第02单元平行线类

1、第02单元 平行线类 联想融通：试试看，由“平行”二字你能想起多少相关知识与题目. 平行是两直线最基本的位置关系之一，是最常见背景图形，平行线也是最常用的辅助线.在初中几何中，平行常与中点、角、角平分线、相似（含全等）、特殊四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）、等腰三角形、等积转换、平移、函数等知识相结合.本单元只对“通过平行求角、利用平行进行等积转换、平行与函数综合”三类题目进行研究，其它题型，在后面的课时里遇到时再详细研究.1、 知平行求角构造“三线八角” 联想融通：在平行的前提下求角，怎么入手？ 名词解释：“三线八角”指两条直线被第三条直线所截成的八个角. 解法归一：利用平行

2、线这个背景，构造三线八角，再结合三角形内角和、外角关系来解决. 例2-1-1 图2-1-1所示是赛车跑道的一段示意图，其中ABDE，测得B=140°，D=120°，则C的度数为 （ ）A120°B100°C140°D90° 图2-1-1 备用图 交流分享：法一是通过延长BC来构造三线八角，发二是通过作平行线构造三线八角. 例2-1-2 （1）如图1，若ABCD，点P在AB、CD外部，则BPD，B，D的数量关系是_；（2）如图2，ABCD，则BPD，B，D的数量是关系为_；（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD

3、于点Q，如图3，则BPD、B、D、BQD之间有何数量关系？（直接写出，不需证明） ；（4）根据（3）的结论，求图4中A、B、C、D、E、F六个角的和 交流分享：前三同造三线八角、找内外角关系，第四问最重要的是：在图4中找出类图3的凹四边形（裤衩形），再“用结论！”.体验与感悟2-11如图2-1-3，将三角尺的直角顶点放在直线a上，ab，1=50°，2=60°，则3=（）.A50°B60°C70°D80° 图2-1-1 图2-1-42如图2-1-4，直线lm，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若1=25&#

4、176;，则2的度数为（）.A20°B25°C30°D35°3如图2-1-5，ABCD，直线EF与AB，CD分别相交于E，F两点，EP平分AEF，过点F作FPEP，垂足为P，若PEF=30°，则PFC= 60 图2-1-5 图2-1-64、如图2-1-6，五边形ABCDE中，AB/CD，1、2、3分别是BAE、 AED、EDC的外角，则1+2+3等于（ ） 5、如图2-1-7，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸

5、条的另一边上，则1的度数是（）A、30° B、20° C、15° D、14° 图2-1-7 图2-1-8 6、如图2-1-8，ABEFCD，ABC=46°，CEF=154°，则BCE等于（）A23°B16°C20°D26°7、如图2-1-9，直线ACBD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成PAC、APB、PBD三个角 （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）（1）当动点P落在第部分

6、时（如图1），求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点P落在第部分时（如图2），APB=PAC+PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究PAC、APB、PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应结论，选择其中一个结论并加以说明图2-1-9 备用图1 备用图2 提醒：请回味与感悟一下已知平行线求角的一般方法，哪个题目需要再看看.二、找（或造）平行进行等积转换 联想融通：同形状改变，面积不变的题目怎么做呢？解法归一：见到图形的等积转换题目用平行.即：在背景图形中，找到（或作出）平行线，再构造同底等高的三角形进行等积转化.注意：在大题中，常常是“照着做、用结论

7、！”即：（1）前面怎么做，后面就怎么做；（2）化成前面问题中的图形或和前面问题类似的图形，再按前面的方法做；（3）后面用前面的结论.例2-2-1 （老梁原创）探究规律 如图2-2-1，已知AB/MN,点C在MN上，请在直线AB的上方，找出一个不同于C的点D，画出ABD，并使得ABC使与ABD的面积相等。 （1）点D在_，AB与CD的位置关系：_； （2）ABC与ABD的面积相等的理由_； 解决问题 （3）如图2-2-1中，点B在线段FC上，在线段FC同侧作正方形ABCD及正方形EFBG，连接AC、EC、AE得到AEC，如果设FB=a,BC=b,则AEC的面积等于_; （4）你在图2-2-1中作

8、出一个和四边形ABCD面积相等的三角形，作法是： 交流分享：本题的（1）知平行，直接根据同底等高面积相等找等积三角形；（2）连BE后AC/BE，即可得ABC与ACE等积；连BD分割出三角形，然后利用同底等高进行等积转换体验与感悟2-21、 如图2-2-2，以矩形ABCD的对角线BD为一边构造矩形BDEF，使得边EF过原矩形的顶点C.设RtCBD的面积为，RtBFC的面积为，RtDCE的面积为，则 +（用“”、“=”、“”填空）. 图2-2-2 图2-2-32、 如图2-2-3，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A、 B、2 C、3

