电路理论_(4)

1、1第四章第四章 电路定理电路定理4-1 叠加定理叠加定理本章主要内容：本章主要内容：介绍重要的电路定理。包括：叠加定理（包括齐性定理）、替代定理、戴维宁定理、叠加定理（包括齐性定理）、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理、特勒根定理、互易定理、有关对偶原理概念诺顿定理、特勒根定理、互易定理、有关对偶原理概念。利用上述定理分析求解电路一般需要将电路作等效变换。灵活运用电路定理可以使电路分析求解大为简化和方便。由线性元件组成的电路称为线性电路叠加定理：叠加定理：在线性电路中，若含有两个或两个以上的激励电源，电路中任一支路的响应电流（或电压）就等于各电源单独存在是在该支路产生的电流（或电压）的代数和。2例

2、例：电路如图(a), 电路响应)2(2)1(202022iiiiiSSui电路等效为下图211)2(221)1(2RRiRiRRuiSS)2(1)1(101011uuuuuSSui2121)2(1211)1(1RRiRRuRRuRuSS3最后得到：SSSSiRRRRuRRRuuuiRRRRRuiii2121211)2(1)1(1121121)2(2)1(224NNNNNNNNNNNbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222222121111212111对于b 条支路，n个结点的电路，利用回路电流法或结点电压法可以列出如下形式的电路方程上式为回路电流方程时，系数 a为自阻或互阻，x

3、为电流i, b 为回路电压源或等效电压源的线性组合上式为结点电压方程时，系数 a为自导或互导，x为电压u, b 为支路电流源或等效电流源注入结点的电流的线性组合NNNkkkkbbbx222111上式的一般解为：为a 的系数行列式， jk为的第j行第k列的余因式。5如果电路有g 个电压源，h个电流源，则电路中任一处电压uf , 电流if 都可以有以下关系SmhmfmSmgmfmShfhSfSfSgfgSfSffSmhmfmSmgmfmShfhSfSfSgfgSfSffiKukiKiKiKukukukiiKukiKiKiKukukuku11221122111122112211所以线性电路中，任一电

4、压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时在该处产生的电压或电流的叠加。6例：例：4-1试用叠加原理计算图示电路I 和U +7例：例：4-2求图示电路中的电压 u3 。+8例：例：4-3求图示电路中的电压 u3 。+9线性电路的齐性定理线性电路的齐性定理：当所有激励（独立电压源和独立电流源）都同时增大或减小K倍时，响应（电压或电流）也将同样增大或减小。例：例：4-4求图示电路中的各支路电流。10应用叠加定理应注意：应用叠加定理应注意：1、只适用于线性电路2、不作用的电源置零，将电压源短路，电流源开路3、叠加各个分量电流、电压时注意分量前的“+”、“-”号4、电路含有受控电源时，在各分电路中要保留

5、受控电源， 但注意受控电源的控制量应随之变化。5、原电路的功率不等于各分电路计算功率的叠加114-2 替代定理替代定理对于线性电阻电路（可以推广到非线性电路），若已知第k支路的电压uk 和电流ik ,则该支路可以用一个电压等于uk 的电压源uS 或电流等于ik,的电流源iS 替代，替代后电路中的全部电压和电流均保持原值。替代定理12例例134-3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理(a)含源一端口网络一、一、戴维宁定理戴维宁定理(b)端口开路电压无源一端口网络无源网络等效电阻等效14戴维宁定理：戴维宁定理：任何一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端任何一个含独立电源、线性电阻和受控源的一

6、端口网络，对外电路来讲，可以用一条含源支路（电压源和电阻口网络，对外电路来讲，可以用一条含源支路（电压源和电阻的串联组合）等效。其电压源电压的串联组合）等效。其电压源电压 uS = uoc 为网络端口的开路电为网络端口的开路电压；电阻压；电阻 Req 为网络内部独立电源均为为网络内部独立电源均为0时的端口的输入电阻。时的端口的输入电阻。戴维宁定理的证明设外电路为Ro根据替代定理，用iS=i 替代电路Ro15根据叠加原理，得到端口1-1间的电压：用u=u(1) + u(2) = uoc- iReq 所以有以下电路模型，有源一端口网络对外电路可以等效变换为含源支路16例：例：4-5 已知：uS1=

