第2章逻辑代数理论及电路实现(A)

1、第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现一、三种基本逻辑关系一、三种基本逻辑关系二、逻辑变量、逻辑函数及其表示方法二、逻辑变量、逻辑函数及其表示方法 三、三种基本逻辑运算三、三种基本逻辑运算四、复合逻辑运算四、复合逻辑运算 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 1. CMOS反相器的电路及工作原理反相器的电路及工作原理 2. CMOS反相器的电压传输、电流转移特性反相器的电压传输、电流转移特性 3. CMOS反向器的输出特性、传输延迟时间反向器的输出特性、传输延迟时间 1. CMOS与非门、或非门电路与非门、或非门电路 2. CMOS传输门电路传输门电路 3

2、. 漏极开路的漏极开路的CMOS门（门（OD 门）门） 4. CMOS三态输出门电路三态输出门电路 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.最小项、最小项表达式最小项、最小项表达式 2.2.最小项的性质最小项的性质 3.3.两个重要关系式两个重要关系式 4.4.由一般表达式写出最小项表达式的方法由一般表达式写出最小项表达式的方法5.5.由真值表写出最小项表达式的方法由真值表写出最小项表达式的方法 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.与或式的化简与或式的化简 1.1.化简的意义化简的意义(

3、 (目的目的) ) 2.2.化简的目标化简的目标 3.3.最简的标准最简的标准 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 2.2.卡诺图的运算卡诺图的运算 3.3.卡诺图化简法卡诺图化简法 1.1.约束项、任意项、无关项约束项、任意项、无关项 及非完全描述逻辑函数及非完全描述逻辑函数 2.2.非完全描述逻辑函数的化简非完全描述逻辑函数的化简3.3.无关项的运算规则无关项的运算规则第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现知识点一知识点一：逻辑代数的基本概念、基本运算、：逻辑代数的基本概念、基本运算、 基本公式和规则基

4、本公式和规则知识点二知识点二：逻辑函数的描述方式：逻辑函数的描述方式知识点三知识点三：逻辑函数的简化：逻辑函数的简化( (公式法和卡诺图法公式法和卡诺图法) )知识点四：知识点四：MOSFET的开关特性的开关特性知识点五：常见知识点五：常见CMOS门电路门电路( (6种种) )本章知识点及要求（本章知识点及要求（7+3 学时）学时）第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.掌握逻辑代数的基本概念、基本公式、基本规则掌握逻辑代数的基本概念、基本公式、基本规则; 2.掌握逻辑函数的描述方式掌握逻辑函数的描述方式( (真值表、表达式、电路真值表、表达式、电路 图、卡诺图图、卡诺图)

5、 )及其相互转换方法及其相互转换方法;3.了解逻辑函数最简与或式的公式化简法了解逻辑函数最简与或式的公式化简法;4.掌握逻辑掌握逻辑 函数函数( (4变量及以下变量及以下) )最简与或式的卡诺最简与或式的卡诺 图化简法。图化简法。5.掌握掌握MOS场效应管的开关特性和有关参数；场效应管的开关特性和有关参数；6.掌握掌握CMOS反相器的功能和主要外部电气特性；反相器的功能和主要外部电气特性；7.了解了解CMOS与非门、与非门、CMOS或非门、或非门、 CMOS三态三态 门、以及门、以及OD门的工作原理。门的工作原理。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.与与逻辑逻辑 2

6、.2.或或逻辑逻辑 3.3.非非逻辑逻辑 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.逻辑变量逻辑变量: : 可用来描述可用来描述的对象的对象,只有只有 。也可用字母来表示各种。也可用字母来表示各种器件，如器件，如“S”表示开关，表示开关，“L”表示灯。表示灯。3.3.逻辑函数的描述方法逻辑函数的描述方法(2) 真值表方法真值表方法(1) 逻辑表达式逻辑表达式2.2.逻辑函数概念逻辑函数概念 )(21nx,x,xfF 真值表真值表逻辑变量逻辑变量x1, x2, , xn确定后确定后, 逻逻辑函数辑函数F的取值也唯一地确定。的取值也唯一地确定。(3) 图形表示图形表示卡诺图、

7、逻辑图、波形图卡诺图、逻辑图、波形图第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现例例1:1: 如下图所示，用两个如下图所示，用两个“单单刀双掷刀双掷”开关控制楼道灯，试列开关控制楼道灯，试列出该电路的真值表。出该电路的真值表。 开关开关A 开关开关B 灯灯L上触点上触点 : A=1下触点下触点 : A=0上触点上触点 : B=1下触点下触点 : B=0灯亮灯亮: L=1灯灭灯灭: L=0示意图示意图第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 (1)(1)运算符运算符“. .”(”(“ ”、“ ”、“ ”、“AND”)”)(2)(2)运算规则运算规则 0 0 = 0 1

