[研究生入学考试]考研数学一公式总结及复习资料--清航倾力推荐

1、数学一 普用公式 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

2、特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0导数公式：根本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式： 函数角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ct

3、g360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹Leibniz公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相

4、关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程?高等数学复习?教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的根本性质单调、有界、奇偶、周期几类常见函数复合、分段、反、隐、初等函数2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法那么求极限3.连续函数连续左、右连续与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质最值、有界、介值二、题型与解法A.极限的求法1用定义求2代入法对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子3变量替换法4两个

5、重要极限法5用夹逼定理和单调有界定理求6等价无穷小量替换法7洛必达法那么与Taylor级数法8其他微积分性质，数列与级数的性质1.等价小量与洛必达2.解： 洛必达3. 重要极限4.a、b为正常数，解：令变量替换5.解：令变量替换6.设连续，求 洛必达与微积分性质7.在x=0连续，求a解：令 连续性的概念三、补充习题作业 1. 洛必达2. 洛必达或Taylor3. 洛必达与微积分性质第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导根本公式、四那么、复合、高阶、隐、反、参数方程求导会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrang

6、e、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率半径二、题型与解法A.导数微分的计算根本公式、四那么、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=13.决定，那么 B.曲线切法线问题4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。解：5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在6，f(6)处的切线方程。解：需求，等式取x-0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题6.，求点的性

7、质。解：令，故为极小值点。7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，D.幂级数展开问题9.或：10.求解：= E.不等式的证明11.设，证：1令 2令F.中值定理问题12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在-1，1上存在一点证：其中将x=1，x=-1代入有两式相减：13.，求证： 证：令令 关键：构造函数三、补充习题作业1.2.曲线3.4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分掌握不定积分的概念、性质线性、与微分的关系会求不定积分根本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上

8、限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题长、面、体会用定积分求物理问题功、引力、压力及函数平均值二、题型与解法A.积分计算1.2.3.设，求解：4.B.积分性质5.连续，,且，求并讨论在的连续性。解： 6. C.积分的应用7.设在0，1连续，在0，1上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解： 8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的外表积。解：切线绕x轴旋转的外表积为 曲线绕x轴旋转的外表积为 总外表积为三、补充习题作业1.2.3.第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向

9、量代数理解向量的概念单位向量、方向余弦、模了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1.有二阶连续偏导，满足，求解：2.3.，求B.空间几何问题4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题6.设是由

10、确定的函数，求的极值点与极值。三、补充习题作业1.2.3. 第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法直角、极、柱、球会用重积分解决简单几何物理问题体积、曲面面积、重心、转动惯量2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分理解两类曲面积分的概念质量、通量、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分二、题型与解法A.重积分计算1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：2.为与围域。3.，求 (49/20)B.曲线、曲面积分4. 解：令 5.,。解：取包含(

11、0,0)的正向， 6.对空间x0内任意光滑有向闭曲面S， ，且在x0有连续一阶导数，,求。解： 第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程熟练掌握可别离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程会求3.二阶线性常系数(齐次)(非齐次)(非齐次)二、题型与解法A.微分方程求解1.求通解。2.利用代换化简并求通解。3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：三、补充习题作业1.函数在任意点处的增量。(2.求的通解。3.求的通解。4.求的特解。第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比拟、比值

12、、根式判别法交错级数判别法2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的根本性质和函数连续、逐项微积分Taylor与Maclaulin展开级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求的Fourier级数与正余弦级数第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式会用按行列展开计算行列式2.矩阵几种矩阵单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条

13、件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解标准正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的根底解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、标准形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理

14、论要求1.随机事件与概率了解样本空间根本领件空间的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.

15、大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验掌握假设检验的根本步骤了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲 总结1.极限求解变量替换作对数替换，洛必达法那么，其他重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换1. (几何级数)2.

16、(对数替换)3.4.5.6.，求2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求dy/dx3.决定函数，求dy4.，验证5.,求3.一元函数积分1.求函数在区间上的最小值。02.3.4.5.6.4.多元函数微分1.，求2.由给出，求证：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.证明满足7.求内的最值。5.多元函数积分1.求证：2.3.4.改变积分次序5.围域。6.常微分方程1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。?高等数学考研题型分析? 填空题：极限指数变换，罗必达、求导隐函数，切法线、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等

17、价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用特别的总结： 积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比拟,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的根底，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: 2.定义域:一维区间,例如 3.性质:见课本P229-P232 特殊:假设,那么,即区间长度.

18、4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,那么面积为负); 其他应用:如表示截面积,那么积分为体积;平面弧长等. 三、二重积分 1.定义式: 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P77 特殊: 假设,那么,即为的面积.4.坐标系: 直角坐标系:型区域,型区域极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;6.几何应用:二重积分的

19、几何意义:假设,那么表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面的面积四、三重积分2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似; 特殊: 假设,那么,其中表示的体积.4.坐标系: 直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) 柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; 球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后 . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: 表示密度,那么为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分1.定义式:(二维) (三维)2.定

20、义域:平面曲线弧 空间曲线弧3.性质:见课本P128 特殊: 那么,表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例): 类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;6.几何应用:见上3.六、第二类曲线积分1.定义式: (二维) (三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P1354.计算公式: 注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功.七、第一类曲面积分1.定义式: 2.定义域:空间曲面 注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊: 那么,表示曲线面积.4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式. 注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.6.几何应用:见上3.八、第二类曲面积分2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P1624.计算公式: