100(), 800, 600, 400,200, 0. 9分X的分布列为：X12(X)1(XX)8()()6(X)4002(X)0P0.070. 180.250.200.150.120. ()3EX = 1200 x 0.07 + 1000 x (). 18 + 800 x 0. 25 + 600 x (). 20 + 4(X) x 0. 15 + 2(X) x 0. 12 + 0 x ().()3 = 84 + 18() + 20!) + 120 + 60 + 24 = 66

30、8 元. 该机器的检修费与近7大收益期望值的代效和为-2(X) + 668 = 468兀，II分 因为500 > 468.所以当机器出现故障,选择加急检修更为适合.12分21.解析：(1)当 a = 2 时，/(x) = <? - 2x - 1 +sinx, 所以/，(常)=E 2 + co/, I 分f' x) = r - sinr, 2 分当* W (- 8, 0时，0, W 1.所以广(*) W - 1 +CAAt CO, 所以/(%)在(-8, 0单调递减，所以/(22/(0) = 0； 3分当 4 W (0, +8)时,C3 > I,所以/"(T)

31、> 1 -0,所以/'(%)在(0. +00)单调递增，所以/'>/70) = 0, 所以/(第)在()，+8)单调递增，动><0) = 0, 综上，/(、)三仇 当且仅当4 = ()时等号成立. 4分因为/() = <?-()- 1 +Kin() = O,所以。是/(«)的一个零点. 5分/'4) = « - a + t fM x) = ca - sin%,(i )当a = 2时，由(1)知/(幻仅有一个零点；6分(ii)当a > 2时.当. E ( - 8. 0)时，/'(x) < e"

32、 - a + cnsx < 0, /(X)在(-00, 0)单调递减，幻 >/()=(), 所以当工E (-8.()时，/(”)无零点，7分当E(0, +8)时、/.(%) > J-winx 才 0, /'(外在(。，-8)单调递 增.因为/'() = 2 - a < 0,广(ln(a + 2) = ct<a4：) -a + cos ln( a + 2)=2 cos ln( a + 2) > 0,所以在(0. +g)上存在唯一 4 E (0. ln(a +2),使得广(%) = 0,当 x e (0, x0)时, /'(x) <

33、 0.在(0, %)单调递减.有/(4)</(x) </() = (),所以八万)在(0,为)无零点.当4W (猫，+8)时，广(")>(),/(4)在(%, +8)单调递增，又 /(Ina5) = a' a Ina' - I + sin( Ina5) >。)- 3alno - 2.设 p( a ) = a - 3alna 2(a > 2). pf( a) = 3( a' I Ina ),p"(a) = 3(2a -工)> 0, a所以 p'(a)在(2, +8)递增,有 p'(a>>/

34、(2) > 0,所以p(a)在(2, + 8)递增，有p(a) > p(2) > 0,即/(Ina：) > 0.因此,/(4)在(琢，+8)有I个零点.所以当a > 2时，/(x)有2个零点.8分(111)当 I W a < 2 时.当,(). +S)时，/"(*) > 6-4四己()，/'(幻在(0, +8)单调递增，f9M >广(0)=2 -在(化 +W 单调递增，/(、)>/() = (),所以/（4）在（0, +8）无零点9分当"金（一巴一n时一a"MG.有/（x） > 6 f + sir

35、uc - 1 > 0, 所以/（x）在（-89 -F无零点.10分当父 £ （-”.（）时，3rw< （）./=（、）>（）./'（外在（-“ 0）单调递增. 又/'（。）= 2-° > 0,广（-5）=。/-I - a < 0, 所以存在唯一端C （-1T, 0）,使得/'（与）= 0.当（-心）时，/'（幻<0,/（*）在：吟单调递减.当 e （xn. 0）时./'（%） > 0. KG在（分，单调递增.又/（ 一常）= ©'+OG - I > 0, /（xj &l

36、t; /（0）=（）, 所以/（4）在（-1T. 0）有1个零度.综上所述.当。=2时./（公有1当 a >2或 1 这a <2 时，/（t） 1 1r = / + 22.解法一：（1）曲线。的参数方程为<'y = r + -所以平方，得6 =，'+ + -，得/一 > = 6.即> =因为|4|= « + -J- = |/|* ；理科数学答案及评分标准个零点；早2个零点.12分，（，为参数），j - 42，2分%' - 6. 3 分才2/|4|古=2,当且仅当|”| =6，第8页（共10页）所以当1 Wa < 2时. /（“）有2个零点.即I=士 I时取"=”，所以|%|N2,即*这-2或*2 2, 所以曲线C的普通方程为y = 1 -6(” W-2或”22). 5分(2)因为曲线C的直角坐标系方程为？ = / -6(% W- 2或与m 2).所以把|“代人上式得 psin。=