8、 0 = 0 0 1 = 0 1 1 = 1(3)(3)逻辑表达式逻辑表达式 条件同时具备时，结果发生。条件同时具备时，结果发生。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 (1)(1)运算符运算符“+”(“+”(“ ”、“ ”、“OR”)”)(2)(2)运算规则运算规则 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1条件之一具备时，结果发生。条件之一具备时，结果发生。(3)(3)逻辑表达式逻辑表达式第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 (1)(1)运算符运算符“”， “NOT”(2)(2)运算规则运算规则条件不具备时，结果发生

9、。条件不具备时，结果发生。0110 (3)(3)逻辑表达式逻辑表达式AAYNOT 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现4.4.实现电路实现电路 二极管与门电路二极管与门电路 (1)(1)与门与门 状状态态表表 输输 入入 输输 出出 uA(v) uB(v)uF(v) 输输 入入 输输 出出 A B F 真真值值表表 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 二极管或门电路二极管或门电路 (2)(2)或门或门 状状态态表表 输输 入入 输输 出出 uA(v) uB(v) uF(v) 输输 入入 输输 出出 A B F 真真值值表表 4.4.实现电路实现电路 第

10、第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 三极管非门电路三极管非门电路 (3)(3)非门非门 状状态态表表 输输 入入 输输 出出 uA(v) uF(v) 0 3 3 0 4.4.实现电路实现电路 真真值值表表 输输 入入输输 出出 A F 0 1 1 0 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.与非与非由两个或两个以上基本运算构成的逻辑运算。由两个或两个以上基本运算构成的逻辑运算。3.3.与或非与或非2.2.或非或非BAY BAY DCBAY 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 A B Y0 00 0 0 00 10 1 1 1 1

11、 01 0 1 1 1 11 1 0 0 A B Y0 00 0 1 10 10 1 0 0 1 01 0 0 0 1 11 1 1 1A B = A B A B = A B BABABAY Y = A B =ABBA 注意：注意：同或与异或同或与异或互为反函数互为反函数含义含义第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第20页页2022-3-12022-3-1在在、和和这三种基本电路这三种基本电路结构的基础上结构的基础上, 可以组成一些复杂的逻辑电路。可以组成一些复杂的逻辑电路。例如例如, , 在与非门输出端再接入一级反相器可得到与门在与非门输出端再接入一级反相器可得到与门,

12、 , 在或非在或非门输出端再接入一级反相器就可得到或门。门输出端再接入一级反相器就可得到或门。再如再如, , 在反相器的输出端再接入一级反相器在反相器的输出端再接入一级反相器, , 构成同相构成同相缓冲器。同相缓冲器不作任何逻辑运算缓冲器。同相缓冲器不作任何逻辑运算用于集成用于集成电路芯片内部电路与引出端之间的隔离。电路芯片内部电路与引出端之间的隔离。带缓冲级的带缓冲级的CMOSCMOS或非门或非门带缓冲级的带缓冲级的CMOSCMOS与非门与非门第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现2.2 运算逻辑的电路实现运算逻辑的电路实现实现逻辑运算的单元电路。实现逻辑运算的单元电路。7

13、4/54AC/ACT2.2.按制造工艺按制造工艺双极型双极型 TTL ECL I2L MOS型型PMOS NMOS CMOS 4000 54/74AS54/7454/74H54/74S54/74LS54/74ALS54/74HC/HCT54/74FASTBi-CMOS型型 1.1.按集成度按集成度SSI MSI LSI VLSI 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现，门电路分为双极型晶体管逻辑和单极型晶，门电路分为双极型晶体管逻辑和单极型晶体管逻辑。双极型晶体管是多数载流子和少数载流子同时参体管逻辑。双极型晶体管是多数载流子和少数载流子同时参加导电的半导体器件。加导电的半导

14、体器件。场效应晶体管在工作时只有一种载流场效应晶体管在工作时只有一种载流子（多数载流子）起着运载电流的作用，所以场效应晶体管子（多数载流子）起着运载电流的作用，所以场效应晶体管又称为单极型晶体管。又称为单极型晶体管。场效应管与双极型晶体管相比有很多场效应管与双极型晶体管相比有很多优点：它的输入偏流仅为优点：它的输入偏流仅为 10101012A，且与工作电流大小，且与工作电流大小无关，所以它的输入电阻高达无关，所以它的输入电阻高达 1010 以上；制造工艺简单，以上；制造工艺简单，集成密度高，特别适用于大规模集成；热稳定性好，抗辐射集成密度高，特别适用于大规模集成；热稳定性好，抗辐射能力强等。因

15、此，能力强等。因此，场效应管已经成为集成电路的主流器件。场效应管已经成为集成电路的主流器件。 ，场效应管又可以分为结型场效应管（，场效应管又可以分为结型场效应管（JFET）和绝缘栅场效应管（和绝缘栅场效应管（JGFET）两种。绝缘栅场效应管比起结）两种。绝缘栅场效应管比起结型场效应管的反偏型场效应管的反偏 PN结来说，其输入阻抗更大（一般大于结来说，其输入阻抗更大（一般大于 1012），而且），而且功耗更低，集成度高，在大规模集成电路中功耗更低，集成度高，在大规模集成电路中得到了更为广泛的应用得到了更为广泛的应用。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现MOS 管可分为管可分为

