九年级上册教案—二次根式

1、二次根式（1）学习目标1、了解二次根式的概念2、能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围3、理解公式= （0），能利用公式化简二次根式学习重、难点重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质难点：经历知识产生的过程，探索新知识学习过程：一、情境创设1、回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2、计算：(1)的平方根是 ；(2)如图，在RABC中，AB=50m，BC=m，则AC= m；(3)圆的面积为S，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为，则边长为 。3、对上面（2）（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?二、探索活动1、二次根式的定义：一般地，式子（0）叫做二次根式，a叫做被开

2、方数。说说对二次根式的认识。2、练习：说一说，下列各式是二次根式吗?(1) (2)6 (3) (4)(5) (6) (7) (8)、异号) 3、思考 当a0时，有意义吗？为什么？ 当a0时，可能为负数吗？为什么？4、例1 x是怎样的实数时,式子在实数范围内有意义?分析：根据二次根式的定义，被开方数a0，因此要使有意义，必须要使x-50即可。5、二次根式性质的探索：22=4，即（）2= 4；32=9，即（）2= 9；观察上述等式的两边，你得到什么启示？揭示：当0时， = 。6、例2 计算：（1）； （2）； （3） （a+b0）分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。三、课堂练习P59 练习1、

3、2四、课堂小结引导学生总结：1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?2、二次根式有哪两个形式上的特点?3、当0时， = ？五、作业六、教后感 二次根式（2）学习目标1、理解二次根式的性质，能运用这个性质化简二次根式2、知道公式与()2 = a（0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用学习重、难点重点：二次根式的性质的掌握难点：二次根式的性质的应用学习过程：一、情境创设1、在化简时，小丽同学的解答过程是；小华同学的解答过程是。谁的解答正确?为什么?2、二、探索活动1、请同学们观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律，再和同学们进行交流。；让学生通过观察，提出

4、发现的猜想，并进行交流。a（a0）-a（a0）2、发现：当a 0时，当a 0，3、明确：（师生共同归纳）=4、比较与的()2区别三、实际应用，巩固新知例1 计算： （x1）分析：严格按照公式做即可。例2 讨论： 求使= 3x成立的所有x的值 ()2=四、课堂练习1、计算： （）2 （x2）五、课堂小结1、内容总结 0（a0）a（a0）-a（a0）二次根式的性质 （）2=a（a0）=2、方法归纳 正确地理解二次根式的性质是进行化简或运算二次根式的关键。六、作业七、教后感二次根式（1）学习目标1、经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则2、能运用二次根式的乘法法则：·=（0，b

5、0）进行乘法运算3、理解积的算术平方根的意义，会用公式=·（0，b0）化简二次根式学习重、难点重点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质难点：二次根式的乘法法则与积的算术平方根的理解与运用学习过程：一、情境创设1、复习旧知：什么是二次根式? 已学过二次根式的哪些性质?2、计算：（1）与；（2）与；（3）×与二、探索活动1、学生计算。2、请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？学生分小组交流。3、概括：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。 ·=（0，b0）4、由以上公式逆向运用可得： =·（0，b0）文字语言叙述：积的算术

6、平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。三、例题教学例1 计算：· · ·（a0）分析：本例利用公式计算所得结果都是可以直接开方，不需化简的情形。例2 化简： （a0） （0，b0）分析：本例的化简，关键是将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“偶次方因式”，再利用积的算术平方根等于算术平方根的积来解决。注意：一般地，二次根式的运算结果中，被开方数中应不含能开得尽方的因数或因式。四、课堂练习P62 练习1、2五、思维拓展观察：·=（0，b0） 思考：××= ？请举例说明它的应用。计算：·· 

7、3;·六、小结1、二次根式的乘法法则是什么？用语言叙述。2、如何进行二次根式的化简？七、作业优秀：P67 习题3.2 1、2 后进：P62 练习 1、2八、教后感3.2 二次根式（2）学习目标1、进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算2、能熟练地进行二次根式的化简及变形学习重、难点重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算学习过程：一、情境创设1、复习旧知：上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质，谁能说说它们的内容各是什么?回答：（1）×=_， （2）=_。这节课我们继续学习它们的应用。二、探索

8、活动1、引导学生回顾： ·=（0，b0） =·（0，b0）2、学生尝试练习：化简：（1） （2）(x0，y0) （3）(x0，x+y0)三、例题教学例1 计算：· · ·（a0，b0）分析：本例先利用二次根式的乘法法则计算，再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。例2 如图，在ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，求AB。分析：由勾股定理可得：AB=四、课堂练习化简： (x0，y0) (m 2)五、小结如何进行二次根式乘法运算？如何进行二次根式的化简？六、思维拓展1、计算： ··· 2、将