7、40V, uS2=40V, R1=4, R2=2, R3=5, R4=10, R5=8, R6=2, 求电流i3 。17注意：注意：戴维宁等效电阻也等于含源一端口的开路电压与短路电流的比值Req=uoc / isc+- isc由以上分析，端口的伏安特性为： u= uoc- iReq 令u=0, 则得到Req=uoc / isc18例：例：4-6 含源一端口网络如图所示，已知：uS1=25V, iS2=3A, R1=5, R2=20, R3=4, 求戴维宁等效电路。19二、二、 诺顿定理诺顿定理诺顿定理：诺顿定理：任何一个线性含源二端网络，对外电路来讲，可任何一个线性含源二端网络，对外电路来讲，

8、可以用一个电流源和电导的并联组合等效变换。其电流源的电以用一个电流源和电导的并联组合等效变换。其电流源的电流流 iS = isc 为网络端口的短路电流；电导为网络端口的短路电流；电导Geq=（1/ Req ）为网络）为网络内部电源均为内部电源均为0时的端口的输入电导。时的端口的输入电导。两种等效电路共有3个参数： uoc , isc ,Req 其关系为：其关系为： uoc = isc Req戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电机。相应的两个定理也可以统称为等效发电机定理等效发电机定理。含源一端口网络戴维宁等效电路 诺顿等效电路20例：例：4-7 求图示电路(a)的等效发电机。21

9、例：例：4-8求图(a)所示含源一端口的戴维宁等效电路和诺顿等效电路。电流控制电流源 ic=0.75i1 。(a)(b)22当含源一端口内部含有受控源时，端口等效电阻可能为0、或负值，为0时Geq 为，诺顿等效电路不存在；为时Req 为0，戴维宁等效电路不存在。戴维宁定理和诺顿定理尤其适用于对电路某一部分或某一元件感兴趣的电路问题。例：例： p107 4-13(a)23例：例：4-9电路如图所示，当电阻R等于多少时，它可以从电路中获得最大功率?求此最大功率。4VReq20k 结论：结论：对于一端口网络，当外接电阻等于端口等效电阻时（即 R=Req），电阻R将获得最大功率。244-4 特勒根定理

10、特勒根定理01kbkkiu特勒根定理特勒根定理1：对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联方向，并令(i1, i2, ib)、 (u1, u2, ub)分别为b条支路的电流和电压，则对任何时间t ，有：un1un2un3证：证：u1=un1, u2=un1- un2, u3=un2- un3, u4=un1- un3, u5=un2, u6=un3对结点、 应用KCLi1+i2-i4=0-i2+i3+i5=0-i3+i4+i6=025定理实质上是功率守恒的数学表达式。适用于线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路。63524313322211166554433221

11、161)()()(iuiuiuuiuuiuuiuiuiuiuiuiuiuiunnnnnnnnnkkk0)()()(64335322421161iiiuiiiuiiiuiunnnkkk26特勒根定理特勒根定理2：如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和支路电压取关联方向，并分别用(i1, i2, ib)、 (u1, u2, ub)和 表示两电路中b条支路的电流和电压，则对任何时间t ，有：),.,(),.,(2121bbuuuiii、01kbkkiu01kbkkiu27证：证：u1=un1, u2=un1- un2, u3=un2- un

12、3, u4=un1- un3, u5=un2, u6=un3对图(b)结点、 应用KCL0421iii0532iii0643iii2863524313322211166554433221161)()()(iuiuiuuiuuiuuiuiuiuiuiuiuiuiunnnnnnnnnkkk0)()()(64335322421161iiiuiiiuiiiuiunnnkkk定理由功率守恒的数学形式。由于不是对于同一个电路，所以定理2 又称为拟功率定理。例：例： p108 4-7294-5 互易定理互易定理条件：条件：对于无源网络，激励和响应互换位置的前后，如果将电源置零，则电路结构保持不变。互易定理互