16、 N N 沟道沟道和和 P P 沟道沟道两类两类NMOS管和管和 PMOS 管。每一类又分为管。每一类又分为增强型增强型和和耗尽型耗尽型两种。两种。 因此因此, MOS 管有四种类型：增强型管有四种类型：增强型NMOS管、耗尽管、耗尽型型NMOS管、增强型管、增强型PMOS管和耗尽型管和耗尽型PMOS管。管。增强型增强型NMOS 管管增强型增强型PMOS 管管GGDDBBSS第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第24页页2022-3-12022-3-1uououiui当当 UGSUGS(th)时时, NMOS 管截止管截止, D-S 间开路间开路, 等效等效为开关断开为开

17、关断开, 漏极输出高漏极输出高电平电平, 即即uo= +VDD; 当当 UGS UGS(th)时时, NMOS 管导通管导通, 忽略导通电阻忽略导通电阻, 则则 D-S 间短路间短路, 等效为开关等效为开关闭合闭合, 即即uo=0。当当|UGS|UGS(th)|时时, PMOS 管导通管导通, D-S 间等效为开间等效为开关闭合关闭合, 即即uo=0。 一、场效应管的一、场效应管的开关特性开关特性第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现MOS管开关电路管开关电路(a) MOS管管截止截止 (b) MOS管管导通导通 MOS管管开关电路等效电路开关电路等效电路第第2章章 逻辑代数

18、理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现理想的开关特性中，理想的开关特性中，MOS MOS 管在导通与截止两种管在导通与截止两种状态之间瞬间完成转换，即转换时间为零。但事实上，状态之间瞬间完成转换，即转换时间为零。但事实上，两者之间发生转换时是需要时间的，这一动态特性主要两者之间发生转换时是需要时间的，这一动态特性主要取决于与电路有关的杂散电容的充电、放电时间。取决于与电路有关的杂散电容的充电、放电时间。MOS 管由导通状态变为截止状态时，电源管由导通状态变为截止状态时，电源 VDD通过漏极通过漏极电阻电阻 RD向向充电；当输入电压由低变高充电；当输入电压由低变高, MOS管由截止状态变为导通状态

19、时管由截止状态变为导通状态时, CL通过漏极和源极间的导通电阻通过漏极和源极间的导通电阻rds进行放电，因此，输出电压进行放电，因此，输出电压 Uo也要经过一段时间的时延才能由也要经过一段时间的时延才能由高电平变为低电平。高电平变为低电平。由于由于rds UTP + UTNTP ,TN构成推拉式输出构成推拉式输出, 负载能力较强负载能力较强, 但但输出端输出端不能并联实现不能并联实现 功能。功能。正常工作时，要求：正常工作时，要求：负载管负载管驱动管驱动管第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第29页页2022-3-12022-3-1电压传输特性和电压传输特性和电流转移特性

20、电流转移特性( (b) )电流转移特性电流转移特性uIiDABCDE FODDT21VU UOL=0V， UOH=VDD 噪声容限问题噪声容限问题 (a)(a)电压传输特性电压传输特性uIVDDuOUILABCD E F UTUNHVDDOUIHUNLUTP第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现加电后，加电后，CMOSCMOS器件输入端器件输入端不能悬空不能悬空!输入电位不定（此时输入电位由保护二极管的输入电位不定（此时输入电位由保护二极管的 反向电阻比来决定），从而破坏了电路的正常反向电阻比来决定），从而破坏了电路的正常 逻辑关系；逻辑关系；由于输入阻抗高，易接受外界噪声干

21、扰，使电由于输入阻抗高，易接受外界噪声干扰，使电 路产生误动作；路产生误动作；极易使栅极感应静电，造成栅击穿。极易使栅极感应静电，造成栅击穿。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现场效应管的导通和截场效应管的导通和截止过程的转换需要一止过程的转换需要一定的时间。定的时间。CMOS反相器的输入信反相器的输入信号发生变化时，输出信号发生变化时，输出信号的变化滞后于输入信号的变化滞后于输入信号号, tPHL和和 tPLH的平均值的平均值称为称为CMOS反相器的平反相器的平均传输延迟时间。它是均传输延迟时间。它是衡量门电路开关速

22、度的衡量门电路开关速度的一个重要指标。一个重要指标。tPHL和和 tPLH 主要是由主要是由于负载电容于负载电容 CL的充放的充放电所产生的电所产生的, 为缩短传为缩短传输延迟时间输延迟时间, 须减小负须减小负载电容载电容 CL和和 MOS 管管的导通电阻。的导通电阻。 uiuoCLVDDuouiCMOS反向器传输延时特性反向器传输延时特性tPHLtPLH第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现输出阻抗变化大；输出阻抗变化大；存在的缺点：存在的缺点：输入端数目输入端数目 ,UOH ,UNH 。输出阻抗变化大；输出阻抗变化大；存在的缺点：存在的缺点：输入端数目输入端数目 ,UOL