9、下式中根号外的数适当改变后移到根号里： 3 a(a 2)七、作业八、教后感 二次根式（3）学习目标1、经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则2、能运用法则=（a0，b0）进行二次根式的除法运算3、理解商的算术平方根的性质=（a0，b0），并能运用于二次根式的化简和计算学习重、难点重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用学习过程：一、情境创设1、想一想：·=（0，b0）是用什么样的方法引出的？2、思考：= ？（a0，b0）二、探索活动1、计算并观察两者关系：=_；=_； =_；=_；=_；=_； =_；=_；2

10、、请再举例试一试。你猜想到什么结论呢？3、由此猜想可得： =（a0，b0）注意：为什么要加a、b条件？三、例题教学例1 计算： ÷ ÷分析：本例前两条可先利用除法法则计算，再化简；第三条可先将之化为“分式”形式，再同前两题的方式一样去计算化简；而第四条计算前应先将带分数化为假分数，再用除法法则计算，此时运用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”来计算。注意：本例还可以用另外一种方法计算，如：=2思考：= ？（a0，b0）利用这个等式可以化简一些二次根式。例3 化简： （a0，b0）四、课堂练习五、小结二次根式除法运算如何进行？对于简单的二次根式如何逆用二次根式除法运算法则进行化

11、简？六、思维拓展1、怎样计算： ÷（）×（4）？2、计算过程：=2正确吗？为什么？七、作业八、教后感 二次根式（4）学习目标1、能运用法则=（a0，b0）化去被开方数的分母或分母中的根号2、进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母，根式运算的结果中分母不含有根号学习重、难点重点：商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用难点：商的算术平方根的性质的理解与运用学习过程：一、情境创设想一想: =？（a_，b_）,=? （a_，b_）二、探索活动1、思考：如何化去的被开方数中的分母呢?2、小组讨论后交流。板书：=3、请再举例试一试。你

12、猜想到什么结论呢？板书：当（a0，b0）时,= =4、 想一想：如果上面首先化成,那么该怎样化去分母中的根号呢?5、小组讨论后交流。指名板书过程，有: =6、请再举例试一试。你猜想到什么结论呢？板书：当（a0，b0）时, =三、例题教学例1 化去根号内的分母:（1） （2） （3）分析：第2小题中的被开方式应先化成假分数之后，再利用商的算术平方根的性质来化去根式中的分母。例2 化去分母中根号: （1） （2） （3）分析：本例各题可直接利用二次根式的除法法则的应用直接化去分母中的根式。四、课堂练习五、小结一般地，二次根式运算的结果中，要求分母不含根号，被开方数中不含分母。那么怎样进行这两类二次

13、根式的化简呢？六、思维拓展在具体进行二次根式的化简中还可以将二次根式除法与化去分母中的根号做一些结合，例如： = = = 七、作业八、教后感二次根式的加减（1）学习目标1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算学习重、难点重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法难点：同类二次根式的概念学习过程：一、情境创设下列3组二次根式，各有什么共同特征？（1），（2），（3），分析：（1）、（2）两组有点像同类项，（3）式虽然和前两组不同，但如果将它们化简之后再看的话就一样了。定义：像上面这3组二次根式一样，经过化简后，被开方数相同

14、的二次根式，称为同类二次根式。二、探索活动1、(1)说出 的三个同类二次根式；(2)试举出一组同类二次根式。2、情境创设中的3组数据可以相加吗？3、要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？4、怎样合并同类二次根式？ 与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，作为结果的系数，根号及根号内部都不变5、二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式(2)把各个同类二次根式合并三、例题教学例1 计算：（1） + + （2） + （3） + 分析：第1小题可直接合并同类二次根式；第2、3小题首先要将它们化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。例2 如图，两个圆的圆心相同

15、，面积分别为82、182，求圆环的宽度（两圆半径之差）分析：本例先列出计算式子，再将各式化成最简二次根式，最后进行合并同类二次根式。四、课堂练习补充：1.在二次根式：；是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和2. 如果最简根式和是同类根式，那么a=_,b =_五、小结1、同类二次根式的定义2、二次根式加减运算的步骤3、如何合并同类二次根式：合并同类二次根式与合并同类项类似六、作业七、教后感3.3 二次根式的加减（2）学习目标1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算学习重、难点重点：

16、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算难点：二次根式的运算法则学习过程：一、情境创设1、二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？2、什么叫同类二次根式？举例说明。3、回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式。二、探索活动1、怎样计算：？小组讨论，全班交流。类比：怎样计算（a-b）（a+2b）？2、怎样计算：？回顾：（a-b）（a+b）_3、呢？小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。三、例题教学例1 计算： 分析：第1小题可类比单项式乘多项式；第2小题可类比多项式乘多项式。例2 计算： 分析：本例是整式的乘