9、 D、3、已知正方形ABCD的边长为4，E是射线CD上的一个动点，以CE为一条直角边在正方形ABCD的右侧作等腰RtCEF连接BF、FD、BD.观察计算 （1）如图2-2-4，当CE=4时，SBDF=_； （2）如图2-2 -4当CE=2时，SBDF=_； （3）如图2-2- 4，当CE=8时，SBDF=_ 图2-2-4 图2-2 -4 图2-2-4探索发现（4）BD与CF的位置关系是_；（5）BDF的面积与正方形ABCD的面积关系是_；实际运用 （6）农民赵大伯有一块正方形的土地ABCD（如图2 -2-2)，由于修路被占去一块三角形的地BCE，但决定在DE的右侧补给赵大伯一块，使补偿后的土地

10、四边形ABMD与原地块面积相等已知M、B、E三点在同一直线上，请你画图确定村点的位置，并用文字说明画法。联想拓展小明在完成上面的问题后悟到了其规律，于是出了下面的两个题目给同学们做. 请你也试一试.（7） 如图2-2-4，已知大正方形ABCD和小正方形CEFG的边长分别是5和4，那么阴影部分的面积等于 ； 图2-2-4 （8）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2-2-4所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为 . 图2-2-4 图2-2-54、 在图2-2-5中的CM边上找一点F，使得直线EF左边的部分面积等于五边形ABCDE的面积.要求：直接在

11、图2-2-5中画出相应的图形，不写画法.）5、如图2-2-6，已知线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME. 当AB=l时，AME的面积记为S1；当AB =2时，AME的面积记为S2；当AB =3时，AME的面积记为S3，；当AB=n时，AME的面积记为Sn当n 2时，= .图2 -2 -66、规律：如图2-2-7，已知直线mn，A、B为直线n上的两点C、P为直线m上的两点.如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到任何位置总有ABP与ABC的面积相等，其理由是:_. 图2-2-7

12、 图2-2-6 图2-2-6 图2-2-6应用 （1）如图2-2 -7，ABC和CDE都是等边三角形，如果AB=1，则ABE的面积为_； （2）如图2-2-7，四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，如果AB=2则ACF的面积为_；(3)如图2-2 -7，五边形ABCDE和五边形BFGHP都是正五边形，如果AB=a，求ACH的面积（注本题结果用三角函数表示）7探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点（1）如图2-2-8，当点M与点B重合时，=_；（2）如图2-2-8，当点M与点A、点B不重合时，=_；（3） 如图2-2-8，当点M在AB（或BA）的延长线上时，=_；

13、图2-2-8 图2-2-8 图2-2-8推广：如图2-2-8，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积和，并简要说明理由 图2-2-7 图2-2-7运用：如图2-2-8，平行四边形ABCD是我市某广场的一块绿地，PQ、MN分别平行于DC、AD，交于点O，其中四边形AMOP的面积等于300，四边形MBQO的面积等于400，四边形NCQO的面积等于700.现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD（图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形（MQD）区域的面积 提醒：请回味与感悟一下利用平行进行面积转换的技巧. 三、平

14、行与函数 联想融通：你能想起几种平行的判定方法呢？平行与函数有什么关系？怎么结合呢？ 解法归一：注意利用背景函数的性质、特点转化为第1问中的图形，再利用第1问中的方法或结论解决.即：照着做，用结论！例 2-3 探究新知（1） 如图2-3-1，已知ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由 图2-3-1结论应用（2）如图2-3-1，点M、N在反比例函数（k 0）的图象上，过点M作MEy轴于点E，过点N作NFx轴于点F，试证明：MNEF. 图2-3-1 （3） 若（2）中的其他条件不变，只改变点M、N的位置如图2-3-1，请判断MN与EF是否平行 图2-3-1 交流分享：（1

15、）如果两个同底的三角形面积相等，并且第三个顶点在底的同侧，则可得平行；（2）从双曲线上任意两点M、N各向一条坐标轴作垂线，垂足分别为E、F，则MN/EF.体验与感悟2-31、如图2-3-2，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE有下列结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF；AC=BD；AB/FE.其中正确的结论是（）A B C D 图2-3-2 图2-3-32、 双曲线y1= 、y2= 在第一象限的图象如图2-3-3，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于

16、B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连接BD、CE，则 =_. 思考：通过以上反比例函数两道题，你有什么发现？3、如图 2-3-4，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由 图2-3-4交流分享：（2）过P和P关于M的对称点作BC的平行线，交点即为所求.4. 探究新知（1）如图2-3-5，已知ADBC，AD=BC，点M、N是直线CD上任意两点则ABM与ABN的面积关系_ 图2-3-5 图2-3-5（2）