23、 ,UNL 。1. CMOS与非门、或非门电路与非门、或非门电路 两反相器的两反相器的 驱动管并联，驱动管并联，负载管串联。负载管串联。两反相器的两反相器的 驱动管串联驱动管串联,负载管并联负载管并联。 三、其它类型的三、其它类型的CMOS门电路门电路ABF BAF 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现例例: : 写出下图写出下图CMOSCMOS电路的逻辑表达式。电路的逻辑表达式。 1ABPVDDENEN 1BA逻辑符号逻辑符号P2解解:当当B=0时时,当当B=1时，时， P为高阻态。为高阻态。C P = C = A；反相器反相器第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理

24、论及电路实现第第35页页2022-3-12022-3-1CMOS 传输门也是传输门也是 CMOS 集成电路的基本单元集成电路的基本单元, 其功能其功能 是对待传送信号起允许通过或者禁止通过的作用。是对待传送信号起允许通过或者禁止通过的作用。双向传输门的用途很广泛双向传输门的用途很广泛可以构成各种复杂的逻辑电可以构成各种复杂的逻辑电路，如数据选择器、计数器、寄存器。路，如数据选择器、计数器、寄存器。2. CMOS传输门电路传输门电路 NMOSNMOS、PMOSPMOS管并联互补。管并联互补。C=0: 禁止禁止C=1: 双向工作双向工作 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现例例

25、: : 写出下图写出下图CMOSCMOS电路的逻辑表达式。电路的逻辑表达式。解：当解：当B=0时，时，当当B=1时，时，P为高阻态。为高阻态。1ABVDDTGP P =E= A；ENEN 1BA逻辑符号逻辑符号P4E反相器反相器第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第37页页2022-3-12022-3-1用菱形下面的短横线表示当输出为低电平时输出端的用菱形下面的短横线表示当输出为低电平时输出端的MOSMOS管是导通的，门电路的输出电阻为低内阻。管是导通的，门电路的输出电阻为低内阻。虽然虽然, 推拉式输出结构门推拉式输出结构门, 如如负载能负载能力较强力较强, 但不能满足驱

26、动大电流或较高电压负载的要但不能满足驱动大电流或较高电压负载的要求求输出端输出端不能直接实现不能直接实现。漏极开路输出与漏极开路输出与非门电路、符号非门电路、符号CDABYYY 21第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第38页页2022-3-12022-3-1CMOS三态输出门电路、符号三态输出门电路、符号在三态输出的门电路中，输在三态输出的门电路中，输出端除了有高电平和低电平出端除了有高电平和低电平两种可能的状态外，还有第两种可能的状态外，还有第三种可能的状态：三种可能的状态：，即输出与输入隔离即输出与输入隔离 。高阻态反相器1, 0 ENENCMOS三态输出门电路应用

27、三态输出门电路应用第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第39页页2022-3-12022-3-1序号序号规规 律律公公 式式对对 偶偶 式式吸收律吸收律 A+1 = 1A 0 = 0自等律自等律A+ 0 = AA 1 = A重叠律重叠律A+A=AA A = A互补律互补律还原律还原律交换律交换律A+B = B+AA B = B A结合律结合律A+ (B+C) = (A+B)+CA(BC) = (AB)C分配律分配律A (B+C) = AB+ACA+BC = (A+B)(A+C)9反演律反演律原变量吸收原变量吸收反变量吸收反变量吸收混合变量吸收混合变量吸收AA BABA B

28、AAB 1 AA0 AAAABA BABAA CAABBCCAAB ABAA )(BABAA )()()( )( )(CABACBCABA 2.3 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式基本公式基本公式第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第40页页2022-3-12022-3-1序号序号规规 律律公公 式式对对 偶偶 式式自等律自等律 A 0 = AA1 = A求补律求补律A 1 = AA 0 = A交换交换律律A B = B AAB = BA因果互换律因果互换律若若A B=C, 则则A C=B若若AB=C, 则则AC=B结合律结合律A B C = (A B) CABC =

29、 (AB)C分配律分配律A(B C) =AB BCA+(BC) =(A+B)(B+C)反演律反演律 偶数多变量偶数多变量 奇数多变量奇数多变量 多个多个0,1“ ”起作用起作用 奇数个奇数个“1”1”异或得异或得“1”1” 偶数个偶数个“1”1”异或得异或得“0”0” 多个多个0,1“ ”起作用起作用 奇数个奇数个“0”0”同或得同或得“0”0” 偶数个偶数个“0”0”同或得同或得“1”1”1 11 10 01 10 01 1 BABA BABA nnAAAAAA221221 12211221 nnAAAAAA0 00 00 01 11 11 11 1 0 00 01 10 00 01 1 1