13、易定理：对于一个仅含线性电阻的电路，在单一激励下产生的响应，当激励与响应互换位置时，其比值保持不变。003221132211kbkkkbkkiuiuiuiuiuiu由特勒根定理：线性电阻网络激励激励响应响应线性电阻网络有如下三种形式的互易定理。(1)30003221132211kbkkkbkkiiRiuiuiRiiuiu所以：，有由于是线性电阻网络，kkkkiRuRiu 22112211iuiuiuiu即：003221132211kbkkkbkkiuiuiuiuiuiu线性电阻网络激励激励响应响应线性电阻网络(1)31互易定理互易定理1：对于一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应为电流

14、时，如果将激励与响应互换位置将不改变同一激励产生的响应。SSSSSSuiuiiuiuuuuuuu0; 012212121或所以：，又由于12iiuuSS有：，当：线性电阻网络激励激励响应响应线性电阻网络(1)32线性电阻网络激励激励响应响应线性电阻网络22112211iuiuiuiu同样由特勒根定理：12121221210; 0uuiiiuiuiuiuiiiiiiSSSSSSSS则：，当：或有：，代入：互易定理互易定理2：对于一个仅含线性电阻的电路，在单一电流源激励而响应为电压时，如果将激励与响应互换位置将不改变同一激励产生的响应。(2)33互易定理互易定理3：对于一个仅含线性电阻的电路，在单

15、一电流源激励而响应为电流时，如果将激励与响应互换位置，并将电流源激励改为电压源激励，响应改为电压时，则比值保持不变。线性电阻网络激励激励响应响应线性电阻网络1212uiuiuuiiSSSS则有：，当以推得：同理，对于以上电路可(3)344-6 对偶原理对偶原理注意以下关系式：1212,guiVCCSriuCCVSGuiRiu：对于，：对于对偶元素：对偶元素：电压与电流；电阻与电导；CCVS与VCCS；r与g两个电路互为对偶uRRuRuiRRkknkk1显然，在上式中将对偶元素互换，则对应关系式彼此转换iGGiGiuGGkknkk135两个电路互为对偶(b)(a)图(a)的网孔方程：223212

16、122121)()(SmmSmmuiRRiRuiRiRR图(a)的结点电压方程：223212122121)()(SnnSnniuGGuGiuGuGG两个关系式或两组方程通过对偶元素互换能够彼此转换，则两个关系式或两组方程互为对偶。显然，电阻形连接与Y形连接、“网孔电流”与“结点电压”也是对偶元素。36对偶原理：对偶原理：电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应地置换后，所得到的新关系（或新方程）也一定成立，两者互为对偶注意：“对偶”与“等效”是不同的概念对偶原理不局限于电阻电路，如：“短路”与“开路”；“KVL”与“KCL”等dtdiLudtduCiLLCC,37本章小结本章小结

17、1、一个线性网络由线性元件、线性受控源和线性独立源等组成2、网络的若干定理用于将复杂电路转化为简单电路，从而使电路分析更为简易。3、叠加原理表明：一个有多个独立电源的电路，元件两端电压（或流经元件的电流）等于每个独立电源单独作用而产生的各个电压（或电流）的代数和。4、戴维宁和诺顿定理表明：对外电路而言，允许将一个含源网络用一个实际电压源（或实际电流源）等效。5、对于一个给定的戴维宁等效电路，当负载电阻等于戴维宁电阻时，即RL= Req，传递到负载上的功率最大38本章小结本章小结6、特勒根定理有两种形式，定理1：表明电路功率守恒；定理2：表明两个具有相同拓扑结构的电路相互对应的支路电流、电压乘积

18、关系，又称“拟功率定理”。7、本章还介绍了齐性定理、替代定理、互易定理以及对偶原理等。01kbkkiu01kbkkiu01kbkkiu39补充作业补充作业1、电路如图所示， 求电流 I1 I1231A12V65I1402 2、图示电路的下列四个变换中，正确的变换电路是：12 32 A2 II12 36 V4II 332A4II132A4II2132A4II(a)(b)(c)(d)413、电路如图所示, 当可变电阻R由20k减为15k时, 电压Uab的相应变化为 A. 增加 B. 减少C. 不变D. 不能确定40k60kR200V200V100V50Vab5k424、图示电路中开关S断开时 = 2.5V，S闭合时 =3A，则二端网络N的戴维南等效电路参数为abUabIS55I10V-+abN435、电路如图所示， 求（1）独立电压源单独作