11数列的概念及其表示方法

1、第十一讲 数列的概念及其表示方法【基础知识】一、数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )二、数列的分类 三、数列与函数的关系1从函数观点看，数列可以看成是以 为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列 2数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法四、数列的通项公式 如果数列的第项与 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式五、数列an的前n项和Sn和通项an间的关系六、数列的简单性质1单调性是递增数列 (nN*)是递减数列 (nN*)2周期性若(为非零常数

2、)，则为周期数列，为的一个周期【究 疑 点】 数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？考点一 由数列的前几项求数列的通项公式1 数列1，的一个通项公式an是 .2数列，2，则2是该数列的第 项3根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点4根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，(2)0.8,0.88,0.888，(3)， (4)0,1,0,1，【归纳领悟】1观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数的关系”，从而确定数列的通项公式2利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征：(1)

3、分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想注意：根据数列的前项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用或来调整考点二 知求1若Sn为数列an的前n项和，且Sn，则_.2已知数列an的前n项和Sn1，则数列an的通项公式为_3数列an的前n项和为Sn，a11，an1Sn(n1,2,3，)，求an.4已知数列an的前n项和为Sn，求下列条件下数列的通项公式an.(1)Sn2n23n；(2)Sn2n23n2.【归纳领悟】 数列的通项

4、an与前n项和Sn的关系是：an注意：在应用此关系式求通项时，要分n1和n2两种情况讨论，最后检验两种情形能否适合用一个式子表示，若能，将n1的情况并入n2时的通项an；若不能，就用分段函数表示考点三 知递推式求通项1已知数列中，则_.2数列an中a11，anan1(n2)，则_.3.已知数列an的前n项的乘积为Tn则_.4由下列数列的递推关系式求数列an的通项(1)a11，anan13n1(n2)； (2)a11，an3an12(n2)； （3）a11，an0且(n1)anaan1an0(nN*)【变式】在数列an中，a11，an1an，求an.【归纳领悟】由a1和递推关系求通项公式，可观察

5、其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等1对于形如“an1anf(n)”型的递推关系式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法2对于形如“g(n)”型的递推关系式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累积或迭代的方法3对于形如“an1AanB(A0且A1)”型递推关系求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法.考点四 数列简单性质的应用1. 设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数 列”的_条件2在数列an中，a10，an1，nN*，则a2012_.3依次写出数法则如下：如果为正整数且未写过， 则写否则就写则_.4若数列an的通项公式为an(a，b，c都是正数)，

6、则an和an1的大小关系为_5.设函数数列满足且该数列是递增数列，则实数的取值范围是 6已知数列an的通项an(n1)()n(nN*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由【变式题】已知数列an的通项公式an(nN*)，求数列前30项中的最大项和最小项7. 数列的前项和已知(1) 设求证：数列为等比数列；(2) 求数列的通项公式；(3) 若数列为递增数列，求的取值范围.【归纳领悟】 数列常考性质有周期性和单调性，周期性直接利用定义，而单调性要注意与函数的区别，是正整数数列的概念及其表示方法课后作业一填空题1数列an中，a11，anan1an1(1)n(n

7、2，nN*)，则的值是_2已知数列an满足a1>0，则数列an是_数列3下列说法正确的是_(填序号)数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7；数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同数列；数列的第k项为1；数列0,2,4,6，可记为2n4下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是_ 5已知a11，ann(an1an)(nN*)，则数列an的通项公式是_6在数列an中，a11，a23，且an1anan2，则a2012_.7已知an，nN*，则an中最大项是第_项8设a12，an1，bn|，nN*，则数列的通项bn_.9若数列an的前n项和Snn210n(n1,2,3，)，则

8、此数列的通项公 式为_；数列nan中数值最小的项是第_项二、解答题10已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值11已知数列an满足a11，anan13n2(n2)(1)求a2，a3； (2)求数列an的通项公式12如图所示，有n(n2)行(n1)列的士兵方阵： (1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，时方阵中的士兵人数；(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的数列记为an，求该数列的通项公式anf(n)；(4)对于(3)中的数列an，已知an9900，问an是第几项？此

9、时士兵方阵有多少行，多少列？(5)画anf(n)的图象，并利用图象说明方阵中士兵人数有可能是56,28吗？数列的概念及其表示方法答案1 2递减 3 4an 5ann63 712和13 82n1 9an2n11310解：(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2,3.数列中有两项a2，a3是负数(2)ann25n4(n)2的对称轴方程为n.又nN*，n2或n3时，an有最小值，其最小值为a2a32.11解：(1)由已知：an满足a11，anan13n2(n2)，a2a145，a3a2712.(2)由已知：anan13n2(n2)得：anan13n2，由递推关系，得an1an23n5，a3a27，a2a14，叠加得：ana1473n2，an(n2)当n1时，1a11，数列an的通项公式an.12解：(1)该数列为6,12,20,30