30、 11 11 10 00 0 2.3 逻辑代数的公式逻辑代数的公式异或、同或逻辑的公式异或、同或逻辑的公式 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现三、常用公式三、常用公式 1.1.合并相邻项公式合并相邻项公式 AB + AB = A2.2.消项公式消项公式 A + AB = A3.3.消去互补因子公式消去互补因子公式 A + AB = A + B4.4.多余项（生成项）公式多余项（生成项）公式AB + AC + BC = AB +AC证明证明：AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A ) BC= AB + AC + ABC + ABC = AB + A

31、C DCBCAACDAB )(FEDABCDABDCBCA 例例1:1:例例2:2:第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现左左 = (A B) C= 右右证明：证明：A B C= A B C2. 试证明：试证明：1. 判断下面两个等式哪个正确？判断下面两个等式哪个正确？(2) AB + ABC = AB + C =(A B)C+(A B)C= (A B)C+ (A B)C Y = A B =ABBA 3. 试证明与反演律试证明与反演律( (摩根定理摩根定理) )：0 0 0 11 01 10 1 0 10 11 01 1 11 0 10 1 10 0 0BABA BAAB 同

32、理，可将德同理，可将德摩根定理推广到摩根定理推广到N N个变量个变量. .(1) AB + ABC = AB + C第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现2.4 2.4 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 一、代入规则一、代入规则 (适用于等式适用于等式)设设 F1( x1, x2, , xn ) = F2( x1, x2, , xn)则则 F1( G, x2, , xn ) = F2( G, x2, , xn)CBABCACBABCBBABA 代代入入，若若以以任何一逻辑等式中任何一逻辑等式中, , 若将等式两边所有出现的某一若将等式两边所有出现的某一个变量用一个逻辑函数

33、代替个变量用一个逻辑函数代替, , 该等式仍然成立。该等式仍然成立。例例2:2:例例1:1:第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现二、反演规则二、反演规则 (常用于求反函数常用于求反函数) (1)(1)与运算优先或运算，若与运算优先或运算，若有括号，先算括号内。有括号，先算括号内。 (2)(2)不属于单个变量上的非不属于单个变量上的非号，在变换时应保留。号，在变换时应保留。 DCBDACBCADCCBAYCDCBAY ) ) )( ( () )( (则则若若DACBCA DCBAF)( 若若若若 F=G ，则，则 F =G 且且 FF 例例1:1:例例2:2:DCBAF 则则

34、取取反反单单变变量量， 0110 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现(1)(1)与运算优先或运算与运算优先或运算, ,若若有括号，先算括号内。有括号，先算括号内。 (2)(2)对偶变换时对偶变换时, ,变量不变。变量不变。 三、对偶规则三、对偶规则 (常用于等式的证明常用于等式的证明 )()(CABAFCABAF ，则则若若)(DCBAFACABF ，则则若若若若 F=G ，则，则F =G 且且 FF )(例例1:1:例例2:2:例例3:3:)()(; )()()()(DBACFDBACFDBACF 则则若若0110 ， 注意注意: :1. 1. 反演规则与对偶反演规则与

35、对偶规则的区别！规则的区别！2.2. 等式成立等式成立, ,其对偶其对偶式必定成立式必定成立第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现原函数原函数反函数反函数对偶函数对偶函数三种函数间转换关系三种函数间转换关系反演规则反演规则对偶规则对偶规则?原变量、反变量互换原变量、反变量互换第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第47页页2022-3-12022-3-1不不变变不不变变变量变量取反取反变量变量取反取反将将 F 中的变量原、反互换后即可得到中的变量原、反互换后即可得到 F ;将将 F 中的变量原、反互换后即可得到中的变量原、反互换后即可得到 F 。原函原函

36、反函数反函数 对偶函对偶函原函原函 对偶函对偶函 反函数反函数 反函数反函数 对偶函数对偶函数第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现例例6:6: 已知已知 A 0 = A，则其对偶公式为：，则其对偶公式为：A 1 = A例例8 8：判断下面等式是否成立判断下面等式是否成立: : 若若X+Y = X+Z，则，则Y = Z 若若XY = XZ，则，则Y = Z 若若X+Y = XY，则，则X = Y 若若X+Y = X+Z，且，且XY = XZ，则，则Y = Z 例例7:7: ，则其，则其EDCBAF EDCBAF 反函数可写为：反函数可写为：EDCBAF 对偶函数可写为：对偶函

37、数可写为：原变量原变量反变量反变量互换互换第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现（A+AB=A）课堂练习：课堂练习：化简下面的逻辑函数化简下面的逻辑函数 。)(GFADEBDDBBCCBCAABL )(GFADEBDDBBCCBA （ ） BABAA BDDBBCCBA （配项）（配项） )()(CCBDDBBCDDCBA CBDBCDDBBCDCBCDBA BCDDBBCDCBA DBBCBBDCA )(DBBCDCA （ ）1 AA)(GFADEBDDBBCCBCBA （A+AB=A）（展开）（展开） （反演规则）（反演规则） （合并）（合并） 第第2章章 逻辑代数理论及

38、电路实现逻辑代数理论及电路实现思考题思考题1. 事物间的基本因果关系有几种？分别是什么？事物间的基本因果关系有几种？分别是什么？2. 一个逻辑变量的取值有几种？分别是什么？一个逻辑变量的取值有几种？分别是什么？3. 如何理解如何理解 1+1=1？4. 解释概念：逻辑相邻项。解释概念：逻辑相邻项。5. 多个常量异或运算的结果如何确定？多个常量异或运算的结果如何确定？6. 对偶函数和反函数如何相互转换？对偶函数和反函数如何相互转换？第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现2.5 2.5 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式 一、常

39、见表达式一、常见表达式 与或与或 与非与非-与非与非与或非与或非CAABF CAAB CAAB )()(CABA CABA 或与或与或非或非-或非或非)()(CABA )()(CABA )()(CABA 结论：结论：一个逻辑函数有各种不同形式的表达式一个逻辑函数有各种不同形式的表达式，其逻，其逻辑功能相同，但一种形式的函数表达式对应于一种逻辑功能相同，但一种形式的函数表达式对应于一种逻辑电路。辑电路。CABA 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现二、标准表达式二、标准表达式 1.1.最小项、最小项表达式最小项、最小项表达式 (1)(1)最小项最小项m的概念及其表示的概念及其

40、表示 m是乘积项是乘积项(与项与项)，包含包含n个变量因子个变量因子 ； 对于对于n变量函数，有变量函数，有2n个最小项；个最小项； n个变量均以原变量和反变量形式在个变量均以原变量和反变量形式在m中出现一次。中出现一次。例例1.1.两变量两变量A, B的最小项：的最小项：例例2.2.三变量三变量A, B, C的最小项：的最小项：）（AB,BAB,A,BA个422 ）（个82,3 ABCCABCBACBABCACBACBACBA第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现例例3.3.已知三变量函数已知三变量函数 F(A,B,C) ，则，则 ABC就是一个最就是一个最小项。若用小项。

41、若用m 表示最小项，表示最小项，5 表示最小项的编号，则表示最小项的编号，则 ABC ( 101 )2 ( 5 )10 例例4.4.已知四变量函数已知四变量函数 F(A,B,C,D) ，则，则ABCD就是一个就是一个最小项，其最小项编号为多少？最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排的顺序排列，得列，得ABCD，得，得(0111)2，即，即(7)10，可写成，可写成 m7。(2)(2)最小项表达式最小项表达式( (标准与或式标准与或式) ) 例例5.5.CBACBACBACBAF ),(420mmm ),(420mmm )4

42、 , 2 , 0(mm5：第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现2.2.最小项的性质最小项的性质(6(6个个) ) 性质性质1 1：在输入变量的任一取值下，有且仅有一个在输入变量的任一取值下，有且仅有一个 最小项的值为最小项的值为1 1。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第56页页2022-3-12022-3-1性质性质2 2：不同的最小项，使它的值为不同的最小项，使它的值为1 1的那一组变的那一组变 量取值也不同。量取值也不同。2.2.最小项的性质最小项的性质(6(6个个) )第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现性质性质3 3：全

43、部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于1 1。 即：即： 1201niim2.2.最小项的性质最小项的性质(6(6个个) )变量变量ABCABC取值为取值为010010情况下，各最小项之和为情况下，各最小项之和为1 1。因为其中只有一个最小项为因为其中只有一个最小项为1 1，其余全为，其余全为0 0。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现性质性质4 4：任意两个最小项的乘积恒等于任意两个最小项的乘积恒等于0 0 。 即：即： ), 12)(0(0jijimmnji 且且2.2.最小项的性质最小项的性质(6(6个个) )0 CBABCA第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数

44、理论及电路实现性质性质5 5：任一最小项与另一最小项非之积恒等于该任一最小项与另一最小项非之积恒等于该 最小项最小项 。 2.2.最小项的性质最小项的性质(6(6个个) )即：即： ), 12)(0(jijimmmniji 且且26200)(mCBACBACBACABCBAmm 证明：证明：若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使mi = 1 ( (有且只有有且只有 一组一组) )，或使，或使mi = 0 ( (其余其余2n- -1组组) )，则，则ijimmm 1ijimmm 0或或第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第60页页2022-3-12022-3-12.2.最

45、小项的性质最小项的性质(6(6个个) )性质性质6 6：两个相邻最小项之和可以合并成一项，两个相邻最小项之和可以合并成一项， 并消去一对因子。并消去一对因子。任何两个最小项如果它们任何两个最小项如果它们只有一个因子不同只有一个因子不同, ,其余其余因子都相同因子都相同, , 则这两个最小项互为则这两个最小项互为相邻最小项相邻最小项。 显然显然m0与与m1 1具有相邻性具有相邻性, ,而而 与与 不相邻，因为他们有两个因子不相同。不相邻，因为他们有两个因子不相同。m3 3与与m4 4也也 不相邻，而不相邻，而m0 0与与m2 2相邻，相邻，) (1CBAm)(2CBAmCACBBACBACBAm

46、m )(20BACCBACBACBAmm )(10例如：例如：第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现以外的所有正整数）以外的所有正整数）中除了中除了为为（ikn)1-2(0 kimFmF则则若若）（,1即上述关系式成立！即上述关系式成立！ kimm所所以以，证明：根据最小项的性质证明：根据最小项的性质11在输入变量的任一在输入变量的任一取值下，有且仅有一个最小项的值为取值下，有且仅有一个最小项的值为1 1。 若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使，0 im则则1 km 若自变量的取值组合使若自变量的取值组合使，1 im则则0 km3.3.两个重要关系式两个重要关系式 )4

47、, 2 , 1(),(mCBAF )7 , 6 , 5 , 3 , 0(),(mCBAF例如：例如：则则第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现下标号互补下标号互补证明：证明：根据反演和对偶之间的关系可知，根据反演和对偶之间的关系可知，F 中原、中原、反变量互换可得到反变量互换可得到F ，且，且F和和F 中包含的最小项个中包含的最小项个数相等，故所对应最小项的编号之和为数相等，故所对应最小项的编号之和为( 2n1 )。 例例6 6：)6 , 4 , 3(),( mCBAF ) 1 , 3 , 4(),(mCBAF )?(),(mCBAF解：解： 若若ikmFmFnki )12(

48、,2则则）若）若（3.3.两个重要关系式两个重要关系式 证明：证明：若若 ) 6 , 4 , 3(),(mCBAF )?(),(mCBAF例例7 7：解：解： )7 , 5 , 2 , 1 , 0(),(mCBAF )7 , 6 , 5 , 2 , 0(),(mCBAF则则则则第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 AA1 和和 A(B+C)ABBC来配项展开成最小项表达式。来配项展开成最小项表达式。4.4.由一般表达式写出最小项表达式的方法由一般表达式写出最小项表达式的方法 一般表达式一

49、般表达式 标准与或式标准与或式 例例8 8：解：解：F(A,B,C) = AB( C+C ) = ABC+ABC )7 , 6(m式。式。展开成最小项之和的形展开成最小项之和的形试将试将ABCBAF ),(任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和和，也称，也称。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现BCAY 将下列函数化为最小项之和的形式将下列函数化为最小项之和的形式BCAACCBBA)()( BCAABCCBACBACBABCA ABCBCACBACBACBA 73210mmmmm )7 , 3 , 2 , 1 , 0(

50、m添项添项添项添项第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现5.5.由真值表写出最小项表达式的方法由真值表写出最小项表达式的方法 是真值表中是真值表中所有使所有使函数值为函数值为 1 1 的取值的取值组组合所对应的各合所对应的各最小项之和最小项之和。CBAm 1CBAm 2BCAm 3CBAm 5CBACBACBACBAmmmmmY 5 5) )3 3, ,2 2, ,( (1 1, ,5 53 32 21 1例如：例如： 在在 n 个变量的逻辑系统中，如果个变量的逻辑系统中，如果Y 为为 i 个个最小最小项之和，则项之和，则 必为余下的必为余下的( (2n i) )个最小项之和

51、。个最小项之和。Y推论：推论： ( (0 0, ,4 4, ,6 6, ,7 7) )7 76 64 40 0mmmmmY第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现 函数表达式具有多样性函数表达式具有多样性, 因此各表达式的实现电路因此各表达式的实现电路通常差异较大通常差异较大, 但但。 一个逻辑函数表达式常用的有以下一个逻辑函数表达式常用的有以下5 5种表示形式种表示形式：(1)(1)：DCACL (4)(4)：(5)(5)：(2)(2)：)(DCAC DCCA )(DCCA (3)(3)： DCCA 说明：说明：通常将通常将表达式表达式化简为化简为或或表示式表示式。若要。若要

52、求用其它形式表示，则可用求用其它形式表示，则可用来转换。来转换。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现1.1.与非与非逻辑形式逻辑形式& &AB& &F& &BCCABD& &将将或与逻辑或与逻辑两次求反：两次求反：2.2.或非或非逻辑形式逻辑形式BFBDCACD 1 1 1 1DCACBDBDCACBDBF _)()(_DBACBACBF DBACBACBDBACBACBFF_ 逻辑函数的表达式逻辑函数的表达式? ?第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现从从与与或或式式得得到到, 将将结结果果

53、两两次次求求反反,不不用用摩摩根根定定律律即即可可得得与与或或非非式。式。求求得得反反函函数数后后, 再再求求一一次次反反, 不不用用摩摩根根定定律律也也可可得得与与或或非非式。式。（2）_DCACBDBFF DBACBACBFF_ =第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现2.6 2.6 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 一、化简的意义和最简的标准一、化简的意义和最简的标准 1.1.化简的意义化简的意义( (目的目的) )：节省元器件节省元器件; 提高工作可靠性提高工作可靠性. 2.2.化简的目标：化简的目标：最简与或式最简与或式或或最简或与式最简或与式 3.3.最简的标准：最简

54、的标准：逻辑函数化简没有严格的原则，通逻辑函数化简没有严格的原则，通 常可遵循以下常可遵循以下几条化简原则：几条化简原则： (1)(1)逻辑电路所用逻辑电路所用逻辑门最少逻辑门最少；(2)(2)各个逻辑门的各个逻辑门的输入端要少输入端要少；(3)(3)逻辑电路所用的逻辑电路所用的级数要少级数要少；(4)(4)逻辑电路能逻辑电路能可靠地工作可靠地工作。降低成本降低成本提高速度提高速度提高系统可靠性提高系统可靠性 每个乘积项中每个乘积项中。例如：最简例如：最简 乘积项的乘积项的。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现二、公式法二、公式法 3种方法种方法(1)(1)合并法合并法 A

55、B + AB = A例例10:10: F = A B + C D + A B + C D = A + D = ( A B + A B ) + ( C D + C D )(2)(2)消项法消项法 = A B例例11:11: F = A B + A B C + A B D = A B + A B ( C + D )例例12:12: F = A C + C D + A D E + A D G = A C + C DAABA CAABBCCAAB BABAA 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第71页页2022-3-12022-3-1BDFEACDBA ）（CDBABACDBA

56、 ）（例例14:例例13:CDBAABCDBABA CAABBCCAAB BDBA BABAA )(BAABCDBABA BACDBA ）（A B = A B 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现DBCBA DEBAADCDBCBAC DEBACBADCDBCBAC DEBADBCACBADCDBCBACY )(DCDBCBA 摩根定理摩根定理，原变量吸收原变量吸收AABA BABAA 反反变变量量吸吸收收AABA 原原变变量量吸吸收收CAABBCCAAB 混和变量吸收混和变量吸收第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现(3)(3)综合法综合法 在在合并法合

57、并法和和消项法消项法的基础上，结合的基础上，结合拆项拆项( (A+A=1) )、添项添项( (A+A=A) )和和反演律等反演律等各种规则进行化简。各种规则进行化简。例例15:15: F = A B + A C + B C = A B + C = A B + A B C = A B + ( A + B ) C例例16:16:ABCBCACBAF ABCBCACBACBA )()()(AABCCCBA BCBA 反演反演添项添项第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第74页页2022-3-12022-3-1课堂练习：课堂练习：反演反演CBAABCCCBAAB )()(拆项拆项

58、CBCAABCBBCBAABF)(CBBCBAAB）（吸收吸收吸收吸收CBBBCAAB )(BAAB AABA CBBCAABCCBACBAAB 第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现优点：优点：不受变量数目的限制。不受变量数目的限制。缺点：缺点：无固定的步骤可循，需一定的技巧和经验；无固定的步骤可循，需一定的技巧和经验； 需要熟练运用各种公式和规则；需要熟练运用各种公式和规则； 不易判定化简结果是否最简。不易判定化简结果是否最简。公式化简法优缺点公式化简法优缺点 用用公式法化简公式法化简应使得逻辑函数式包含的应使得逻辑函数式包含的项数项数以以及及变量数最少变量数最少为原则。

59、为原则。 然而，对于化简的结果，尤其较为复杂的结果然而，对于化简的结果，尤其较为复杂的结果通常通常难于判断是否最简难于判断是否最简，因此还常使用，因此还常使用卡诺图卡诺图的方的方法来化简逻辑函数。法来化简逻辑函数。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现思考题思考题1.如何理解如何理解“最小项对应的取值组合最小项对应的取值组合”？2.最小项具有哪些主要性质？最小项具有哪些主要性质？3.真值表、最小项表达式、最简与或式有何差异？真值表、最小项表达式、最简与或式有何差异？4.何谓最简与或式？何谓最简与或式？第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第2章章 逻辑代数

60、理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现三、三、卡诺图卡诺图化简法化简法 1.1.卡诺图概述卡诺图概述是将逻辑函数的最小项按逻辑相邻是将逻辑函数的最小项按逻辑相邻的原则排列而成的方格图。的原则排列而成的方格图。以以2n 个方格分别代表个方格分别代表 n 变量逻辑函数的所有变量逻辑函数的所有2n 个个最小项最小项, 并并) ), 就得到表示就得到表示 n 变量全部最变量全部最小项的卡诺图。小项的卡诺图。：两个最小项中只有一个变量互为反变量两个最小项中只有一个变量互为反变量,其余变量均相同其余变量均相同, 如如m5( (ABC) )与与m1( (ABC) )。第第2章章 逻辑代数理论及电路实现逻辑代数理论及电路实现第第79页页2022-3-12022-3-1